BAC S COMPLEXE NlleCaledonie_dec 2000

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation

\[ z^2 - 2z + 2 = 0.\]

Préciser le module et un argument de chacune des solutions.

En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation

\[(-\text{i}z + 3\text{i} + 3)^2 - 2(-\text{i}z+3\text{i}+3)+2 = 0.\]

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.
On considère les points A, B et C d'affixes respectives
$z_{\text{A}} = 1 + \text{i},~ z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},~z_{\text{C}}= 2z_{\text{B}}$.

Déterminer les formes algébriques de $z_{\text{B}}$ et
$z_{\text{C}}$.

Placer lespoints A, B et C.

Montrer que les points A, B et C appartiennent au cercle ($\mathcal{C}$) de centre I d'affixe 3 et de rayon $\sqrt{5}$.

Calculer $\dfrac{z_{\text{C}} - 3}{z_{\text{A}} - 3}$ ; en déduire
la nature du triangle IAC.

Le point E est l'image du point O par la translation de vecteur $2 \overrightarrow{\text{IC}}$. Déterminer l'affixe du point E.

Le point D est l'image du point E par la rotation de centre O et
d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.

Déterminer l'affixe du point D.

Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.