BAC S COMPLEXE Réunion juin 2000

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité : 2~cm).
On dit qu'un triangle équilatéral ABC est
direct si et seulement si $\left(\overrightarrow{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{3}~~[2\pi]$. On pose
j $= \text{e}^{2\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

Vérifier que 1 ,~j et j$^2$
sont solutions de l'équation $z^3 = 1$.

Calculer $(1 - \text{j})(1 +\text{j}+\text{j}^2)$ ; en déduire que $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$.

Vérifier que $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} +\text{j}^2 = 0$.

Dans le plan complexe, on considère trois points $A,~ B,~ C$, deux à deux
distincts, d'affixes respectives $a,~ b,~ c$.

Démontrer que le triangle $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si
$\dfrac{c-a}{b - a} = \text{e}^{i\frac{\pi}{3}}$.

En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que le triangle
$ABC$ est équilatéral direct si et seulement si : $a + bj + cj^2 = 0.$

À tout nombre complexe $z \neq 1$ , on associe les points $R,~ M$ et $M'$
d'affixes respectives 1, $z$ et $\bar{z}$.

Pour quelles valeurs de $z$ les points $M$ et $M'$ sont-ils distincts ?
En supposant que la condition précédente est réalisée, montrer que l'ensemble
($\Delta$) des points $M$ d'affixe $z$ tels que le triangle $RMM'$ soit
équilatéral direct est une droite privée d'un point.