BAC S COMPLEXE Etranger_juin 2006

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\textbf{Partie A.} Restitution organisée de connaissances

\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :

\texbf{i.} Si $z$ est un nombre complexe non nul, on a l'équivalence suivante :

$$\left\{\begin{array}{l c l} |z|&=&r\\ \text{arg}~z &=& \theta~\text{à}~2\pi~\text{près}\\ \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l cl}z&=&r(\mathbb{C}os \theta + \text{i}\sin \theta)\\ r & > & 0\\ \end{array}\right.$$
\texbf{ii.} Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :
$$\left\{\begin{array}{l cl} \mathbb{C}os (a + b)&=&\mathbb{C}os a\mathbb{C}os b - \sin a\sin b\\ \sin (a + b)&=&\sin a\mathbb{C}os b + \sin b \mathbb{C}os a\\ \end{array}\right.$$
\end{minipage}}

Soient $z_{1}$ et $z_{2}$ deux nombres complexes non nuls.
Démontrer les relations :

$$\left|z_{1}z_{2}\right| = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|~\text{et arg}\left(z_{1}z_{2}\right) = \text{arg}\left(z_{1}) + \text{arg}(z_{2}\right)~\text{à}~2\pi~\text{près}$$

\textbf{Partie B.}

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point.
On rappelle que si $z$ est un nombre complexe, $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$ et $|z|$ désigne le module de $z$.

Si $z = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$, alors $z^4$ est un nombre réel.
Si $z + \overline{z} = 0$, alors $z = 0$.
Si $z + \dfrac{1}{z} = 0$, alors $z = \text{i}$ ou $z = - \text{i}$.
Si $|z| = 1$ et si $|z + z'| = 1$, alors $z' = 0$.