BAC S COMPLEXE Liban_juin 2001

{Les deux parties sont indépendantes.}

\textbf{Partie A}

Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct
\Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 3$ + i et $z_{\text{B}} = 1 + 2$i.

Exprimer le complexe $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ sous forme
algébrique puis sous forme trigonométrique.
En déduire une mesure en radians de l'angle
$\left(\overrightarrow{\text{OA}},~\overrightarrow{\text{OB}}
\right).$

\textbf{Partie B}

Désormais on considère l'espace muni du repère orthonormal direct
(O,~$\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v},~\overrightarrow{w}$) où $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}$.

On considère les points A(3, 1, 0), B(1, 2, 0), C(3, 2, 1) et $D$(0, 0,
$d$) où $d$ désigne un réel positif ou nul. On a ainsi un tétraèdre
ABC$D$.

On pose $\overrightarrow{\text{N}} =
\overrightarrow{\text{AB}} \wedge \overrightarrow{\text{AC}}$.

Calculer les coordonnées de N .
En déduire l'aire du triangle ABC.

Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
On note $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan
(ABC).

On pose $\overrightarrow{DH} = \lambda
\overrightarrow{\text{N}}$.
Calculer $\lambda$ en fonction de $d$.
En déduire l'expression de la distance $DH$.
Montrer que le volume du tétraèdre ABC$D$ est V$_{d} = \dfrac{2d+5}{
6}$.

Déterminer pour quelle valeur de $d$ la droite ($D$B) est
perpendiculaire au plan (ABC).
On suppose que $d = 0$ . Calculer la distance de A au
plan (OBC).