BAC S COMPLEXE Metropole_sept 2001

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} direct.

Soit A le point d'affixe i et B le point d'affixe $- \text{i}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{C}- \left\{\text{i}\right\}$
par :

\[ f(z) =\dfrac{1 - \text{i}z}{z - \text{i}}.\]

Vérifier que pour tout $z$ de
$\mathbb{C}- \left\{\text{i}\right\}$

\[f\left(z\right) = - \text{i} + \frac{2}{z - \text{i}}.\]

Démontrer que - i n'a pas d'antécédent par $f$.

Déterminer les antécédents de $0$ et de i par $f$.

à tout point $M$ différent de A, d'affixe $z$, on associe
le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = f(z)$.

Démontrer que pour tout point $M$ différent de A, le produit
des longueurs A$M$ et B$M'$ est égal à $2~~ ($A$M \mathbb{C}dot \text{B}M'=2$).

Démontrer que lorsque $M$ décrit le cercle $C$ de centre A et
de rayon $4$, $M'$ se déplace sur un cercle $C'$ dont on
précisera le centre et le rayon.

Déterminer l'ensemble E des points $M(z)$
tels que $z - \text{i}$ soit un nombre réel non nul.

Démontrer que lorsque $M$ décrit E, $M'$ se
déplace sur une droite $\Delta$ que l'on précisera.

Lorsque $M$ décrit E, $M'$ décrit-il toute la droite
$\Delta$ ?

Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels
que $f(z)$ soit un imaginaire pur non nul.