BAC S COMPLEXE Pondichery_avril2006

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Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 5~cm.
On pose $z_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n,~ z_{n + 1} = \dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n}$. On note $A_{n}$ le point du plan d'affixe $z_{n}$.

Calculer $z_{1},~ z_{2},~ z_{3},~ z_{4}$ et vérifier que $z_{4}$ est un nombre réel.
Placer les points A$_{0}$,~A$_{1}$,~A$_{2}$,~A$_{3}$ et A$_{4}$ sur une figure.
Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} =\left|z_{n}\right|$.
Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique puis établir que, pour tout enfler naturel $n,$
$$u_n=2{\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)}^n.$$

À partir de quel rang $n_{0}$ tous les points $A_{n}$ appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?

Établir que, pour tout entier naturel $n,~\dfrac{z_{n+1}- z_{n}}{z_{n+1}} = \text{i}$.
En déduire la nature du triangle O$A_{n}A_{n+1}$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $\ell_{n}$ la longueur de la ligne brisée $A_{0}A_{1}A_{2}\ldots A_{n-1}A_{n}$.
On a ainsi : $\ell_{n} = A_{0}A_{1}+ A_{1}A_{2} +\ldots + A_{n-1}A_{n}$.
Exprimer $\ell_{n}$, en fonction de $n$. Quelle est la limite de la suite $\left(\ell_{n}\right)$ ?