BAC S COMPLEXE Polynésie juin 2001

Dans le plan complexe $P$ rapporté au repère orthonormal direct
\Ouv, unité graphique 2 cm, on considère les points A et B, d'affixes respectives
$z_{\text{A}}$ = - 1 et $z_{\text{B}}$ = 3i.
Soit la fonction $f$ de $P$ privée du point A dans $P$ qui à tout point $M$
d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : $z' = \text{i}\left(\dfrac{z - 3\text{i}}{z + 1}\right)$ \quad (1).

Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}}$ = 2 - i. Montrer qu'il existe un seul point D tel que $f$(D) = C.
Déterminer la nature du triangle ABC.
à l'aide de l'égalité (1), montrer que, pour tout $M$ distinct de A
et de B :
O$M'$ = B$M$ ~et $(\overrightarrow{u},~ \overrightarrow{\text{O}M'}) = \dfrac{\pi}{ 2} + (\overrightarrow{M\text{A}},~ \overrightarrow{M\text{B}}$)
(modulo 2$\pi$).
En déduire et construire les ensembles de points suivants
:

L'ensemble E des points $M$ tels que l'image $M'$ soit située sur le cercle (F) de centre O, de rayon 1.
L'ensemble F des points $M$ tels que l'affixe de $M'$ soit
réelle.

On considère la rotation R de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
On note C$_1$ l'image de C par R.

Déterminer l'affixe de C$_1$.
Montrer que C$_1$ appartient à l'ensemble F.