BAC S COMPLEXE Liban_mai 2006

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Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.
On prendra 2~cm pour unité graphique.

Soit A le point d'affixe i et B le point d'affixe 2.

Déterminer l'affixe du point B$_{1}$ image de B par l'homothétie de centre A et de
rapport $\sqrt{2}$.
Déterminer l'affixe du point B$'$ image de B$_{1}$ par la rotation de centre A et d'angle
$\dfrac{\pi}{4}$.
Placer les points A, B et B$'$.

On appelle $f$ la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$,
associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que
$$z' = (1 + \text{i})z + 1.$$

Montrer que B a pour image B$'$ par $f$.
Montrer que A est le seul point invariant par $f$.
Établir que pour tout nombre complexe $z$ distinct de i,

$\dfrac{z' - z}{\text{i} - z} = - \text {i}$.

Interpréter ce résultat en termes de distances puis en termes d'angles.
En déduire une méthode de construction de $M'$ à partir de $M$, pour $M$ distinct de
A.

Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l'ensemble $\Sigma_{1}$ des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie

$|z - 2| = \sqrt{2}$.
Démontrer que $z' - 3-2\text{i} = (1 + \text{i})(z -2)$.
En déduire que si le point $M$ appartient à $\Sigma_{1}$, alors son image $M'$ par $f$ appartient à un cercle $\Sigma_{2}$, dont on précisera le centre et le rayon.
Tracer $\Sigma_{1}$ et $\Sigma_{2}$ sur la même figure que A, B et B$'$.