BAC S COMPLEXE Liban_juin 2003

RŽésoudre dans $\mathbb{C}$ l'Žéquation :

$$4z^2 - 12z + 153 = 0.$$

Dans le plan rapportŽé ˆà un repère orthonormŽé
\Ouv, d'unitŽé graphique 1 cm on considère les points A, B, C, P d'affixes
respectives :

$z_{\text{A}} = \dfrac{3}{2} + 6\text{i},~z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} - 6\text{i}~;~z_{\text{C}} = - 3 - \dfrac{1}{4}\text{i},~z_{\text{P}} = 3 + 2\text{i}$ et le vecteur
$\overrightarrow{w}$ d'affixe $z_{\overrightarrow{w}} = - 1 + \dfrac{5}{2}\text{i}$.

DŽéterminer l'affixe $z_{\text{Q}}$ du point Q, image du
point B dans la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{w}$.

DŽéterminer l'affixe $z_{\text{R}}$ du point R, image du
point P par l'homothŽétie $h$ de centre C et de rapport $- \dfrac{1}{3}$.

DéŽterminer l'affixe $z_{\text{S}}$ du point S, image du
point P par la rotation $r$ de centre A et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.

Placer les points P, Q, R et S.

DŽémontrer que le quadrilatère PQRS est un
paralléŽlogramme.

Calculer $\dfrac{z_{\text{R}} - z_{\text{Q}}}{z_{\text{P}} - z_{\text{Q}}}$.

En dŽéduire la nature préŽcise du parallŽélogramme PQRS.

Justifier que les points P, Q, R et S appartiennent ˆà un
même cercle, notéŽ $\mathcal{C}$. On calculera l'affixe de son
centre $\Omega$ et son rayon $\rho$.

La droite (AP) est-elle tangente au cercle $\mathcal{C}$ ?