BAC S COMPLEXE AmeriqueSud_nov 2003

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unitŽé graphique 4 cm).

Soit I le point d'affixe 1. On note $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre
[OI] et on nomme son centre $\Omega$.

\textbf{Partie I}

On pose $a_0 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\:\text{i}$ et on note
A$_0$ son image.

Montrer que le point A$_0$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.

Soit B le point d'affixe $b$, avec $b = -1 + 2\text{i}$, et B$'$ le
point d'affixe $b'$ telle que $b'= a_0b$.

Calculer $b'$.

DŽémontrer que le triangle OBB$'$ est rectangle en B$'$.

\textbf{Partie II}

Soit $a$ un nombre complexe non nul et difféŽrent de 1, et $A$ son image dans le plan complexe.

À tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = az$.

On se propose de dŽéterminer l'ensemble des points $A$ tels que
le triangle O$MM'$ soit rectangle en $M'$.

InterpréŽter gŽéomŽétriquement arg$\left( \dfrac{a - 1}{ a}\right)$.

Montrer que $\left(\overrightarrow{M'\text{O}},~ \overrightarrow{M'M}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{a - 1}{a}\right) + 2k\pi \quad (\text{où}~ k \in \Z)$.

En dŽéduire que le triangle O$MM'$ est rectangle en $M'$ si et seulement si $A$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ privŽé de O et de I.

Dans cette question, $M$ est un point de l'axe des abscisses,
diffŽérent de O.

On note $x$ son affixe.

On choisit $a$ de manière que $A$ soit un point de $\mathcal{C}$ diffŽérent
de I et de O.

Montrer que le point $M'$ appartient ˆ la droite (O$A$).

En dŽéduire que $M'$ est le projetŽ orthogonal de $M$ sur cette droite.