BAC S COMPLEXE Asie juin 2000

Dans le plan complexe $(P)$ muni d'un repère orthonormal direct \Oij, d'unité 2~cm, on considère les points A,~ B,~ C et D d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = -~\text{i}~;~ z_{\text{B}} = 3~;~ z_{\text{C}} = 2 +
3\text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{D}} = -~1 + 2\text{i}.\]

Placer sur une figure les points A,~ B,~ C et D.

Interpréter géométriquement le module et l'argument
du complexe $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{D}} -
z_{\textrm{B}}}$.
Calculer le complexe $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{D}} -
z_{\text{B}}}$ .
Que pouvez-vous conclure concernant les segments [AC] et [BD] ?

Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier.
Calculer l'aire $s_0$ du quadrilatère ABCD.

Placer sur la figure précédente les points
$\text{A}_1,~ \text{B}_1,~ \text{C}_1$ et $\text{D}_1$ tels que
$\overrightarrow{\text{DA}_1} = \overrightarrow{\text{A}_1\text{B}_1} =
\overrightarrow{\text{B}_1\text{C}}$, où les points $\text{A}_1$ et
$\text{B}_1$ appartiennent à [DC], le quadrilatère $\text{A}_1\text{B}_1
\text{C}_1\text{D}_1$ étant un carré situé àl'extérieur du quadrilatère
ABCD.
Tracer le carré $\text{A}_1\text{B}_1
\text{C}_1\text{D}_1$ et déterminer son aire $s_1$.

On continue par le même procédé : un carré
$\text{A}_n\text{B}_n\text{C}_n\textrm{D}_n$ étant déterminé, on considère
les points $\text{A}_{n+1},~\text{B}_{n+1},~\text{C}_{n+1}$ et $\text{D}
_{n+1}$ tels que $\overrightarrow{\text{D}_n\text{A}_{n+1}} =
\overrightarrow{\text{A}_{n + 1}\text{B}_{n + 1}} = \overrightarrow{\text{B}
_{n+1}\text{C}_n}$ où les points
$\text{A}_{n+1}$ et $\text{B}_{n + 1}$ appartiennent à $[\text{D}_n
\text{C}_n]$, le quadrilatère
$\text{A}_{n+1}\text{B}_{n+1}\text{C}_{n+1}\text{D}_{n+1}$ étant un carré
situé à l'extérieur du carré $\text{A}_n\text{B}_n\text{C}_n\text{D}_n.$
Tracer le carré $\text{A}_2\text{B}_2\text{C}_2\text{D}_2$.
Soit $s_n$ l'aire du carré $\text{A}_n\text{B}_n\text{C}_n\text{D}_n$.
Exprimer $s_{n + 1}$ en fonction de $s_n$, puis de $n$.
En déduire $s_n$ , en fonction de $n$. %80
Déterminer, en fonction de $n$, l'aire $S_n$ de la figure obtenue par la juxtaposition du quadrilatère ABCD et des carrés $\text{A}_1\text{B}_1
\text{C}_1\text{D}_1$,

$\text{A}_2\text{B}_2\text{C}_2\text{D}_2
,~\ldots$ et $\text{A}_n\text{B}_n\text{C}_n\text{D}_n.$
La suite $(s_n)$ est-elle convergente ? Préciser sa limite si elle existe.