Solution des exercices : Barycentre - 2nd

Classe: 
Seconde
 

Exercice 1

$A\ $ et $\ B$ sont deux points distincts.
 
1) Justifions qu'il existe un point $G$ barycentre de $(A\;,\ 2)\ $ et $\ (B\;,\ 3).$
 
Comme la somme des coefficients de pondération $(2+3=5)$ est différente de zéro $(0)$ et que $A\ $ et $\ B$ sont distincts alors, il existe un point $G$ barycentre de $(A\;,\ 2)\ $ et $\ (B\;,\ 3).$
 
2) Exprimons $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}.$
 
$G$ barycentre de $(A\;,\ 2)\ $ et $\ (B\;,\ 3)$ donc, $G$ vérifie : $$2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec{0}$$
Ainsi,
 
$\begin{array}{rcl}2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec{0}&\Leftrightarrow&2\overrightarrow{GA}+3(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB})=\vec{0}\\\\&\Leftrightarrow&2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GA}++3\overrightarrow{AB}=\vec{0}\\\\&\Leftrightarrow&5\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{AB}=\vec{0}\\\\&\Leftrightarrow&5\overrightarrow{GA}=-3\overrightarrow{AB}\\\\&\Leftrightarrow&5\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AB}\\\\&\Leftrightarrow&\overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{\overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}}$
 
Plaçons $G.$
 
 

Exercice 4

$G$ est le barycentre de $\left(A\;;\ \dfrac{1}{3}\right)\ $ et $\ \left(B\;;\ -\dfrac{5}{6}\right).\  G'$ est le barycentre de $(A\;,\ 2)\ $ et $\ (B\;,\ -5).$
 
Comparons $G\ $ et $\ G'.$
 
Soit $G$ est le barycentre de $\left(A\;;\ \dfrac{1}{3}\right)\ $ et $\ \left(B\;;\ -\dfrac{5}{6}\right)$ alors, $$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{GA}-\dfrac{5}{6}\overrightarrow{GB}=\vec{0}$$
 
Or, d'après la propriété d'homogénéité, le barycentre reste inchangé si on multiplie ses coefficients par un même réel non nul.
 
Donc, en multipliant par $6$, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} 6\times\left(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{GA}-\dfrac{5}{6}\overrightarrow{GB}\right)=6\times\vec{0}&\Leftrightarrow&\dfrac{6}{3}\overrightarrow{GA}-\dfrac{6\times 5}{6}\overrightarrow{GB}=\vec{0}\\\\&\Leftrightarrow&2\overrightarrow{GA}-5\overrightarrow{GB}=\vec{0}\end{array}$
 
Par suite, $G$ est aussi le barycentre de $(A\;,\ 2)\ $ et $\ (B\;,\ -5).$
 
Or, par hypothèse, $G'$ est le barycentre de $(A\;,\ 2)\ $ et $\ (B\;,\ -5).$
 
Par conséquent, $G=G'$

Exercice 5

Sur une droite, on donne trois points $A\;,\ B\ $ et $\ G$ tels que $\overrightarrow{GA}=-\dfrac{2}{5}\overrightarrow{GB}$
 
Trouvons des réels $a\ $ et $\ b$ tels que $G$ soit le barycentre du système $\{(A\;,\ a)\;;\ (B\;;\ b)\}$
 
En effet, $G$ doit vérifier :
$$a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\vec{0}$$
On a :
 
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{GA}=-\dfrac{2}{5}\overrightarrow{GB}&\Leftrightarrow&5\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GB}\\\\&\Leftrightarrow&5\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec{0}\end{array}$
 
Par suite, la relation $5\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec{0}$ prouve que $G$ est barycentre du système $\{(A\;,\ 5)\;;\ (B\;;\ 2)\}$
 
D'où, $a=5\ $ et $\ b=2$

Exercice 6

Soient $A\ $ et $\ B$ deux points distincts et $G$ le barycentre de $(A\;,\ 3)\ $ et $\ (B\;,\ 2).$
 
1) La méthode du parallélogramme
 
Soit $M$ un point n'appartenant pas à $(AB).$ Construisons les points $A_{1}\;,\ B_{1}\ $ et $\ S$ tels que :
$$\overrightarrow{MA}_{1}=3\overrightarrow{MA}\;;\quad \overrightarrow{MB}_{1}=2\overrightarrow{MB}\quad \text{et}\quad \overrightarrow{MS}=\overrightarrow{MA}_{1}+\overrightarrow{MB}_{1}$$
Montrons alors que les droites $(MS)\ $ et $\ (AB)$ sont sécantes en $G.$
 
On a : $G$ le barycentre de $(A\;,\ 3)\ $ et $\ (B\;,\ 2)$ alors,
$$3\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec{0}\ \Rightarrow\ 3\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GB}$$
Donc, $A\;,\ B\ $ et $\ G$ sont alignés. D'où, $G\in(AB)$
 
Par ailleurs, $\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{MA}_{1}+\overrightarrow{MB}_{1}$
 
Or, $\overrightarrow{MA}_{1}=3\overrightarrow{MA}\ $ et $\  \overrightarrow{MB}_{1}=2\overrightarrow{MB}$
 
Donc, en remplaçant, on obtient : $\overrightarrow{MS}=3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}$
 
Comme $G$ est barycentre de $(A\;,\ 3)\ $ et $\ (B\;,\ 2)$ alors,
$$\forall\;M\in\mathcal{P}\;;\ \ 3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=5\overrightarrow{MG}$$
Par suite,
$$\overrightarrow{MS}=5\overrightarrow{MG}$$
Ainsi, les points $M\;,\ S\ $ et $\ G$ sont alignés. D'où, $G\in(MS)$
 
$G\in(AB)\ $ et $\ G\in(MS)$ donc, $G\in(AB)\cap(MS)$
 
Ce qui prouve que les droites $(MS)\ $ et $\ (AB)$ sont sécantes en $G.$
 
2) La méthode des parallèles
 
Soit $\vec{u}$ un vecteur non colinéaire à $\overrightarrow{MA}.$ Construisons les points $A'\ $ et $\ B'$ tels que :
$$\overrightarrow{AA'}=2\vec{u}\ \text{ et }\ \overrightarrow{BB'}=-3\vec{u}$$
Montrons que les droites $(A'B')\ $ et $\ (AB)$ sont sécantes en $G.$
 
En multipliant le vecteur $\overrightarrow{AA}'$ par $3$ et le vecteur $\overrightarrow{BB}'$ par $2$, on obtient :
$$3\overrightarrow{AA'}=6\vec{u}\quad \text{et}\quad 2\overrightarrow{BB'}=-6\vec{u}$$
Ainsi, $3\overrightarrow{AA'}+2\overrightarrow{BB'}=6\vec{u}-6\vec{u}=\vec{0}$
 
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl} 3\overrightarrow{AA'}+2\overrightarrow{BB'}=\vec{0}&\Rightarrow&3(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA'})+2(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GB'})=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&3\overrightarrow{AG}+3\overrightarrow{GA'}+2\overrightarrow{BG}+2\overrightarrow{GB'}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&\underbrace{3\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{BG}}_{=\vec{0}}+3\overrightarrow{GA'}+2\overrightarrow{GB'}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&3\overrightarrow{GA'}+2\overrightarrow{GB'}=\vec{0}\end{array}$
 
Donc, $G$ est aussi barycentre de de $(A'\;,\ 3)\ $ et $\ (B'\;,\ 2)$
 
Ainsi, les points $A'\;,\ B'\ $ et $\ G$ sont alignés. D'où, $G\in(A'B')$
 
$G\in(AB)\ $ et $\ G\in(A'B')$ alors, $G\in(AB)\cap(A'B')$
 
Cela montre que les droites $(A'B')\ $ et $\ (AB)$ sont sécantes en $G.$
 
 

Exercice 7

Soient $A\ $ et $\ B$ deux points distincts.
 
Dans chacun des cas suivants, déterminons deux réels $\alpha\ $ et $\ \beta$ tel que $G$ soit le barycentre du système $(A\;;\ \alpha)\;,\ (B\;;\ \beta)$
 
Pour cela, $G$ doit vérifier la relation
$$\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}=\vec{0}\quad\text{ou}\quad\alpha\overrightarrow{AG}+\beta\overrightarrow{BG}=\vec{0}$$
a) Soit :
 
$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GB}&\Rightarrow&\overrightarrow{AG}-2\overrightarrow{GB}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{BG}=\vec{0}\end{array}$
 
Donc, $G$ est le barycentre du système $(A\;;\ 1)\;,\ (B\;;\ 2)$
 
b) On a :
 
$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GB}=3\overrightarrow{GA}&\Rightarrow&\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}-3\overrightarrow{GA}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&-\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}-3\overrightarrow{GA}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&-4\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec{0}\end{array}$
 
D'où, $G$ est le barycentre du système $(A\;;\ -4)\;,\ (B\;;\ 2)$
 
c) On a :
 
$\begin{array}{rcl}3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{0}&\Rightarrow&3(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB})+\overrightarrow{GA}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&3\overrightarrow{AG}+3\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GA}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&-3\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GA}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&-2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec{0}\end{array}$
 
Ainsi, $G$ est le barycentre du système $(A\;;\ -2)\;,\ (B\;;\ 3)$

Exercice 8

Dans chacun des cas suivants, trouvons des réels $\alpha\ $ et $\ \beta$ tels que $A$ soit barycentre de $\{(B\;;\ \alpha)\ (C\;;\ \beta)\}$
 
De la même manière que dans l'exercice précédent, $A$ doit vérifier la relation
$$\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}=\vec{0}\quad\text{ou}\quad\alpha\overrightarrow{BA}+\beta\overrightarrow{CA}=\vec{0}$$
1) On a : $\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{CA}=\vec{0}\ \Rightarrow\ \overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\vec{0}$
 
Donc, $A$ est barycentre de $\{(B\;;\ 1)\ (C\;;\ 2)\}$
 
2) Soit :
 
$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{BA}=3\overrightarrow{AC}&\Rightarrow&\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{AC}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{CA}=\vec{0}\end{array}$
 
$A$ est donc barycentre de $\{(B\;;\ 1)\ (C\;;\ 3)\}$
 
3) On a :
 
$\begin{array}{rcl} 2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}=\vec{0}&\Rightarrow&2(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{AC}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&2\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&2\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{AC}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&-2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=\vec{0}\end{array}$
 
D'où, $A$ est barycentre de $\{(B\;;\ -2)\ (C\;;\ 3)\}$
 
4) Soit :
 
$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BA}&\Rightarrow&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{BA}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\vec{0}\end{array}$
 
D'où, $A$ est barycentre de $\{(B\;;\ 2)\ (C\;;\ 2)\}$

Exercice 12

$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O.$
 
1) Définissons vectoriellement et plaçons les points $I\;,\ J\;,\ K\ $ et $\ L$
 
En effet, on sait que si $G$ est barycentre de $(N\;;\ \alpha)\ $ et $\ (P\;;\ \beta)$ alors, pour tout point $M$ du plan, on a : $$\alpha\overrightarrow{MN}+\beta\overrightarrow{MP}=(\alpha +\beta)\overrightarrow{MG}$$
Ce qui donne :
$$\overrightarrow{MG}=\dfrac{\alpha\overrightarrow{MN}+\beta\overrightarrow{MP}}{\alpha+\beta}$$
Ainsi, nous allons appliquer cette propriété dans les cas suivants :
 
Soit $I$ barycentre de $(A\;,\ 5)\ $ et $\ (B\;,\ -2)$ alors, d'après la propriété caractéristique, on a :
$$\overrightarrow{AI}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$$
Soit $J$ barycentre de $(B\;,\ 1)$ et $(C\;,\ -2)$ alors, d'après la propriété caractéristique, on a :
$$\overrightarrow{BJ}=2\overrightarrow{BC}$$
Soit $K$ le barycentre de $(C\;,\ -5)$ et $(D\;,\ 2)$ alors, d'après la propriété caractéristique, on a :
$$\overrightarrow{CK}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}$$
Soit $L$ le barycentre de $(D\;,\ -1)$ et $(A\;,\ 2)$ alors, d'après la propriété caractéristique, on a :
$$\overrightarrow{DL}=2\overrightarrow{DA}$$
2) Démontrons que $IJKL$ est un parallélogramme de centre $O.$
 
En sommant membre à membre les égalités du résultat de $1)$, on obtient :
$$\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{DL}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{DA}$$
Or, $ABCD$ parallélogramme donc, $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}\ $ et $\ \overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}$
 
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{DL}&=&-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{DA}\\\\&=&-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC}\\\\&=&-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{BC}\\\\&=&\vec{0}\end{array}$
 
Ainsi, $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{DL}=\vec{0}$
 
En introduisant le point $O$, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{DL}=\vec{0}&\Leftrightarrow&\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OJ}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OK}\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OL}=\vec{0}\\\\&\Leftrightarrow&\underbrace{\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO}}_{=\vec{0}}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ}+\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OL}=\vec{0}\\\\&\Leftrightarrow&\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ}+\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OL}=\vec{0}\end{array}$
 
Par conséquent, $\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ}+\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OL}=\vec{0}$
 
Ce qui démontre que $IJKL$ est un parallélogramme de centre $O.$
 
 
 
Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

interressant

intéressant

Correction de l exo 14

Bonjour je suis un élève 1s

Montrer la correction d'exercice 21 ou 22,27 ou 33

Merci de votre travail pour aider les élèves

Tellement intéressant

Pouvez vous me donner la correction de l'exercice 21 sur le barycentre

Très bien, svp Ex 14

Merci bcp

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