BAC S COMPLEXE Metropole_juin 2000

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct
\Ouv, unité graphique 4~cm, on
considère les points A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$ et B d'affixe $z_{\text{B}} = 2$.
Soit un réel $\theta$ appartenant à l'intervalle $]0 ~;~ \pi[$.
On note $M$ le point d'affixe $z = 1 + \text{e}^{2\text{i}\theta}$.

Montrer que le point $M$ appartient au cercle
$(\mathcal{C})$ de centre A et de rayon 1.
Exprimer l'angle
$(\overrightarrow{\text{AB}}~;~\overrightarrow{\text{A}M})$ en fonction de $\theta$.
En déduire l'ensemble $E$ des points $M$ quand $\theta$ décrit l'intervalle
$]0~;~\pi[$.
On appelle $M'$ l'image de $M$ par la
rotation de centre O et d'angle $-~\theta$ et on note $z'$ l'affixe de $M'$.
Montrer que $z' = \overline{z}$ puis que $M'$ appartient à $(\mathcal{C})$.
Dans toute la suite, on choisit $\theta = \dfrac{\pi}{3}$.
On appelle $r$ la rotation de centre O et d'angle $-~\dfrac{2\pi}{3}$ et A$'$ l'image de A par $r$.

Définir l'image $(\mathcal{C}')$ du cercle $(\mathcal{C})$ par $r$.
Placer sur une figure A, B, $(\mathcal{C}), M, (\mathcal{C}')$ puis le point
$M'$ image de $M$ par $r$.
Montrer que le triangle $AM$O est équilatéral.
Montrer que $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C}')$ se coupent en O et en $M$.
Soit le point $P$ symétrique de $M$ par rapport à A. Montrer
que $M'$ est le milieu de $[\text{A}'P]$.