Dans le plan complexe rapportŽ au repère orthonormal direct \Ouv{}
(unité graphique : 5~cm), on considère les points A et B d'affixes respectives
zA=1+ietzB=−12+12i.
On dŽésigne par (C) le cercle de centre O et de rayon 1.
Donner la forme trigonomŽétrique de zA et celle de zB.
Dans la suite de l'exercice, M dŽésigne un point de (C)
d'affixe eiα,
Dans le plan complexe, rapportŽé à ˆ un repère orthonorméŽ direct \Ouv{} on appelle A et B les points d'affixes respectives 2 et - 2. à tout point M d'affixe z, z diffŽérent de 2, on associe le point N d'affixe ¯z et M′ d'affixe z′ tel que
z′=2z−4¯z−2
Calculer z′ et |¯z′| lorsque z=5 puis
lorsque z=1+i.
\vspace{0,3cm}
InterpréŽter gŽéoméŽtriquement |z−2| et
|¯z′−2|.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unitŽé graphique 4 cm).
Soit I le point d'affixe 1. On note C le cercle de diamètre
[OI] et on nomme son centre Ω.
\textbf{Partie I}
On pose a0=12+12i et on note
A0 son image.
Montrer que le point A0 appartient au cercle C.
Soit B le point d'affixe b, avec b=−1+2i, et B′ le
point d'affixe b′ telle que b′=a0b.
Calculer b′.
Soient A, B deux points distincts fixés d'un cercle C de centre I et M un point quelconque de ce cercle C.
Le point D est défini par →IA+→IB+→IM=→ID.
Le plan est rapportŽé au repère orthonorméŽ \Ouv{} (unitŽé graphique : 2~cm).
On considère les points A, B et C d'affixes respectives
zA=−1+i√3,
zB=−1−i√3 et zC=2.
Placer ces points sur un dessin.
VŽérifier que : zB−zCzA−zC=eiπ3.
En dŽéduire la nature du triangle ABC.
Le plan est rapportŽé au repère orthonormal \Ouv{} (unitŽé graphique : 2 cm). On considère les points A et B d'affixes respectives A(3+2i) et B(−1+4i). ExtŽérieurement au triangle OAB, on construit les deux carréŽs OA1A2A et OBB1B2.
En remarquant que A2 est l'image de O par une rotation de centre A, dŽéterminer l'affixe de A2. En dŽéduire l'affixe du centre I du carréŽ OA1A2A.
Γ est le cercle de centre O et de rayon 2√2.
Le plan est rapportŽé ˆà un repère orthonormal \Ouv.
À tout point M d'affixe z, on associe le point M′ d'affixe z′ telle que :
z′=z2−2(1+i)z.
On pose z=x+iy et z′=x′+iy′, où x, y, x′ et
y′ sont des nombres rŽéels.
Exprimer x′ et y′ en fonction de x et y.
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2 cm), on considère les points A, B et C d'affixes respectives a=2,
b=1−i et c=1+i.
Placer les points A, B et C sur une figure.
Calculer c−ab−a. En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle.
On appelle r la rotation de centre A telle que
r(B) = C.
Déterminer l'angle de r et calculer l'affixe d du point D =
r(C).
Soit Γ le cercle de diamètre [BC].
RŽésoudre dans C l'Žéquation :
4z2−12z+153=0.
Dans le plan rapportŽé ˆà un repère orthonormŽé
\Ouv, d'unitŽé graphique 1 cm on considère les points A, B, C, P d'affixes
respectives :
zA=32+6i, zB=32−6i ; zC=−3−14i, zP=3+2i et le vecteur
→w d'affixe z→w=−1+52i.
On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O ; →u ; →v).On considère la transformation ponctuelle f qui, a tout point M d'affixe z associe le point M′ d'affixe z′ définie par :
z′=z2+1.
Déterminer les antécédents du point O.
Existe-t-il des points invariants par f ? Si oui, préciser leurs affixes respectives.