BAC S COMPLEXE Antilles_juin 2000

Pour tout nombre complexe $z$, on pose $P(z) = z^3 - 3 z^2 + 3z + 7$.

Calculer $P(-~1)$ .
Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout nombre complexe $z$, on ait :

$$P(z)=(z+1)(z^2+az+b).$$

Résoudre dans C l'équation $P(z) = 0$.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. (Unité graphique : 2~cm.) On désigne par $A,~B,~C$ et $G$
les points du plan d'affixes respectives

$$z_{\text{A}}=-1,z_{\text{B}}=2+\text{i}\sqrt{3},z_{\text{C}}=2-\text{i}\sqrt{3}\text{et}{z}_{\text{G}}=3.$$

Réaliser une figure et placer les points A,~B,~C et G.
Calculer les distances AB,~BC et AC. En déduire la nature du triangle ABC.
Calculer un argument du nombre complexe $\dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{G}} - z_{\text{C}}}$. En déduire la nature du triangle
GAC.

Soit $(D)$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que :
$$(-\overrightarrow{M\text{A}}+2\overrightarrow{M\text{B}}+2\overrightarrow{M\text{C}})\mathbb{C}dot\overrightarrow{\text{CG}}=+12(1)$$

Montrer que $G$ est le barycentre du système de points pondérés
$$\{(\text{A},-1);(\text{B},2);(\text{C},2)\}.$$
Montrer que la relation (1) est équivalente à la relation

$\overrightarrow{\text{G}M}. \overrightarrow{\text{CG}} = - 4 \quad (2)$.
Vérifier que le point A appartient à l'ensemble $(D)$.
Montrer que la relation (2) est équivalente à la relation
$\overrightarrow{\text{A}M} .\overrightarrow{\text{GC}} = 0$.
En déduire l'ensemble $(D)$ et le tracer.