{Les deux parties sont indépendantes.}
\textbf{Partie A}
Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct
\Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives zA=3 + i et zB=1+2i.
Exprimer le complexe zBzA sous forme
algébrique puis sous forme trigonométrique.
En déduire une mesure en radians de l'angle
(→OA, →OB).
\textbf{Partie B}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
(O,→u,→v) [unité graphique : 6~cm].
On considère la suite (αn) de nombres réels définie par
α0=π2 et,
pour tout entier naturel n, αn+1=αn+5π6.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
On appelle f l'application qui, à tout point M d'affixe z (z≠− 1)
associe le point M′ d'affixe z′ telle que :
z′=iz−2z+1.
Soient A, B et C les points d'affixes respectives a=− 1, b=2i et
c=i.
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Ouv, on désigne par M(z) le point M ayant pour affixe z.
Placer sur une figure les points A(2 + i), B(2i),
C(−4+3i) et D(−8), en prenant 1 cm pour unité graphique.
Soit f la transformation du plan qui, à tout point M(z), associe
le point M′(z′) tel que :
z′=(1+2i)z−4−2i.
On considère le polynôme P défini par :
P(z)=z4−6z3+24z2−18z+63.
Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 4~cm, on considère les points A, B, C, D d'affixes respectives
zA=2i,zB=i,zC=−1+i,zD=1+i.
\textsl{On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure
de l'exercice.}
Soit la fonction f de P - \{B\} dans P
qui au point M d'affixe z associe le point M′ d'affixe z′
où
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} direct.
Soit A le point d'affixe i et B le point d'affixe −i.
Soit f la fonction définie sur C−{i}
par :
f(z)=1−izz−i.
Vérifier que pour tout z de
C−{i}
f(z)=−i+2z−i.
Démontrer que - i n'a pas d'antécédent par f.
Déterminer les antécédents de 0 et de i par f.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes
l'équation d'inconnue z :
z2+8z√3+64=0.
On considère les points A et B qui ont pour affixes
respectives les nombres complexes a=−4√3−4i et b=−4√3+4i.
Calculer les distances OA, OB et AB.
En déduire la nature du triangle OAB.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct Ouv.
Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes
l'équation d'inconnue z :
z2+8z√3+64=0.
On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes a=−4√3−4i et b=−4√3+4i.
Calculer les distances OA, OB et AB.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} ; unité
graphique 2~cm. On désigne par A le point d'affixe zA=1,
et par (C) le cercle de centre A et de rayon 1.
\textbf{Partie A}
Soit F le point d'affixe 2, B le point d'affixe zB=1+eiπ3 et E le point d'affixe
(1+z2B).
Montrer que le point B appartient au cercle
(C).