BAC S COMPLEXE Polynesie_sept 2004

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 2 cm pour unitŽé
graphique.

Pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$ on considère les points
$M'$ et $M''$ d'affixes respectives

$$z' = z - 2 \qquad \text{et} \qquad z'' = z^2.$$

DŽéterminer les points $M$ pour lesquels
$M''= M$.

DŽéterminer les points $M$ pour lesquels $M'' = M'$.

Montrer qu'il existe exactement deux points M$_1$ et M$_2$ dont
les images M$_1',~\text{M}_1'',~\text{M}_2'$ et M$_2''$ appartiennent ˆ à
l'axe des ordonnŽées. Montrer que leurs affixes sont conjuguŽées.

On pose $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres rŽéels.

Exprimer sous forme algŽébrique le nombre complexe
$\dfrac{z'' - z}{z' - z}$.

En dŽéduire l'ensemble E des points $M$ du plan pour lesquels
les points $M,~ M'$ et $M''$ sont alignéŽs. ReprŽésenter E graphiquement et en couleur.

On pose $z = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta \in \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.

DéŽterminer l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ d'affixe $z$
ainsi dŽéfinis et chacun des ensembles $\Gamma'$ et $\Gamma''$
des points $M'$ et $M''$ associŽés ˆà $M$.

RepréŽsenter $\Gamma,~ \Gamma'$ et $\Gamma''$ sur la figure prŽécéŽdente.

Dans cette question $\theta = \dfrac{\pi}{6}$. Placer le point M$_3$ obtenu pour cette valeur de $\theta$, et les points M$_3'$ et M$_3''$ qui lui sont associŽés.
Montrer que le triangle M$_3$M$_3'$M$_3''$ est rectangle. Est-il isocèle ?