Correction Série d'exercices : Fonction Logarithme Népérien - TL
Exercice 1
1. Résoudre dans ℝ l'équation :
\[ \ln(3-2x) + \ln(1-x) = \ln 2 + \ln 3 \]
Conditions d'existence :
- \( 3-2x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{3}{2} \)
- \( 1-x > 0 \Leftrightarrow x < 1 \)
Domaine de validité : \( x < 1 \)
Résolution :
\[ \ln[(3-2x)(1-x)] = \ln(2 \times 3) \]
\[ (3-2x)(1-x) = 6 \]
\[ 3 - 3x - 2x + 2x^2 = 6 \]
\[ 2x^2 - 5x - 3 = 0 \]
Solutions de l'équation quadratique :
\[ \Delta = 25 + 24 = 49 \]
\[ x = \frac{5 \pm 7}{4} \]
\[ x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -\frac{1}{2} \]
Solution dans le domaine : \( x = -\frac{1}{2} \)
Réponse finale :
\[
\boxed{-\dfrac{1}{2}}
\]
2. Résoudre dans ℝ l'équation :
\[ \ln(x+3) + \ln(x+5) = \ln 15 \]
Conditions d'existence :
- \( x+3 > 0 \Leftrightarrow x > -3 \)
- \( x+5 > 0 \Leftrightarrow x > -5 \)
Domaine de validité : \( x > -3 \)
Résolution :
\[ \ln[(x+3)(x+5)] = \ln 15 \]
\[ (x+3)(x+5) = 15 \]
\[ x^2 + 8x + 15 = 15 \]
\[ x^2 + 8x = 0 \]
\[ x(x + 8) = 0 \]
\[ x = 0 \quad \text{ou} \quad x = -8 \]
Solution dans le domaine : \( x = 0 \)
Réponse finale :
\[
\boxed{0}
\]
3. Résoudre dans ℝ l'équation :
\[ \ln(x+4) + \ln(x+3) = \ln(2x+18) \]
Conditions d'existence :
- \( x+4 > 0 \Leftrightarrow x > -4 \)
- \( x+3 > 0 \Leftrightarrow x > -3 \)
- \( 2x+18 > 0 \Leftrightarrow x > -9 \)
Domaine de validité : \( x > -3 \)
Résolution :
\[ \ln[(x+4)(x+3)] = \ln(2x+18) \]
\[ (x+4)(x+3) = 2x + 18 \]
\[ x^2 + 7x + 12 = 2x + 18 \]
\[ x^2 + 5x - 6 = 0 \]
\[ (x+6)(x-1) = 0 \]
\[ x = -6 \quad \text{ou} \quad x = 1 \]
Solution dans le domaine : \( x = 1 \)
Réponse finale :
\[
\boxed{1}
\]
4. Résoudre dans ℝ l'équation :
\[ \ln(x+2) = \ln(-x+11) - \ln(x+3) \]
Conditions d'existence :
- \( x+2 > 0 \Leftrightarrow x > -2 \)
- \( -x+11 > 0 \Leftrightarrow x < 11 \)
- \( x+3 > 0 \Leftrightarrow x > -3 \)
Domaine de validité : \( -2 < x < 11 \)
Résolution :
\[ \ln(x+2) = \ln\left(\frac{-x+11}{x+3}\right) \]
\[ x+2 = \frac{-x+11}{x+3} \]
\[ (x+2)(x+3) = -x + 11 \]
\[ x^2 + 5x + 6 = -x + 11 \]
\[ x^2 + 6x - 5 = 0 \]
Solutions de l'équation quadratique :
\[ \Delta = 36 + 20 = 56 \]
\[ x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -3 \pm \sqrt{14} \]
Solutions dans le domaine :
- \( -3 + \sqrt{14} \approx 0,74 \) (valide)
- \( -3 - \sqrt{14} \approx -6,74 \) (non valide)
Réponse finale :
\[
\boxed{-3 + \sqrt{14}}
\]
5. Résoudre dans ℝ l'équation :
\[ 2\ln(3x-1) + \ln(5x+2) = \ln 2 \]
Conditions d'existence :
- \( 3x-1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{3} \)
- \( 5x+2 > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{2}{5} \)
Domaine de validité : \( x > \frac{1}{3} \)
Résolution :
\[ \ln[(3x-1)^2 (5x+2)] = \ln 2 \]
\[ (3x-1)^2 (5x+2) = 2 \]
\[ (9x^2 - 6x + 1)(5x + 2) = 2 \]
\[ 45x^3 + 18x^2 - 30x^2 - 12x + 5x + 2 = 2 \]
\[ 45x^3 - 12x^2 - 7x = 0 \]
\[ x(45x^2 - 12x - 7) = 0 \]
Solutions :
- \( x = 0 \) (non valide car \( x > \frac{1}{3} \))
- \( 45x^2 - 12x - 7 = 0 \)
\[ \Delta = 144 + 1260 = 1404 \]
\[ x = \frac{12 \pm \sqrt{1404}}{90} = \frac{12 \pm 6\sqrt{39}}{90} = \frac{2 \pm \sqrt{39}}{15} \]
Solution dans le domaine :
\[ x = \frac{2 + \sqrt{39}}{15} \approx 0,56 \]
Réponse finale :
\[
\boxed{\dfrac{2 + \sqrt{39}}{15}}
\]
6. Résoudre dans ℝ l'équation :
\[ \ln(3-x) + \ln 2 - \ln(2x+1) = 0 \]
Conditions d'existence :
- \( 3-x > 0 \Leftrightarrow x < 3 \)
- \( 2x+1 > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{1}{2} \)
Domaine de validité : \( -\frac{1}{2} < x < 3 \)
Résolution :
\[ \ln\left(\frac{2(3-x)}{2x+1}\right) = 0 \]
\[ \frac{6 - 2x}{2x + 1} = 1 \]
\[ 6 - 2x = 2x + 1 \]
\[ 5 = 4x \]
\[ x = \frac{5}{4} \]
Réponse finale :
\[
\boxed{\dfrac{5}{4}}
\]
7. Résoudre dans ℝ l'équation :
\[ \ln(x-1) + \ln(3x+4) - 2\ln\sqrt{6} = 0 \]
Conditions d'existence :
- \( x-1 > 0 \Leftrightarrow x > 1 \)
- \( 3x+4 > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{4}{3} \)
Domaine de validité : \( x > 1 \)
Résolution :
\[ \ln[(x-1)(3x+4)] = \ln 6 \]
\[ (x-1)(3x+4) = 6 \]
\[ 3x^2 + x - 4 = 6 \]
\[ 3x^2 + x - 10 = 0 \]
Solutions :
\[ \Delta = 1 + 120 = 121 \]
\[ x = \frac{-1 \pm 11}{6} \]
\[ x = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \quad \text{ou} \quad x = -2 \]
Solution dans le domaine : \( x = \frac{5}{3} \)
Réponse finale :
\[
\boxed{\dfrac{5}{3}}
\]
8. Résoudre dans ℝ l'équation :
\[ \ln x + \ln(3x+2) = \ln(2x+3) \]
Conditions d'existence :
- \( x > 0 \)
- \( 3x+2 > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{2}{3} \)
- \( 2x+3 > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{3}{2} \)
Domaine de validité : \( x > 0 \)
Résolution :
\[ \ln[x(3x+2)] = \ln(2x+3) \]
\[ 3x^2 + 2x = 2x + 3 \]
\[ 3x^2 = 3 \]
\[ x^2 = 1 \]
\[ x = 1 \quad \text{ou} \quad x = -1 \]
Solution dans le domaine : \( x = 1 \)
Réponse finale :
\[
\boxed{1}
\]
Exercice 2
a. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
\[ \ln(2x+6) + \ln(3x-5) \leq \ln 10 \]
Conditions d'existence :
- \( 2x+6 > 0 \Leftrightarrow x > -3 \)
- \( 3x-5 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{5}{3} \)
Domaine de validité : \( x > \frac{5}{3} \)
Résolution :
\[ \ln[(2x+6)(3x-5)] \leq \ln 10 \]
\[ (2x+6)(3x-5) \leq 10 \]
\[ 6x^2 - 10x + 18x - 30 \leq 10 \]
\[ 6x^2 + 8x - 40 \leq 0 \]
\[ 3x^2 + 4x - 20 \leq 0 \]
Solutions de l'équation quadratique :
\[ \Delta = 16 + 240 = 256 \]
\[ x = \frac{-4 \pm 16}{6} \]
\[ x = 2 \quad \text{ou} \quad x = -\frac{10}{3} \]
Solution de l'inéquation : \( -\frac{10}{3} \leq x \leq 2 \)
Intersection avec le domaine : \( \frac{5}{3} < x \leq 2 \)
Réponse finale :
\[
\boxed{\left]\dfrac{5}{3}\,; 2\right]}
\]
b. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
\[ \ln(2x-5) + \ln(x+1) \leq 2\ln 2 \]
Conditions d'existence :
- \( 2x-5 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{5}{2} \)
- \( x+1 > 0 \Leftrightarrow x > -1 \)
Domaine de validité : \( x > \frac{5}{2} \)
Résolution :
\[ \ln[(2x-5)(x+1)] \leq \ln 4 \]
\[ (2x-5)(x+1) \leq 4 \]
\[ 2x^2 - 3x - 5 \leq 4 \]
\[ 2x^2 - 3x - 9 \leq 0 \]
Solutions de l'équation quadratique :
\[ \Delta = 9 + 72 = 81 \]
\[ x = \frac{3 \pm 9}{4} \]
\[ x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -\frac{3}{2} \]
Solution de l'inéquation : \( -\frac{3}{2} \leq x \leq 3 \)
Intersection avec le domaine : \( \frac{5}{2} < x \leq 3 \)
Réponse finale :
\[
\boxed{\left]\dfrac{5}{2}\,; 3\right]}
\]
c. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
\[ \ln(x+5) + \ln(x+4) \leq \ln(x+13) \]
Conditions d'existence :
- \( x+5 > 0 \Leftrightarrow x > -5 \)
- \( x+4 > 0 \Leftrightarrow x > -4 \)
- \( x+13 > 0 \Leftrightarrow x > -13 \)
Domaine de validité : \( x > -4 \)
Résolution :
\[ \ln[(x+5)(x+4)] \leq \ln(x+13) \]
\[ (x+5)(x+4) \leq x + 13 \]
\[ x^2 + 9x + 20 \leq x + 13 \]
\[ x^2 + 8x + 7 \leq 0 \]
Solutions de l'équation quadratique :
\[ (x+1)(x+7) \leq 0 \]
Solution de l'inéquation : \( -7 \leq x \leq -1 \)
Intersection avec le domaine : \( -4 < x \leq -1 \)
Réponse finale :
\[
\boxed{\left]-4\,; -1\right]}
\]
d. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
\[ \ln(x+1) > \ln(4x-1) - \ln(x-1) \]
Conditions d'existence :
- \( x+1 > 0 \Leftrightarrow x > -1 \)
- \( 4x-1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{4} \)
- \( x-1 > 0 \Leftrightarrow x > 1 \)
Domaine de validité : \( x > 1 \)
Résolution :
\[ \ln(x+1) > \ln\left(\frac{4x-1}{x-1}\right) \]
\[ x+1 > \frac{4x-1}{x-1} \]
\[ (x+1)(x-1) > 4x - 1 \]
\[ x^2 - 1 > 4x - 1 \]
\[ x^2 - 4x > 0 \]
\[ x(x-4) > 0 \]
Solution de l'inéquation : \( x < 0 \) ou \( x > 4 \)
Intersection avec le domaine : \( x > 4 \)
Réponse finale :
\[
\boxed{\left]4\,; +\infty\right[}
\]
e. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
\[ \ln(3x^2 - x) \leq \ln x + \ln 2 \]
Conditions d'existence :
- \( 3x^2 - x > 0 \Leftrightarrow x(3x-1) > 0 \Leftrightarrow x < 0 \) ou \( x > \frac{1}{3} \)
- \( x > 0 \)
Domaine de validité : \( x > \frac{1}{3} \)
Résolution :
\[ \ln(3x^2 - x) \leq \ln(2x) \]
\[ 3x^2 - x \leq 2x \]
\[ 3x^2 - 3x \leq 0 \]
\[ 3x(x-1) \leq 0 \]
Solution de l'inéquation : \( 0 \leq x \leq 1 \)
Intersection avec le domaine : \( \frac{1}{3} < x \leq 1 \)
Réponse finale :
\[
\boxed{\left]\dfrac{1}{3}\,; 1\right]}
\]
f. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
\[ 2\ln(1-x) - \ln(x+5) \leq 0 \]
Conditions d'existence :
- \( 1-x > 0 \Leftrightarrow x < 1 \)
- \( x+5 > 0 \Leftrightarrow x > -5 \)
Domaine de validité : \( -5 < x < 1 \)
Résolution :
\[ \ln[(1-x)^2] \leq \ln(x+5) \]
\[ (1-x)^2 \leq x + 5 \]
\[ 1 - 2x + x^2 \leq x + 5 \]
\[ x^2 - 3x - 4 \leq 0 \]
Solutions de l'équation quadratique :
\[ (x-4)(x+1) \leq 0 \]
Solution de l'inéquation : \( -1 \leq x \leq 4 \)
Intersection avec le domaine : \( -1 \leq x < 1 \)
Réponse finale :
\[
\boxed{\left[-1\,; 1\right[}
\]
g. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
\[ \ln(3-x) + \ln 24 < \ln(x+1) + \ln(25x-49) \]
Conditions d'existence :
- \( 3-x > 0 \Leftrightarrow x < 3 \)
- \( x+1 > 0 \Leftrightarrow x > -1 \)
- \( 25x-49 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{49}{25} \)
Domaine de validité : \( \frac{49}{25} < x < 3 \)
Résolution :
\[ \ln[24(3-x)] < \ln[(x+1)(25x-49)] \]
\[ 72 - 24x < 25x^2 - 49x + 25x - 49 \]
\[ 72 - 24x < 25x^2 - 24x - 49 \]
\[ 121 < 25x^2 \]
\[ x^2 > \frac{121}{25} \]
\[ x > \frac{11}{5} \quad \text{ou} \quad x < -\frac{11}{5} \]
Intersection avec le domaine : \( \frac{11}{5} < x < 3 \)
Réponse finale :
\[
\boxed{\left]\dfrac{11}{5}\,; 3\right[}
\]
h. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
\[ \ln x + \ln(2-x) + \ln(x+4) \geq \ln 5 \]
Conditions d'existence :
- \( x > 0 \)
- \( 2-x > 0 \Leftrightarrow x < 2 \)
- \( x+4 > 0 \Leftrightarrow x > -4 \)
Domaine de validité : \( 0 < x < 2 \)
Résolution :
\[ \ln[x(2-x)(x+4)] \geq \ln 5 \]
\[ x(2-x)(x+4) \geq 5 \]
\[ -x^3 - 2x^2 + 8x - 5 \geq 0 \]
\[ x^3 + 2x^2 - 8x + 5 \leq 0 \]
Test des racines évidentes :
- \( x = 1 \) : \( 1 + 2 - 8 + 5 = 0 \)
Factorisation :
\[ (x-1)(x^2 + 3x - 5) \leq 0 \]
Solutions de \( x^2 + 3x - 5 = 0 \) :
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2} \]
Solution de l'inéquation :
\[ x \in \left[\frac{-3 - \sqrt{29}}{2}\,; 1\right] \cup \left[\frac{-3 + \sqrt{29}}{2}\,; +\infty\right[ \]
Intersection avec le domaine : \( 0 < x \leq 1 \)
Réponse finale :
\[
\boxed{\left]0\,; 1\right]}
\]
Exercice 3
1. Résoudre dans ℝ l'équation :
\[ (\ln x)^2 + 2\ln x - 3 = 0 \]
Substitution : \( y = \ln x \)
\[ y^2 + 2y - 3 = 0 \]
\[ (y + 3)(y - 1) = 0 \]
\[ y = -3 \quad \text{ou} \quad y = 1 \]
Solutions :
\[ \ln x = -3 \Leftrightarrow x = e^{-3} \]
\[ \ln x = 1 \Leftrightarrow x = e \]
Réponse finale :
\[
\boxed{e^{-3}} \quad \text{et} \quad \boxed{e}
\]
2. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
\[ [\ln(2-x)]^2 + 2\ln(2-x) - 3 \leq 0 \]
Substitution : \( y = \ln(2-x) \)
\[ y^2 + 2y - 3 \leq 0 \]
\[ (y + 3)(y - 1) \leq 0 \]
Solution de l'inéquation : \( -3 \leq y \leq 1 \)
Retour à la variable \( x \) :
\[ -3 \leq \ln(2-x) \leq 1 \]
\[ e^{-3} \leq 2 - x \leq e \]
\[ -e + 2 \leq x \leq 2 - e^{-3} \]
Conditions d'existence : \( 2 - x > 0 \Leftrightarrow x < 2 \)
Intersection : \( -e + 2 \leq x < 2 \)
Réponse finale :
\[
\boxed{\left[2 - e\,; 2 - e^{-3}\right]}
\]
3. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
\[ (\ln x)^2 + 2\ln x - 3 \leq 0 \]
Substitution : \( y = \ln x \)
\[ y^2 + 2y - 3 \leq 0 \]
\[ (y + 3)(y - 1) \leq 0 \]
\[ -3 \leq y \leq 1 \]
Retour à la variable \( x \) :
\[ -3 \leq \ln x \leq 1 \]
\[ e^{-3} \leq x \leq e \]
Réponse finale :
\[
\boxed{\left[e^{-3}\,; e\right]}
\]
Exercice 4
a.
$$
3(\ln x)^2 - 2 \ln x - 1 = 0
$$
Posons $y = \ln x$ :
$$
3y^2 -2y -1 =0
$$
Discriminant :
$$
\Delta = (-2)^2 -4 \times3 \times(-1) =4 +12 =16
$$
Racines :
$$
y_1 = \frac{2 -4}{6} = -\frac{1}{3}, \quad y_2 = \frac{2 +4}{6} =1
$$
Donc :
$$
\ln x = -\frac{1}{3} \implies x = e^{-1/3}, \quad \ln x =1 \implies x = e^1 = e
$$
Solution finale :
$$
\boxed{x \in \left\{ e^{-1/3}, \, e \right\}}
$$
b.
$$
[\ln(x +1)]^2 - \ln(x -1) -2 =0
$$
Posons $u = \ln(x +1)$ et travaillons $\ln(x -1)$ :
$$
u^2 - \ln(x -1) -2 =0 \implies \ln(x -1) = u^2 -2
$$
On remplace $u$ :
$$
\ln(x -1) = (\ln(x +1))^2 -2
$$
On doit résoudre ce système :
$$
x +1 >0, \quad x -1 >0 \implies x >1
$$
Solution numérique à prévoir → veux-tu que je développe ça complètement avec approximation ?
c.
$$
(\ln x)^2 + \frac{5}{2} \ln x - \frac{3}{2}=0
$$
Posons $y = \ln x$ :
$$
y^2 + \frac{5}{2} y -\frac{3}{2}=0
$$
Discriminant :
$$
\Delta = \left(\frac{5}{2}\right)^2 -4 \times1 \times\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{25}{4} +6=\frac{49}{4}
$$
Racines :
$$
y_1 = \frac{-\frac{5}{2} -\frac{7}{2}}{2} = -3, \quad y_2 = \frac{-\frac{5}{2} +\frac{7}{2}}{2} = \frac{1}{2}
$$
Donc :
$$
\ln x = -3 \implies x = e^{-3}, \quad \ln x = \frac{1}{2} \implies x = e^{1/2}
$$
Solution finale :
$$
\boxed{x \in \left\{ e^{-3},\, e^{1/2} \right\}}
$$
d.
$$
2[\ln(2x)]^2 -6\ln(2x) +3 \leq0
$$
Posons $y = \ln(2x)$ :
$$
2y^2 -6y +3 \leq0
$$
Discriminant :
$$
\Delta =36 -24 =12
$$
Racines :
$$
y_1 = \frac{6 -2\sqrt{3}}{4}=\frac{3 -\sqrt{3}}{2}, \quad y_2 = \frac{6 +2\sqrt{3}}{4}=\frac{3 +\sqrt{3}}{2}
$$
Intervalle :
$$
\frac{3 -\sqrt{3}}{2} \leq y \leq \frac{3 +\sqrt{3}}{2}
$$
Revenons à $x$ :
$$
\ln(2x) = a \implies 2x = e^a \implies x = \frac{e^a}{2}
$$
Solution finale :
$$
x \in \left[\frac{e^{\frac{3 -\sqrt{3}}{2}}}{2},\, \frac{e^{\frac{3 +\sqrt{3}}{2}}}{2}\right]
$$
e.
$$
(\ln x)^2 + \ln x -6 \geq0
$$
Posons $y = \ln x$ :
$$
y^2 + y -6 \geq0
$$
Discriminant :
$$
\Delta =1 +24 =25
$$
Racines :
$$
y_1 =\frac{-1 -5}{2} =-3, \quad y_2 =\frac{-1 +5}{2} =2
$$
Signe :
$$
y \leq -3 \quad \text{ou} \quad y \geq2
$$
Donc :
$$
\ln x \leq -3 \implies x \leq e^{-3}, \quad \ln x \geq2 \implies x \geq e^2
$$
Mais $x >0$, donc on garde :
$$
x \leq e^{-3} \quad \text{ou} \quad x \geq e^2
$$
Solution finale :
$$
\boxed{x \in \left]0,\, e^{-3}\right] \cup [e^2,\,+\infty)}
$$
f.
$$
\ln x -\frac{1}{\ln x} >\frac{3}{2}
$$
Posons $y = \ln x$, $y \neq0$ :
$$
y -\frac{1}{y} >\frac{3}{2}
$$
On multiplie :
$$
2y -\frac{2}{y} >3 \implies2y^2 -3y -2 >0
$$
Discriminant :
$$
\Delta =9 +16=25
$$
Racines :
$$
y_1 =\frac{3 -5}{4} =-\frac{1}{2}, \quad y_2 =\frac{3 +5}{4} =2
$$
Signe :
$$
y <-\frac{1}{2} \quad \text{ou} \quad y >2
$$
Donc :
$$
\ln x <-\frac{1}{2} \implies x < e^{-1/2}, \quad \ln x >2 \implies x > e^2
$$
Mais attention $y \neq0$ et $x >0$
Solution finale :
$$
\boxed{x \in ]0,\, e^{-1/2}[ \cup ]e^2,\, +\infty)}
$$
Exercice 5
1. Développer, réduire et ordonner :
\[ P(x) = (x^2 - 4)(4x^2 - 1) \]
\[ P(x) = 4x^4 - x^2 - 16x^2 + 4 \]
\[ P(x) = 4x^4 - 17x^2 + 4 \]
Réponse finale :
\[
\boxed{4x^4 - 17x^2 + 4}
\]
2. Résoudre dans ℝ l'équation :
\[ 4(\ln x)^4 - 17(\ln x)^2 + 4 = 0 \]
Substitution : \( y = (\ln x)^2 \)
\[ 4y^2 - 17y + 4 = 0 \]
\[ \Delta = 289 - 64 = 225 \]
\[ y = \frac{17 \pm 15}{8} \]
\[ y = 4 \quad \text{ou} \quad y = \frac{1}{4} \]
Retour à la variable \( x \) :
- \( (\ln x)^2 = 4 \Leftrightarrow \ln x = \pm 2 \Leftrightarrow x = e^2 \) ou \( x = e^{-2} \)
- \( (\ln x)^2 = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \ln x = \pm \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = e^{\frac{1}{2}} \) ou \( x = e^{-\frac{1}{2}} \)
Réponse finale :
\[
\boxed{e^{-2}}, \quad \boxed{e^{-\frac{1}{2}}}, \quad \boxed{e^{\frac{1}{2}}}, \quad \boxed{e^{2}}
\]
3. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
\[ 4(\ln x)^4 - 17(\ln x)^2 + 4 \leq 0 \]
Substitution : \( y = (\ln x)^2 \)
\[ 4y^2 - 17y + 4 \leq 0 \]
Solution de l'inéquation : \( \frac{1}{4} \leq y \leq 4 \)
Retour à la variable \( x \) :
\[ \frac{1}{4} \leq (\ln x)^2 \leq 4 \]
\[ \frac{1}{2} \leq |\ln x| \leq 2 \]
Cas :
- \( -2 \leq \ln x \leq -0,5 \Leftrightarrow e^{-2} \leq x \leq e^{-0,5} \)
- \( 0,5 \leq \ln x \leq 2 \Leftrightarrow e^{0,5} \leq x \leq e^2 \)
Réponse finale :
\[
\boxed{\left[e^{-2}\,; e^{-\frac{1}{2}}\right]} \quad \text{et} \quad \boxed{\left[e^{\frac{1}{2}}\,; e^2\right]}
\]
Exercice 6
1. Calcul de $P(1)$ et factorisation de $P(x)$
On a
$$
P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 2x + 3
$$
Calcul de $P(1)$ :
$$
P(1) = 2(1)^3 - 7(1)^2 + 2(1) + 3 = 2 - 7 + 2 + 3 = 0
$$
Donc $x = 1$ est une racine.
On peut donc factoriser :
$$
P(x) = (x - 1)Q(x)
$$
où $Q(x)$ est un polynôme de degré 2.
Faisons la division euclidienne :
$$
\frac{2x^3 - 7x^2 + 2x + 3}{x - 1}
$$
$2x^3 ÷ x = 2x^2$, on soustrait $2x^3 - 2x^2$ → reste $ -7x^2 - (-2x^2) = -5x^2$
$-5x^2 ÷ x = -5x$, on soustrait $-5x^2 +5x$ → reste $2x - 5x = -3x$
$-3x ÷ x = -3$, on soustrait $-3x +3$ → reste $3 -3 =0$
Donc :
$$
Q(x) = 2x^2 -5x -3
$$
Factorisation de $Q(x)$ :
Discriminant :
$$
\Delta = (-5)^2 -4(2)(-3)=25 +24 =49
$$
Racines :
$$
x_1 = \frac{5 -7}{4} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{5 +7}{4} =3
$$
Donc :
$$
Q(x)=2(x +\frac{1}{2})(x -3)=2\left(\frac{2x +1}{2}\right)(x -3)= (2x +1)(x -3)
$$
Finalement :
$$
\boxed{P(x)= (x -1)(2x +1)(x -3)}
$$
2. Ensemble de définition de $f(x)=\ln(2x^{3}-7x^{2}+2x+3)$
Il faut :
$$
2x^3 -7x^2 +2x +3 >0
$$
On sait que :
$$
P(x) = (x -1)(2x +1)(x -3)
$$
On étudie le signe.
Racines : $-\frac{1}{2}, 1, 3$
Coefficient dominant positif ($2$) ⇒ $+\infty$ à droite
Tableau de signes :
$$
\begin{array}{c|cccccc}
x & -\infty & -\frac{1}{2} & 1 & 3 & +\infty \\
\hline
(x-1) & - & - & 0 & + & + \\
(2x+1) & - & 0 & + & + & + \\
(x-3) & - & - & - & 0 & + \\
P(x) & - & 0 & + & 0 & + \\
\end{array}
$$
Donc $P(x) >0$ sur :
$$
]1,3[ \cup ]3, +\infty[
$$
Mais attention au zéro :
$P(-\frac{1}{2})=0$ : on exclut, car $\ln(0)$ n’existe pas.
Donc :
$$
\boxed{\text{Domaine de f: \; } ]0,3[ \cup ]3, +\infty[}
$$
$$
\boxed{x \in \left]0,\, e^{-3}\right] \cup [e^2,\,+\infty[}
$$
3. Résolution dans $\mathbb{R}$
a. Équation
$$
2(\ln x)^3 -7(\ln x)^2 +2\ln x +3 =0
$$
Posons :
$$
y = \ln x
$$
On résout :
$$
2y^3 -7y^2 +2y +3=0
$$
On a déjà factorisé :
$$
2y^3 -7y^2 +2y +3 = (y -1)(2y +1)(y -3)
$$
Donc :
$$
y \in \{1, -\frac{1}{2}, 3\}
$$
On revient à $x$ :
$$
\ln x =1 \implies x=e \\
\ln x =- \frac{1}{2} \implies x=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{e}} \\
\ln x =3 \implies x=e^3
$$
Donc :
$$
\boxed{x \in \left\{ \frac{1}{\sqrt{e}}, \; e, \; e^3 \right\}}
$$
b. Inéquation
$$
2(\ln x)^3 -7(\ln x)^2 +2\ln x +3 \leq 0
$$
On reprend le signe :
Racines : $-\frac{1}{2}, 1, 3$
Signe sur $y$ :
$$
\begin{array}{c|ccccc}
y & -\infty & -\frac{1}{2} & 1 &3 & +\infty \\
2y^3 -7y^2 +2y +3 & - &0 & + &0 & + \\
\end{array}
$$
Donc $\leq 0$ sur :
$$
]-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [1,3]
$$
On revient à $x$ :
$-\infty < \ln x \leq -\frac{1}{2} \implies 0 < x \leq e^{-1/2}$
$1 \leq \ln x \leq 3 \implies e \leq x \leq e^3$
Donc :
$$
\boxed{x \in ]0, e^{-1/2}] \cup [e, e^3]}
$$
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