BAC S COMPLEXE Asie_juin 2004

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapportŽé au repère orthonormal direct
$\left(\text{O},~\overrightarrow{\text{e}_1},~\overrightarrow{\text{e}_2}\right)$,~
unitéŽ graphique 1 cm.

Soit A le point d'affixe 3i. On appelle $f$ l'application qui, ˆà tout point $M$ d'affixe $z$, distinct de $A$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ dŽéfinie par :

\[ z' = \dfrac{3\text{i}z - 7}{z - 3\text{i}}.\]

Recherche des points invariants par $f$.

DéŽvelopper $(z- 7\text{i}) (z+ \text{i})$.

Montrer que $f$ admet deux points invariants B et C dont on prŽécisera les affixes et qu'on placera sur un dessin.

On appelle $\Sigma$ le cercle de diamètre [BC]. Soit $M$ un
point quelconque de $\Sigma$, distinct de B et de C, soit $M'$ son image par
$f$.

Justifier que l'affixe $z$ de $M$ vŽérifie : $z = 3\text{i} + 4
\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta$ est un nombre rŽéel.

Exprimer l'affixe $z'$ de $M'$ en fonction de $\theta$ et en dŽéduire que $M'$ appartient aussi ˆà $\Sigma$.

DŽémontrer que $z' = - \overline{z}$ et en dŽéduire, en la justifiant, une construction gŽéomŽétrique de $M'$.

On considère un cercle de centre A, de rayon $r > 0$.
DéŽterminer l'image de ce cercle par $f$.

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