Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité : 2~cm).
On dit qu'un triangle équilatéral ABC est
direct si et seulement si (→AB, →AC)=π3 [2π]. On pose
j =e2iπ3.
Vérifier que 1 ,~j et j2
sont solutions de l'équation z3=1.
Calculer (1−j)(1+j+j2) ; en déduire que 1+j+j2=0.
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct
\Ouv, unité graphique 4~cm, on
considère les points A d'affixe zA=1 et B d'affixe zB=2.
Soit un réel θ appartenant à l'intervalle ]0 ; π[.
On note M le point d'affixe z=1+e2iθ.
Dans le plan complexe (P) muni d'un repère orthonormal direct \Oij, d'unité 2~cm, on considère les points A,~ B,~ C et D d'affixes respectives :
zA=− i ; zB=3 ; zC=2+3ietzD=− 1+2i.
Placer sur une figure les points A,~ B,~ C et D.
Pour tout nombre complexe z, on pose P(z)=z3−3z2+3z+7.
Calculer P(− 1) .
Déterminer les réels a et b tels que pour tout nombre complexe z, on ait :
P(z)=(z+1)(z2+az+b).
Résoudre dans C l'équation P(z)=0.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. (Unité graphique : 2~cm.) On désigne par A, B, C et G
les points du plan d'affixes respectives
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv.
Dans tout l'exercice, z est un nombre complexe non nul.
à tout point M d'affixe z, on associe le point M′ d'affixe z′=− 1z, puis le point I milieu du segment [MM′] . L'affixe de
I est donc 12(z−1z).
Note : les questions \textbf{2., 3.} et \textbf{4.} sont largement indépendantes.
Pour tout nombre complexe z, on considère
f(z)=z4−10z3+38z2−90z+261.
Résoudre dans C l'équation
z2−2z+2=0.
Préciser le module et un argument de chacune des solutions.
En déduire les solutions dans C de l'équation
(−iz+3i+3)2−2(−iz+3i+3)+2=0.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.
On considère les points A, B et C d'affixes respectives
zA=1+i, zB=¯zA, zC=2zB.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2 cm).
Donner l'écriture algébrique du nombre complexe de
module 2 et dont un argument est π2.
Résoudre dans C l'équation iz−2=4i−z. On donnera
la solution sous forme algébrique.
On désigne par I, A et B les points d'affixes respectives 1, 2i et 3 + i.
On considère l'application f qui à tout nombre complexe z différent de 1, associe le nombre complexe
f(z)=2−iz1−z.
L'exercice étudie quelques propriétés de f.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité
graphique 2 cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions \textbf{1.} et \textbf{2.}.
A est le point d'affixe 1 et B celui d'affixe −2i.
On pose z=x+iy avec x et y réels.
Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct
\Ouv, unité graphique 2 cm, on considère les points A et B, d'affixes respectives
zA = - 1 et zB = 3i.
Soit la fonction f de P privée du point A dans P qui à tout point M
d'affixe z associe le point M′ d'affixe z′ tel que : z′=i(z−3iz+1) \quad (1).