BAC S COMPLEXE Pondichery_avril 2001

On considère l'application $f$ qui à tout nombre complexe $z$ différent de 1, associe le nombre complexe

$$f(z)=\frac{2-\text{i}z}{1-z}.$$

L'exercice étudie quelques propriétés de $f$.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité
graphique 2 cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions \textbf{1.} et \textbf{2.}.

A est le point d'affixe 1 et B celui d'affixe $- 2$i.

On pose $z =x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ réels.

Écrire $f(z)$ sous forme algébrique. En déduire l'ensemble des points $M$
d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un réel et représenter cet ensemble.

On pose $z'=f(z).$

Vérifier que i n'a pas d'antécédent par $f$ et exprimer, pour
$z'$ différent de i, $z$ en fonction de $z'$.

$M$ est le point d'affixe $z$ ($z$ différent de 1) et $M'$ celui d'affixe $z'$ ($z'$ différent de i).

Montrer que O$M=\frac{\displaystyle{M'\text{C}}}{\displaystyle{M'\text{D}}}$ où C et D sontles points d'affixes respectives 2 et i.

Montrer que, lorsque le point $M$ décrit le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point A, son image $M'$ appartient à une droite fixe que l'on définira géométriquement.

Montrer que, si $M$ est un point de l'axe des réels, différent de O et de
A, alors $M'$ appartient à la droite (CD).