Solution des exercices : Barycentre - 2nd
Classe:
Seconde
Exercice 1
$A\ $ et $\ B$ sont deux points distincts.
1) Justifions qu'il existe un point $G$ barycentre de $(A\;,\ 2)\ $ et $\ (B\;,\ 3).$
Comme la somme des coefficients de pondération $(2+3=5)$ est différente de zéro $(0)$ et que $A\ $ et $\ B$ sont distincts alors, il existe un point $G$ barycentre de $(A\;,\ 2)\ $ et $\ (B\;,\ 3).$
2) Exprimons $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}.$
$G$ barycentre de $(A\;,\ 2)\ $ et $\ (B\;,\ 3)$ donc, $G$ vérifie : $$2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec{0}$$
Ainsi,
$\begin{array}{rcl}2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec{0}&\Leftrightarrow&2\overrightarrow{GA}+3(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB})=\vec{0}\\\\&\Leftrightarrow&2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GA}++3\overrightarrow{AB}=\vec{0}\\\\&\Leftrightarrow&5\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{AB}=\vec{0}\\\\&\Leftrightarrow&5\overrightarrow{GA}=-3\overrightarrow{AB}\\\\&\Leftrightarrow&5\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AB}\\\\&\Leftrightarrow&\overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}\end{array}$
D'où, $\boxed{\overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}}$
Plaçons $G.$
Exercice 4
$G$ est le barycentre de $\left(A\;;\ \dfrac{1}{3}\right)\ $ et $\ \left(B\;;\ -\dfrac{5}{6}\right).\ G'$ est le barycentre de $(A\;,\ 2)\ $ et $\ (B\;,\ -5).$
Comparons $G\ $ et $\ G'.$
Soit $G$ est le barycentre de $\left(A\;;\ \dfrac{1}{3}\right)\ $ et $\ \left(B\;;\ -\dfrac{5}{6}\right)$ alors, $$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{GA}-\dfrac{5}{6}\overrightarrow{GB}=\vec{0}$$
Or, d'après la propriété d'homogénéité, le barycentre reste inchangé si on multiplie ses coefficients par un même réel non nul.
Donc, en multipliant par $6$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} 6\times\left(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{GA}-\dfrac{5}{6}\overrightarrow{GB}\right)=6\times\vec{0}&\Leftrightarrow&\dfrac{6}{3}\overrightarrow{GA}-\dfrac{6\times 5}{6}\overrightarrow{GB}=\vec{0}\\\\&\Leftrightarrow&2\overrightarrow{GA}-5\overrightarrow{GB}=\vec{0}\end{array}$
Par suite, $G$ est aussi le barycentre de $(A\;,\ 2)\ $ et $\ (B\;,\ -5).$
Or, par hypothèse, $G'$ est le barycentre de $(A\;,\ 2)\ $ et $\ (B\;,\ -5).$
Par conséquent, $G=G'$
Exercice 5
Sur une droite, on donne trois points $A\;,\ B\ $ et $\ G$ tels que $\overrightarrow{GA}=-\dfrac{2}{5}\overrightarrow{GB}$
Trouvons des réels $a\ $ et $\ b$ tels que $G$ soit le barycentre du système $\{(A\;,\ a)\;;\ (B\;;\ b)\}$
En effet, $G$ doit vérifier :
$$a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\vec{0}$$
On a :
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{GA}=-\dfrac{2}{5}\overrightarrow{GB}&\Leftrightarrow&5\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GB}\\\\&\Leftrightarrow&5\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec{0}\end{array}$
Par suite, la relation $5\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec{0}$ prouve que $G$ est barycentre du système $\{(A\;,\ 5)\;;\ (B\;;\ 2)\}$
D'où, $a=5\ $ et $\ b=2$
Exercice 6
Soient $A\ $ et $\ B$ deux points distincts et $G$ le barycentre de $(A\;,\ 3)\ $ et $\ (B\;,\ 2).$
1) La méthode du parallélogramme
Soit $M$ un point n'appartenant pas à $(AB).$ Construisons les points $A_{1}\;,\ B_{1}\ $ et $\ S$ tels que :
$$\overrightarrow{MA}_{1}=3\overrightarrow{MA}\;;\quad \overrightarrow{MB}_{1}=2\overrightarrow{MB}\quad \text{et}\quad \overrightarrow{MS}=\overrightarrow{MA}_{1}+\overrightarrow{MB}_{1}$$
Montrons alors que les droites $(MS)\ $ et $\ (AB)$ sont sécantes en $G.$
On a : $G$ le barycentre de $(A\;,\ 3)\ $ et $\ (B\;,\ 2)$ alors,
$$3\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec{0}\ \Rightarrow\ 3\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GB}$$
Donc, $A\;,\ B\ $ et $\ G$ sont alignés. D'où, $G\in(AB)$
Par ailleurs, $\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{MA}_{1}+\overrightarrow{MB}_{1}$
Or, $\overrightarrow{MA}_{1}=3\overrightarrow{MA}\ $ et $\ \overrightarrow{MB}_{1}=2\overrightarrow{MB}$
Donc, en remplaçant, on obtient : $\overrightarrow{MS}=3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}$
Comme $G$ est barycentre de $(A\;,\ 3)\ $ et $\ (B\;,\ 2)$ alors,
$$\forall\;M\in\mathcal{P}\;;\ \ 3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=5\overrightarrow{MG}$$
Par suite,
$$\overrightarrow{MS}=5\overrightarrow{MG}$$
Ainsi, les points $M\;,\ S\ $ et $\ G$ sont alignés. D'où, $G\in(MS)$
$G\in(AB)\ $ et $\ G\in(MS)$ donc, $G\in(AB)\cap(MS)$
Ce qui prouve que les droites $(MS)\ $ et $\ (AB)$ sont sécantes en $G.$
2) La méthode des parallèles
Soit $\vec{u}$ un vecteur non colinéaire à $\overrightarrow{MA}.$ Construisons les points $A'\ $ et $\ B'$ tels que :
$$\overrightarrow{AA'}=2\vec{u}\ \text{ et }\ \overrightarrow{BB'}=-3\vec{u}$$
Montrons que les droites $(A'B')\ $ et $\ (AB)$ sont sécantes en $G.$
En multipliant le vecteur $\overrightarrow{AA}'$ par $3$ et le vecteur $\overrightarrow{BB}'$ par $2$, on obtient :
$$3\overrightarrow{AA'}=6\vec{u}\quad \text{et}\quad 2\overrightarrow{BB'}=-6\vec{u}$$
Ainsi, $3\overrightarrow{AA'}+2\overrightarrow{BB'}=6\vec{u}-6\vec{u}=\vec{0}$
Par suite,
$\begin{array}{rcl} 3\overrightarrow{AA'}+2\overrightarrow{BB'}=\vec{0}&\Rightarrow&3(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA'})+2(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GB'})=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&3\overrightarrow{AG}+3\overrightarrow{GA'}+2\overrightarrow{BG}+2\overrightarrow{GB'}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&\underbrace{3\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{BG}}_{=\vec{0}}+3\overrightarrow{GA'}+2\overrightarrow{GB'}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&3\overrightarrow{GA'}+2\overrightarrow{GB'}=\vec{0}\end{array}$
Donc, $G$ est aussi barycentre de de $(A'\;,\ 3)\ $ et $\ (B'\;,\ 2)$
Ainsi, les points $A'\;,\ B'\ $ et $\ G$ sont alignés. D'où, $G\in(A'B')$
$G\in(AB)\ $ et $\ G\in(A'B')$ alors, $G\in(AB)\cap(A'B')$
Cela montre que les droites $(A'B')\ $ et $\ (AB)$ sont sécantes en $G.$
Exercice 7
Soient $A\ $ et $\ B$ deux points distincts.
Dans chacun des cas suivants, déterminons deux réels $\alpha\ $ et $\ \beta$ tel que $G$ soit le barycentre du système $(A\;;\ \alpha)\;,\ (B\;;\ \beta)$
Pour cela, $G$ doit vérifier la relation
$$\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}=\vec{0}\quad\text{ou}\quad\alpha\overrightarrow{AG}+\beta\overrightarrow{BG}=\vec{0}$$
a) Soit :
$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GB}&\Rightarrow&\overrightarrow{AG}-2\overrightarrow{GB}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{BG}=\vec{0}\end{array}$
Donc, $G$ est le barycentre du système $(A\;;\ 1)\;,\ (B\;;\ 2)$
b) On a :
$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GB}=3\overrightarrow{GA}&\Rightarrow&\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}-3\overrightarrow{GA}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&-\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}-3\overrightarrow{GA}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&-4\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec{0}\end{array}$
D'où, $G$ est le barycentre du système $(A\;;\ -4)\;,\ (B\;;\ 2)$
c) On a :
$\begin{array}{rcl}3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{0}&\Rightarrow&3(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB})+\overrightarrow{GA}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&3\overrightarrow{AG}+3\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GA}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&-3\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GA}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&-2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec{0}\end{array}$
Ainsi, $G$ est le barycentre du système $(A\;;\ -2)\;,\ (B\;;\ 3)$
Exercice 8
Dans chacun des cas suivants, trouvons des réels $\alpha\ $ et $\ \beta$ tels que $A$ soit barycentre de $\{(B\;;\ \alpha)\ (C\;;\ \beta)\}$
De la même manière que dans l'exercice précédent, $A$ doit vérifier la relation
$$\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}=\vec{0}\quad\text{ou}\quad\alpha\overrightarrow{BA}+\beta\overrightarrow{CA}=\vec{0}$$
1) On a : $\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{CA}=\vec{0}\ \Rightarrow\ \overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\vec{0}$
Donc, $A$ est barycentre de $\{(B\;;\ 1)\ (C\;;\ 2)\}$
2) Soit :
$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{BA}=3\overrightarrow{AC}&\Rightarrow&\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{AC}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{CA}=\vec{0}\end{array}$
$A$ est donc barycentre de $\{(B\;;\ 1)\ (C\;;\ 3)\}$
3) On a :
$\begin{array}{rcl} 2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}=\vec{0}&\Rightarrow&2(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{AC}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&2\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&2\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{AC}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&-2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=\vec{0}\end{array}$
D'où, $A$ est barycentre de $\{(B\;;\ -2)\ (C\;;\ 3)\}$
4) Soit :
$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BA}&\Rightarrow&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{BA}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}=\vec{0}\\\\&\Rightarrow&2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\vec{0}\end{array}$
D'où, $A$ est barycentre de $\{(B\;;\ 2)\ (C\;;\ 2)\}$
Exercice 12
$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O.$
1) Définissons vectoriellement et plaçons les points $I\;,\ J\;,\ K\ $ et $\ L$
En effet, on sait que si $G$ est barycentre de $(N\;;\ \alpha)\ $ et $\ (P\;;\ \beta)$ alors, pour tout point $M$ du plan, on a : $$\alpha\overrightarrow{MN}+\beta\overrightarrow{MP}=(\alpha +\beta)\overrightarrow{MG}$$
Ce qui donne :
$$\overrightarrow{MG}=\dfrac{\alpha\overrightarrow{MN}+\beta\overrightarrow{MP}}{\alpha+\beta}$$
Ainsi, nous allons appliquer cette propriété dans les cas suivants :
Soit $I$ barycentre de $(A\;,\ 5)\ $ et $\ (B\;,\ -2)$ alors, d'après la propriété caractéristique, on a :
$$\overrightarrow{AI}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$$
Soit $J$ barycentre de $(B\;,\ 1)$ et $(C\;,\ -2)$ alors, d'après la propriété caractéristique, on a :
$$\overrightarrow{BJ}=2\overrightarrow{BC}$$
Soit $K$ le barycentre de $(C\;,\ -5)$ et $(D\;,\ 2)$ alors, d'après la propriété caractéristique, on a :
$$\overrightarrow{CK}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}$$
Soit $L$ le barycentre de $(D\;,\ -1)$ et $(A\;,\ 2)$ alors, d'après la propriété caractéristique, on a :
$$\overrightarrow{DL}=2\overrightarrow{DA}$$
2) Démontrons que $IJKL$ est un parallélogramme de centre $O.$
En sommant membre à membre les égalités du résultat de $1)$, on obtient :
$$\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{DL}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{DA}$$
Or, $ABCD$ parallélogramme donc, $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}\ $ et $\ \overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}$
Par suite,
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{DL}&=&-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{DA}\\\\&=&-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC}\\\\&=&-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{BC}\\\\&=&\vec{0}\end{array}$
Ainsi, $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{DL}=\vec{0}$
En introduisant le point $O$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{DL}=\vec{0}&\Leftrightarrow&\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OJ}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OK}\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OL}=\vec{0}\\\\&\Leftrightarrow&\underbrace{\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO}}_{=\vec{0}}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ}+\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OL}=\vec{0}\\\\&\Leftrightarrow&\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ}+\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OL}=\vec{0}\end{array}$
Par conséquent, $\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ}+\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OL}=\vec{0}$
Ce qui démontre que $IJKL$ est un parallélogramme de centre $O.$
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
mar, 07/06/2021 - 18:34
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interressant
ibrahima sow (non vérifié)
lun, 03/14/2022 - 02:34
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je veux le pdf
Anonyme (non vérifié)
sam, 12/24/2022 - 08:57
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Correction de l exo 14
Cheikh2216620000 (non vérifié)
mer, 01/03/2024 - 22:58
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Bonjour je suis un élève 1s
Anonyme (non vérifié)
mar, 01/10/2023 - 22:38
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Montrer la correction d
Djigo (non vérifié)
dim, 11/19/2023 - 14:49
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Merci de votre travail pour
Maye faye (non vérifié)
dim, 01/21/2024 - 22:04
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Tellement intéressant
Mouhamed Ndiaye (non vérifié)
jeu, 02/22/2024 - 00:00
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Pouvez vous me donner la
Jalilo (non vérifié)
lun, 03/04/2024 - 03:19
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Très bien, svp Ex 14
Jalilo (non vérifié)
lun, 03/04/2024 - 03:19
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Merci bcp
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