Série d'exercices : Fonction Logarithme Népérien - TL
Classe:
Terminale
Exercice 1
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
1. $\ln(3-2x)+\ln(1-x)=\ln 2+\ln 3$
2. $\ln(x+3)+\ln(x+5)=\ln 15$
3. $\ln(x+4)+\ln(x+3)=\ln(2x+18)$
4. $\ln(x+2)=\ln(-x+11)-\ln(x+3)$
5. $2\ln(3x-1)+\ln(5x+2)=\ln 2$
6. $\ln(3-x)+\ln 2-\ln(2x+1)=0$
7. $\ln(x-1)+\ln(3x+4)-2\ln\sqrt{6}=0$
8. $\ln x+\ln(3x+2)=\ln(2x+3)$
Exercice 2
a. $\ln(2x+6)+\ln(3x-5)\leq\ln 10$
b. $\ln(2x-5)+\ln(x+1)\leq 2\ln 2$
c. $\ln(x+5)+\ln(x+4)\leq\ln(x+13)$
d. $\ln(x+1)>\ln(4x-1)-\ln(x-1)$
e. $\ln(3x^{2}-x)\leq\ln x+\ln 2$
f. $2\ln(1-x)-\ln(x+5)\leq 0$
g. $\ln(3-x)+\ln 24<\ln(x+1)+\ln(25x-49)$
h. $\ln x+\ln(2-x)+\ln(x+4)\geq\ln 5$
Exercice 3
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(\ln x)^{2}+2\ln x-3=0.$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $[\ln(2-x)]^{2}+2\ln(2-x)-3=0$
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(\ln x)^{2}+2\ln x-3\leq 0$
Exercice 4
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations ou inéquations suivantes :
a. $3(\ln x)^{2}-2\ln x-1=0$
b. $[\ln(x+1)]^{2}-\ln(x-1)-2=0$
c. $(\ln x)^{2}+\dfrac{5}{2}\ln x-\dfrac{3}{2}=0$
d. $2[\ln(2x)]^{2}-6\ln(2x)+3\leq 0$
e. $(\ln x)^{2}+\ln x-6\geq 0$
f. $\ln x-\dfrac{1}{\ln x}>\dfrac{3}{2}$
Exercice 5
1. Développer, réduire et ordonner suivant les puissances décroissantes de $x$ le polynôme $(x)=(x^{2}-4)(4x^{2}-1)$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $4(\ln x)^{4}-17(\ln x)^{2}+4=0.$
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $4(\ln x)^{4}-17(\ln x)^{2}+4\leq 0$
Exercice 6
1. S&oit $P(x)=2x^{3}-7x^{2}+2x+3$
Calculer $P(1)$ puis factoriser $P(x)$ en un produit de facteurs du $1^{er}$ degré.
2. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction:
$f : x-\longrightarrow\ln(2x^{3}-7x^{2}+2x+3)$
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$
a. l'équation $2(\ln x)^{3}-7(\ln x)^{2}+2\ln x+3=0$
b. L'inéquation $2(\ln x)^{3}-7(\ln x)^{2}+2\ln x+3\leq 0$
Exercice 7
1. Soit $P(X)P(x)=2x^{2}-x^{2}13x-6.$
a. Calculer $P(-2.)$
En déduire que $(X)$ peut s'écrire sous la forme
$P(x)=(x+2)(ax^{2}+bx+c)$ avec $a$, $b$ et $c$ des réels à déterminer.
b. Résoudre l'équation $P(x)=0.$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
a. $2(\ln x)^{3}-(\ln x)^{2}-13\ln x-6=0.$
b. $\ln(1-x)+\ln(2x+3)-\ln(x+1)=2\ln 3.$
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes
a. $2(\ln x)^{3}-(\ln x)^{2}-13\ln x-6<0$
b. $2\ln(1-x)+\ln(2x+3)-\ln(x-+1)\geq 2\ln 3$
Exercice 8
Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ chacun des systèmes suivantes :
$$\text{a)}\quad\left\lbrace\begin{array}{lcl} \ln x&-4\ln y&=6\\ \ln\left(x^{2}\right)&+\ln y&=7\\ \end{array}\right.$$
$$\text{b)}\quad\left\lbrace\begin{array}{lcl} \ln\left(xy^{2}\right)&=&1\\ \ln\dfrac{x}{y}&=&4 \end{array}\right.$$
$$\text{c)}\quad\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+y&=&\dfrac{3}{2}\\ \ln\left(x^{2}\right)+\ln\left(y^{2}\right)&=&-\ln 4 \end{array}\right.$$
$$\text{d)}\quad\left\lbrace\begin{array}{lcl} -2x+y&=&\dfrac{3}{2}\\\\ \ln\left(x^{2}\right)+\ln(-y)&=&\ln 3 \end{array}\right.$$
$$\text{e)}\quad\left\lbrace\begin{array}{lcl} 2\ln(x+7)-\ln(y+4)&=&\ln 2\\ -5\ln(x+7)+3\ln(y+4)&=&\ln 4 \end{array}\right.$$
$$\text{f)}\quad\left\lbrace\begin{array}{lcl} \ln(x-2)+3\ln(y-1)&=&9\\ 2\ln(x-2)-\ln(y-1)&=&4 \end{array}\right.$$
Exercice 9
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de définition, les limites aux bornes de ce domaine et les asymptotes de la courbes représentative :
1. $f(x)=\dfrac{1}{x}+\ln x$ ;
2. $f(x)=\dfrac{1-\ln x}{x}$ ;
3. $f(x)=x-\ln x$ ;
4. $f(x)=x-2-\ln x$ ;
5. $f(x)=\ln\left(\dfrac{2-x}{2+x}\right)$ ;
6. $f(x)=\ln\left(\dfrac{2x+2}{x-3}\right)$ ;
7. $f(x)=\ln(x+4)-\ln(5-x)$ ;
8. $f(x)=2x+\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$
N.B :
pour la fonction, on montrera que la droite d'équation $y=2x$ est une asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en $+\infty$ et en $-\infty$
Exercice 10
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $-2+\ln x=0$ puis l'inéquation $-2+\ln x>0$
2. Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\dfrac{3-3\ln x}{x}$ et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$
Unité graphique : $2\,cm$
a. Déterminer $D_{f}$ puis les limites de $f$ aux bornes de cet ensemble.
b. Pour tout $x$ de $D_{f}$, calculer $f^{\prime}(x)$, puis en utilisant les résultats de la question n°1, étudier les variations de $f$ et donner son tableau de variations.
c. Déterminer les cordonnées du point $A$ intersection de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ avec l'axe des abscisses.
d. Donner une équation de la tangente $(T)$ à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point $A.$
e. Calculer, à $10^{-2}$ près.
$f(1)$, $f(2)$, $f(3)$, $f(4)$ et $f(6)$
f. Tracer $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ dans le repère $\left(O\;,\ \vec{i}\ \vec{j}\right)$
On donne $\mathrm{e}\approx 2.72$ ;
$\mathrm{e}^{2}\approx 7.39$ ;
$\ln 2\approx 0.69$ ;
$\ln 3\approx 1.09$
Exercice 11
Étudier et représenter graphiquement chacune des fonctions suivantes :
1. $f(x)=\ln\left(\dfrac{2-x}{3+x}\right)$
N.B :
On montera que $I\left(-\dfrac{1}{2}\;,\ 0\right)$ est un centre de symétrie de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
2. $f(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$
N.B :
On montrera que $f$ est impaire.
3. $f(x)=\dfrac{1}{4}x+\ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)$
N.B
On montrera que $f$ est impaire rt que la droite d'équation
$y=\dfrac{1}{4}x$ est une asymptote oblique de $\left(\mathcal{C}_{f}\right).$
4. $f(x)=-x+\ln(x+1)-\ln x$
N.B :
On montrera que $D\ :\ y=-x$ est asymptote à $\mathcal{C}_{f}$ en $+\infty$
5. $(x)=-\dfrac{3}{4}x+\ln\left(\dfrac{3x-6}{x+1}\right)$
6. $f(x)=x\ln x$
7. $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$
Exercice 12
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x+\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$
1. Déterminer $D_{f}$
2. Montrer que $f$ est impaire.
Que peut-on en déduire pour $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ ?
3. On pose $u(x)=\dfrac{x-1}{x+1}\quad\text{et}\quad v(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$
Calculer $u'(x)\quad\text{et}\quad v'(x).$
En déduire $f'(x)$ et donner le tableau de variations de $f.$
4. a. Déterminer les asymptotes verticales de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et montrer que la droite $D\ :\ y=x$ est asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en $+\infty$ et $-\infty$
b. Préciser la position relative de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et $(D).$
5. Tracer $\left(\mathcal{C}_{f}\right).$
Exercice 13
Soit $f(x)=\ln\left[\dfrac{3(x+2)}{x-2}\right]$
1. Déterminer $D_{f}$ ; les limites aux bornes de $D_{f}$ ; les asymptotes de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
2. Montrer que $I(0\;,\ 3)$ est un centre de symétrie pour $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
3. Étudier les variations de $f$ et donner son tableau de variations.
4. Montrer que $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ rencontre l'axe des abscisses en un pont $A$ dont on donnera les coordonnées.
5. Donner l'équation de la tangente à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en $A.$
6. $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ rencontre-telle l'axe des ordonnées ?
Justifier la réponse.
7. Construire dans un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$, les asymptotes, les points $I$ et $A$, la tangente en $A$ et la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
Exercice 14
Soit $f(x)=\ln\left(\dfrac{4+x}{2-x}\right)$
1. Déterminer $D_{f}$
2. Étudier les limites de faux bornes de $D_{f}$ et donner les équations des asymptotes de la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
3.a. Montrer que $f$ est dérivable sur son domaine de définition.
b. Calculer $f'(x)$, pour $x\in\;D_{f}$ et donner le tableau de variation de $f$
4. Déterminer les coordonnées du point $I$ d'intersection de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ avec l'axe des abscisses.
5. Donner une équation de la tangente $(\mathcal{T})$ à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point $I$
6. Montrer que $I$ est centre de symétrie de la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right).$
7. Construire $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ dans un repère.
Exercice 15
Soit la fonction définie par $G(x)=2x+\ln\left(\dfrac{3x+1}{x-1}\right)$
1.a. Déterminer $D_{G}$ ensemble de définition de $G$
b. Calculer $G^{\prime}(x)$ pour tout $x\in]1\;,\ +\infty[.$
2. On pose $g(x)=2+\dfrac{3}{3x+1}-\dfrac{1}{x-1}$ pour tout $\in]1\;,\ +\infty$
Montrer que $g(x)=2-\dfrac{4}{(3x+1)(x-1)}$ pour tout $x\in]1\;,\ +\infty[$
3. Calculer : $$I=\int_{2}^{3}g(x)\mathrm{d}x.$
Ajouter un commentaire