BAC S COMPLEXE Polynesie_sept 2001

Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 4~cm, on considère les points A, B, C, D d'affixes respectives

$$z_{\text{A}} = 2\text{i}, \quad z_{\text{B}} = \text{i}, \quad z_{\text{C}} = -1 + \text{i},\quad z_{\text{D}} =1 + \text{i}.$$

\textsl{On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure
de l'exercice.}

Soit la fonction $f$ de $\mathcal{P}$ - \{B\} dans $\mathcal{P}$
qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$
où

$$z' = \text{i}\dfrac{z - 2\text{i}}{z - \text{i}}.$$

Développer $(z + 1 - \text{i})(z - 1 - \text{i})$.

Chercher les points $M$ vérifiant $f(M) = M$ et exprimer leurs affixes sous forme algébrique puis trigonométrique.

Montrer que, pour tout $z$ différent de i,

$$|z'| = \dfrac{\text{AM}}{\text{BM}},$$

et que, pour tout $z$ différent de i et de 2i,

$$\text{arg}(z') = \left(\overrightarrow{\text{BM}},~\overrightarrow{\text{AM}}\right) + \dfrac{\pi}{2} \quad (\text{modulo} 2\pi).$$

Déterminer et construire l'ensemble (E) des points $M$
d'affixe $z$ tels que $|z'| = 1$.

Déterminer et construire l'ensemble (F) des points $M$ d'affixe $z$ tels que
arg$(z') = \dfrac{\pi}{2} \quad (\text{modulo} \quad 2\pi$).

Démontrer que $z'- \text{i} = \dfrac{1}{z - \text{i}}$ et en déduire que $|z'- \text{i}| \times |z - \text{i}| = 1$, pour tout complexe $z$ différent de i.

Soit $M$ un point du cercle $\mathcal{C}$ de centre B et de
rayon $\dfrac{1}{2}$. Prouver que le point $M'$ d'affixe $z'$ appartient à un cerclede centre B et de rayon à déterminer.