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Série d'exercices : Fonction Logarithme Népérien - TL

Classe:

Terminale

Exercice 1

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les équations suivantes :

$\ln(3-2x)+\ln(1-x)=\ln 2+\ln 3$

$\ln(x+3)+\ln(x+5)=\ln 15$

$\ln(x+4)+\ln(x+3)=\ln(2x+18)$

$\ln(x+2)=\ln(-x+11)-\ln(x+3)$

$2\ln(3x-1)+\ln(5x+2)=\ln 2$

$\ln(3-x)+\ln 2-\ln(2x+1)=0$

$\ln(x-1)+\ln(3x+4)-2\ln\sqrt{6}=0$

$\ln x+\ln(3x+2)=\ln(2x+3)$

Exercice 2

$\ln(2x+6)+\ln(3x-5)\leq\ln 10$

$\ln(2x-5)+\ln(x+1)\leq 2\ln 2$

$\ln(x+5)+\ln(x+4)\leq\ln(x+13)$

$\ln(x+1)>\ln(4x-1)-\ln(x-1)$

$\ln(3x^{2}-x)\leq\ln x+\ln 2$

$2\ln(1-x)-\ln(x+5)\leq 0$

$\ln(3-x)+\ln 24<\ln(x+1)+\ln(25x-49)$

$\ln x+\ln(2-x)+\ln(x+4)\geq\ln 5$

Exercice 3

1. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ l'équation

$(\ln x)^{2}+2\ln x-3=0.$

2. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ l'inéquation

$[\ln(2-x)]^{2}+2\ln(2-x)-3=0$

3. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ l'inéquation

$(\ln x)^{2}+2\ln x-3\leq 0$

Exercice 4

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les équations ou inéquations suivantes :

$3(\ln x)^{2}-2\ln x-1=0$

$[\ln(x+1)]^{2}-\ln(x-1)-2=0$

$(\ln x)^{2}+\dfrac{5}{2}\ln x-\dfrac{3}{2}=0$

$2[\ln(2x)]^{2}-6\ln(2x)+3\leq 0$

$(\ln x)^{2}+\ln x-6\geq 0$

$\ln x-\dfrac{1}{\ln x}>\dfrac{3}{2}$

Exercice 5

1. Développer, réduire et ordonner suivant les puissances décroissantes de

$x$ le polynôme

$(x)=(x^{2}-4)(4x^{2}-1)$

2. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ l'équation

$4(\ln x)^{4}-17(\ln x)^{2}+4=0.$

3. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ l'inéquation

$4(\ln x)^{4}-17(\ln x)^{2}+4\leq 0$

Exercice 6

1. S&oit

$P(x)=2x^{3}-7x^{2}+2x+3$

Calculer

$P(1)$ puis factoriser

$P(x)$ en un produit de facteurs du

$1^{er}$ degré.

2. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction:

$f : x-\longrightarrow\ln(2x^{3}-7x^{2}+2x+3)$

3. Résoudre dans

$\mathbb{R}$

a. l'équation

$2(\ln x)^{3}-7(\ln x)^{2}+2\ln x+3=0$

b. L'inéquation

$2(\ln x)^{3}-7(\ln x)^{2}+2\ln x+3\leq 0$

Exercice 7

1. Soit

$P(X)P(x)=2x^{2}-x^{2}13x-6.$

a. Calculer

$P(-2.)$

En déduire que

$(X)$ peut s'écrire sous la forme

$P(x)=(x+2)(ax^{2}+bx+c)$ avec

$a$ ,

$b$ et

$c$ des réels à déterminer.

b. Résoudre l'équation

$P(x)=0.$

2. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les équations suivantes :

$2(\ln x)^{3}-(\ln x)^{2}-13\ln x-6=0.$

$\ln(1-x)+\ln(2x+3)-\ln(x+1)=2\ln 3.$

3. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les inéquations suivantes

$2(\ln x)^{3}-(\ln x)^{2}-13\ln x-6<0$

$2\ln(1-x)+\ln(2x+3)-\ln(x-+1)\geq 2\ln 3$

Exercice 8

Résoudre dans

$\mathbb{R}^{2}$ chacun des systèmes suivantes :

$\text{a)}\quad\left\lbrace\begin{array}{lcl} \ln x&-4\ln y&=6\\ \ln\left(x^{2}\right)&+\ln y&=7\\ \end{array}\right.$

$\text{b)}\quad\left\lbrace\begin{array}{lcl} \ln\left(xy^{2}\right)&=&1\\ \ln\dfrac{x}{y}&=&4 \end{array}\right.$

$\text{c)}\quad\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+y&=&\dfrac{3}{2}\\ \ln\left(x^{2}\right)+\ln\left(y^{2}\right)&=&-\ln 4 \end{array}\right.$

$\text{d)}\quad\left\lbrace\begin{array}{lcl} -2x+y&=&\dfrac{3}{2}\\\\ \ln\left(x^{2}\right)+\ln(-y)&=&\ln 3 \end{array}\right.$

$\text{e)}\quad\left\lbrace\begin{array}{lcl} 2\ln(x+7)-\ln(y+4)&=&\ln 2\\ -5\ln(x+7)+3\ln(y+4)&=&\ln 4 \end{array}\right.$

$\text{f)}\quad\left\lbrace\begin{array}{lcl} \ln(x-2)+3\ln(y-1)&=&9\\ 2\ln(x-2)-\ln(y-1)&=&4 \end{array}\right.$

Exercice 9

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de définition, les limites aux bornes de ce domaine et les asymptotes de la courbes représentative :

$f(x)=\dfrac{1}{x}+\ln x$ ;

$f(x)=\dfrac{1-\ln x}{x}$ ;

$f(x)=x-\ln x$ ;

$f(x)=x-2-\ln x$ ;

$f(x)=\ln\left(\dfrac{2-x}{2+x}\right)$ ;

$f(x)=\ln\left(\dfrac{2x+2}{x-3}\right)$ ;

$f(x)=\ln(x+4)-\ln(5-x)$ ;

$f(x)=2x+\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$

N.B :

pour la fonction, on montrera que la droite d'équation

$y=2x$ est une asymptote à

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en

$+\infty$ et en

$-\infty$

Exercice 10

1. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ l'équation :

$-2+\ln x=0$ puis l'inéquation

$-2+\ln x>0$

2. Soit

$f$ la fonction définie par :

$f(x)=\dfrac{3-3\ln x}{x}$ et

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan

$\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$

Unité graphique :

$2\,cm$

a. Déterminer

$D_{f}$ puis les limites de

$f$ aux bornes de cet ensemble.

b. Pour tout

$x$ de

$D_{f}$ , calculer

$f^{\prime}(x)$ , puis en utilisant les résultats de la question n°1, étudier les variations de

$f$ et donner son tableau de variations.

c. Déterminer les cordonnées du point

$A$ intersection de

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ avec l'axe des abscisses.

d. Donner une équation de la tangente

$(T)$ à

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point

$A.$

e. Calculer, à

$10^{-2}$ près.

$f(1)$ ,

$f(2)$ ,

$f(3)$ ,

$f(4)$ et

$f(6)$

f. Tracer

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ dans le repère

$\left(O\;,\ \vec{i}\ \vec{j}\right)$

On donne

$\mathrm{e}\approx 2.72$ ;

$\mathrm{e}^{2}\approx 7.39$ ;

$\ln 2\approx 0.69$ ;

$\ln 3\approx 1.09$

Exercice 11

Étudier et représenter graphiquement chacune des fonctions suivantes :

$f(x)=\ln\left(\dfrac{2-x}{3+x}\right)$

N.B :

On montera que

$I\left(-\dfrac{1}{2}\;,\ 0\right)$ est un centre de symétrie de

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$

$f(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$

N.B :

On montrera que

$f$ est impaire.

$f(x)=\dfrac{1}{4}x+\ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)$

N.B

On montrera que

$f$ est impaire rt que la droite d'équation

$y=\dfrac{1}{4}x$ est une asymptote oblique de

$\left(\mathcal{C}_{f}\right).$

$f(x)=-x+\ln(x+1)-\ln x$

N.B :

On montrera que

$D\ :\ y=-x$ est asymptote à

$\mathcal{C}_{f}$ en

$+\infty$

$(x)=-\dfrac{3}{4}x+\ln\left(\dfrac{3x-6}{x+1}\right)$

$f(x)=x\ln x$

$f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$

Exercice 12

Soit

$f$ la fonction définie par

$f(x)=x+\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$

1. Déterminer

$D_{f}$

2. Montrer que

$f$ est impaire.

Que peut-on en déduire pour

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ ?

3. On pose

$u(x)=\dfrac{x-1}{x+1}\quad\text{et}\quad v(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$

Calculer

$u'(x)\quad\text{et}\quad v'(x).$

En déduire

$f'(x)$ et donner le tableau de variations de

$f.$

4. a. Déterminer les asymptotes verticales de

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et montrer que la droite

$D\ :\ y=x$ est asymptote à

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en

$+\infty$ et

$-\infty$

b. Préciser la position relative de

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et

$(D).$

5. Tracer

$\left(\mathcal{C}_{f}\right).$

Exercice 13

Soit

$f(x)=\ln\left[\dfrac{3(x+2)}{x-2}\right]$

1. Déterminer

$D_{f}$ ; les limites aux bornes de

$D_{f}$ ; les asymptotes de

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$

2. Montrer que

$I(0\;,\ 3)$ est un centre de symétrie pour

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$

3. Étudier les variations de

$f$ et donner son tableau de variations.

4. Montrer que

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ rencontre l'axe des abscisses en un pont

$A$ dont on donnera les coordonnées.

5. Donner l'équation de la tangente à

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en

$A.$

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ rencontre-telle l'axe des ordonnées ?

Justifier la réponse.

7. Construire dans un repère orthonormé

$\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$ , les asymptotes, les points

$I$ et

$A$ , la tangente en

$A$ et la courbe

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$

Exercice 14

Soit

$f(x)=\ln\left(\dfrac{4+x}{2-x}\right)$

1. Déterminer

$D_{f}$

2. Étudier les limites de faux bornes de

$D_{f}$ et donner les équations des asymptotes de la courbe

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$

3.a. Montrer que

$f$ est dérivable sur son domaine de définition.

b. Calculer

$f'(x)$ , pour

$x\in\;D_{f}$ et donner le tableau de variation de

$f$

4. Déterminer les coordonnées du point

$I$ d'intersection de

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ avec l'axe des abscisses.

5. Donner une équation de la tangente

$(\mathcal{T})$ à

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point

$I$

6. Montrer que

$I$ est centre de symétrie de la courbe

$\left(\mathcal{C}_{f}\right).$

7. Construire

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ dans un repère.

Exercice 15

Soit la fonction définie par

$G(x)=2x+\ln\left(\dfrac{3x+1}{x-1}\right)$

1.a. Déterminer

$D_{G}$ ensemble de définition de

$G$

b. Calculer

$G^{\prime}(x)$ pour tout

$x\in]1\;,\ +\infty[.$

2. On pose

$g(x)=2+\dfrac{3}{3x+1}-\dfrac{1}{x-1}$ pour tout

$\in]1\;,\ +\infty$

Montrer que

$g(x)=2-\dfrac{4}{(3x+1)(x-1)}$ pour tout

$x\in]1\;,\ +\infty[$

3. Calculer :

$I=\int_{2}^{3}g(x)\mathrm{d}x.$

Exercice 16

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x) = \ln\left(\frac{3x-6}{x}\right)$ , de représentation graphique $\mathcal{C}$ .

1. Montrer que le domaine de définition de $f$ est $D = ]-\infty, 0[ \cup ]2, +\infty[$ .

2. Calculer les limites aux bornes de $D$ . Préciser les asymptotes à $\mathcal{C}$ .

3. Démontrer que pour tout $x \in D$ , $f'(x) = \frac{6}{x(3x-6)}$ .

4. Étudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$ .

5. Déterminer le point A intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.

6. Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse 3.

7. Montrer que le point $\text{I}(1, \ln 3)$ est un centre de symétrie de $\mathcal{C}$ .

8. Construire $\mathcal{C}$ .