\textbf{Partie A}
Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :
z2−2z+4=0.
Les solutions seront notées z′ et z″ désignant la solution dont la partie imaginaire est positive.
Donner les solutions sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.
Donner la valeur exacte (z')^{2004} sous forme exponentielle puis sous forme algébrique.
\textbf{Partie B}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{}; (unité graphique : 2~cm).
Dans le plan complexe rapportŽ ˆ un repère orthonormal direct \Ouv, on considèrel'application f du plan dans lui-même qui, ˆà tout point M
d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' telle que :
z' = z^2 - 4z.
Soient A et B les points d'affixes
z_{\text{A}} = 1 - \text{i} et z_{\text{B}} = 3 + \text{i}.
Calculer les affixes des points A' et B' images des points A
et B par f.
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 2 cm pour unitŽé
graphique.
Pour tout point M du plan d'affixe z on considère les points
M' et M'' d'affixes respectives
z' = z - 2 \qquad \text{et} \qquad z'' = z^2.
DŽéterminer les points M pour lesquels
M''= M.
DŽéterminer les points M pour lesquels M'' = M'.
\Ouv{} est un repère orthonormal du plan \mathcal{P}.
Soit A le point d'affixe 1 ; soit B le point d'affixe - 1.
Soit F l'application de \mathcal{P} privé de O dans \mathcal{P} qui, à tout point M
distinct de O, d'affixe z , associe le point M' = F(M) d'affixe z'= \dfrac{-1}{\overline{z}}.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.
On veut rŽésoudre dans \mathbb{C} l'Žéquation
(\text{E})\qquad : z^3 + 4z^2 + 2z - 28 = 0.
DéŽterminer deux rŽéels a et b tels que l'Žéquation (E)
s'Žécrive :
(z-2)(z^2 + az + b) = 0.
RŽésoudre (E)
On note (H) l'ensemble des points M du plan complexe d'affixe z vŽérifiant :
z^2 - 4 = 4 - \overline{z}^2.
On note x et y les parties rŽéelle et imaginaire de l'affixe z d'un point M.
{Pour chaque question, une seule réŽponse est exacte. Chaque rŽéponse juste rapporte 1 point. Une absence de rŽéponse n'est pas sanctionnŽée. Il sera retiréŽ 0,5 point par réŽponse fausse. On ne demande pas de justifier. La
note finale de l'exercice ne peut être infŽérieure ˆà zéŽro.}
On pose z = - \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \text{i}\sqrt{2 - \sqrt{2}}.
La forme algéŽbrique de z^2 est :
Le plan complexe \mathcal{P} est rapportŽé au repère orthonormal direct
\left(\text{O},~\overrightarrow{\text{e}_1},~\overrightarrow{\text{e}_2}\right),~
unitéŽ graphique 1 cm.
Soit A le point d'affixe 3i. On appelle f l'application qui, ˆà tout point M d'affixe z, distinct de A, associe le point M' d'affixe z' dŽéfinie par :
z' = \dfrac{3\text{i}z - 7}{z - 3\text{i}}.
Recherche des points invariants par f.
DéŽvelopper (z- 7\text{i}) (z+ \text{i}).
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, unitŽé graphique : 2 ~cm.
On appelle A le point d'affixe - 2\text{i}.
À tout point M du plan d'affixe z, on associe le point
M' d'affixe
z'= -2\overline{z} + 2\text{i}.
On considère le point B d'affixe b = 3-2\text{i}.
DŽéterminer la forme algŽébrique des affixes a' et b' des points A' et
B' associŽés respectivement aux points A et B. Placer ces points sur le
dessin.
Dans l'ensemble \mathbb{C} des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d'argument \dfrac{\pi}{2}.
Montrer que (1 + \text{i})^6 = - 8\text{i}.
On considère l'équation (E) : z^2 = - 8\text{i}.
Déduire de \textbf{1.} une solution de l'équation (E).
L'équation (E) possède une autre solution ; écrire cette
solution sous forme algébrique.
Déduire également de \textbf{1.} une solution de l'équation (E') z^3 = - 8\text{i}.
Le plan complexe est rapportŽé au repère \Ouv. On prendra pour unitéŽ graphique 2~cm.
RŽésoudre dans \mathbb{C} l'Žéquation
(z-2\text{i})\left(z^2 - 2z + 2\right) = 0.
Donner les solutions sous forme algŽébrique et sous forme exponentielle (justifier
les rŽéponses).
Soient A et B les points d'affixes respectives z_{\text{A}} = 1 + \text{i} et z_{\text{B}} = 2\text{i}.
à tout complexe z diffŽérent de {\text{A}} on associe le complexe
z' = \dfrac{z - 2\text{i}}{z - 1 - \text{i}}.