BAC S COMPLEXE Liban_juin 2004

Le plan complexe est rapportŽé au repère \Ouv. On prendra pour unitéŽ graphique 2~cm.

RŽésoudre dans $\mathbb{C}$ l'Žéquation

$$(z-2\text{i})\left(z^2 - 2z + 2\right) = 0.$$

Donner les solutions sous forme algŽébrique et sous forme exponentielle (justifier
les rŽéponses).

Soient A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{i}.$

à tout complexe $z$ diffŽérent de ${\text{A}}$ on associe le complexe

$$z' = \dfrac{z - 2\text{i}}{z - 1 - \text{i}}.$$

Soit ($E$) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ soit imaginaire pur.

Montrer que B $\in (E)$.

DéŽterminer et construire l'ensemble ($E$).

Soit ($F$) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que
$\left|z'\right| = 1$.

DŽéterminer et construire ($F$).

Soit $R$ la rotation de centre
$\Omega\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)$ et d'angle
$\dfrac{\pi}{2}$.

Calculer l'affixe du point $B'$, image de B par $R$ et l'affixe du point
$I'$, image par $R$ du point I$\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right)$.

Quelles sont les images de ($E$) et ($F$) par $R$ ?