Dans le plan complexe muni du repère orthonormal \Ouv, on considère les points M et M′ d'affixes respectives z et z′. On pose z=x+iy et z′=x′+iy′, où x, x′, y, y′ sont des. nombres réels.
On rappelle que ¯z désigne le conjugué de z et que |z| désigne le module de z.
Montrer que les vecteurs →OM et →OM′ sont orthogonaux si et seulement si Re(z′¯z)=0 .
Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct \Ouv{} ; unité graphique 2 cm.
On appelle A et B les points du plan d'affixes respectives a=1 et b=−1.
On considère l'application f qui, à tout point M différent du point B, d'affixe z, fait correspondre le point M′ d'affixe z′ définie par
z′=z−1z+1
{On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice.}
Déterminer les points invariants def c'est-à-dire les points M tels que M=f(M).
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 2~cm.
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument +π2.
On réalisera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.
On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Dans tout l'exercice, P\{O} désigne le plan P privé du point origine O.
\textbf{Question de cours}
On prend comme pré-requis les résultats suivants :
\begin{ize}
Si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes non nuls, alors :
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2006_retour}{Retour au tableau}
\textbf{Partie A.} Restitution organisée de connaissances
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :
\texbf{i.} Si z est un nombre complexe non nul, on a l'équivalence suivante :
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2006_retour}{Retour au tableau}
\textbf{\Large }
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2~cm).
On rappelle que pour tout vecteur →w non nul, d'affixe z, on a : |z|=‖→w‖ et arg(z)=(→u, →w) à 2π près.
\textbf{Partie A. Restitution organisée de connaissances}
Prérequis : On sait que si z et z′ sont deux nombres complexes non nuls, alors :
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2006_retour}{Retour au tableau}
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal \Ouv, on considère les points
\begin{ize}
$A$ d'affixe $a$, $a\in\R$
$B$ d'affixe $b+\text{i}$, $b\in\R$
$C$ image de $B$ dans la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
\end{ize}
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_mai2006_retour}{Retour au tableau}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.
On prendra 2~cm pour unité graphique.
Soit A le point d'affixe i et B le point d'affixe 2.
Déterminer l'affixe du point B1 image de B par l'homothétie de centre A et de
rapport √2.
Déterminer l'affixe du point B′ image de B1 par la rotation de centre A et d'angle
π4.
Placer les points A, B et B′.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2006_retour}{Retour au tableau}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 5~cm.
On pose z0=2 et, pour tout entier naturel n, zn+1=1+i2zn. On note An le point du plan d'affixe zn.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv . On prendra pour unité graphique 2 cm. Soit f l'application qui à tout point M du plan d'affixe z non nulle associe le point M′ d'affixe z′ telle que z′=4¯z, où ¯z désigne le nombre complexe conjugué de z.