BAC S COMPLEXE Pondichery_avril 2002

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} ; unité
graphique 2~cm. On désigne par A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 1$,
et par $(\mathcal{C})$ le cercle de centre A et de rayon 1.

\textbf{Partie A}

Soit F le point d'affixe 2, B le point d'affixe $z_{\text{B}} = 1 +
\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et E le point d'affixe
$(1 + z_{\text{B}}^2)$.

Montrer que le point B appartient au cercle
$(\mathcal{C})$.

Déterminer une mesure en radians de l'angle de vecteurs
$\left(\overrightarrow{\text{AF}}~ ;~\overrightarrow{\text{AB}}\right)$. Placer le point B.

Déterminer la forme exponentielle des nombres
complexes $(z_{\text{B}} - z_{\text{A}})$ et $(z_{\text{E}}- z_{\text{A}})$.

En déduire que les points A , B et E sont alignés.

Placer le point E.

\textbf{Partie B}

Pour tout nombre complexe $z$ tel que $z \neq 1$, on considère les points
$M$ et $M'$ d'affixes respectives $z$ et $z'$ où $z' = 1 + z^2$.

Pour $z \neq 0$ et $z \neq 1$, donner, à l'aide des
points A, $M$ et $M'$, une interprétation géométrique d'un argument du nombre complexe
$\dfrac{z' - 1}{z - 1}$.

En déduire que A, $M$ et $M'$ sont alignés si et
seulement si $\dfrac{z^2}{z - 1}$ est un réel.