BAC S COMPLEXE Antilles_sept 2002

Dans le plan complexe rapportŽ au repère orthonormal direct \Ouv{}
(unité graphique : 5~cm), on considère les points A et B d'affixes respectives

$$z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{B}}= - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}.$$

On dŽésigne par $(\mathcal{C})$ le cercle de centre O et de rayon 1.

Donner la forme trigonomŽétrique de $z_{\text{A}}$ et celle de $z_{\text{B}}$.

Dans la suite de l'exercice, $M$ dŽésigne un point de $(\mathcal{C})$
d'affixe $\text{e}^{\text{i}\alpha}$,

$\alpha \in [0~;~2\pi]$.

On considère l'application $f$ qui ˆ tout point $M$ de $(\mathcal{C})$, associe

$f(M) = M\text{A} \times M\text{B}$.

Montrer, pour tout $\alpha \in \R$, l'ŽégalitŽé suivante :

$$\text{e}^{\text{i}2\alpha} - 1 = 2\text{i}\text{e}^{\text{i}\alpha}\sin \alpha.$$

Montrer l'ŽégalitŽé suivante : $f(M) = \left|\text{e}^{\text{i}2\alpha} - 1 - \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}\right)\text{e}^{\text{i}\alpha}\right|$.

En dŽéduire l'ŽégalitŽé suivante : $f(M) = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \left(- \dfrac{3}{2} + 2\sin \alpha\right) ^2}$.

En utilisant \textbf{2. c.}, montrer qu'il existe deux points
$M$ de $(\mathcal{C})$, dont on donnera les coordonnŽées, pour
lesquels $f(M)$ est minimal. Donner cette valeur minimale.

En utilisant \textbf{2. c.}, montrer qu'il existe un seul point $M$ de $(\mathcal{C})$, dont on donnera les coordonnéŽes, pour lequel $f(M)$ est maximal. Donner cette valeur maximale.