Le cosinus d'un angle aigu-4e

Classe: 
Quatrième
 

I. Définition

Étant donné un angle aigu , de mesure $\alpha.$
 
Par un point $A$ de $[Ox)$, on mène la perpendiculaire au côté $[Oy)$ de l'angle.
 
Cette perpendiculaire coupe $[Oy)\text{ en }H.$
 
 
On appelle cosinus de l'angle $\widehat{xOy}$, noté $\cos\widehat{xOy}$ ou $\cos\alpha$ , le quotient $\dfrac{OH}{OA}$
$$\boxed{\cos\widehat{xOy}=\dfrac{OH}{OA}}$$
 
Ce quotient ne dépend pas de la position du point $A$  $\left(\text{même si }A\text{ est sur le côté }[Oy)\text{ et }H\text{ sur }[Ox).\right)$

Remarque : 

$\boxed{\cos\alpha<1}$
 
car $OH<OA$ $\left(OH\right)$ est la plus courte distance de $O$ à $\left(AH\right)$

II. Utilisation de la calculatrice

Lecture d'un cosinus :

La valeur d'un cosinus est indiquée par la fonction $\boxed{\cos}$

Exemple :

La calculatrice étant en mode « degré »,
 
$\boxed{50}$ $\boxed{\cos}$ ou $\boxed{\cos}$ $\boxed{50}$ indique :
 
0.64278761 qui est une valeur approchée de ce cosinus.
 
En général, la valeur utilisée est donnée avec trois chiffres après la virgule, soit, pour cet exemple :
$$\cos 50^{\circ}\approx 0.643$$

Recherche d'un angle dont on connaît le cosinus :

La valeur de l'angle est indiquée par la fonction
 
$\boxed{\cos^{-1}}$ ou $\boxed{INV}$ $\boxed{\cos}$ ou $\boxed{2\,nd}$ $\boxed{\cos}$

Exemple :

La calculatrice étant en mode « degré »,
 
On donne $\cos\alpha=\dfrac{3}{7}$ les manipulations indiquées ci-dessus (différentes selon le modèle de calculatrice) donnent l'indication : 64.62306647
 
On obtient donc : $\alpha\approx 64.6^{\circ}$

Remarques :

$\cos 0^{\circ}=1$ C'est le cas où : $OH=OA$ $\left(A\text{ et }H\text{ étant confondus}\right)$
 
$\cos 90^{\circ}=0$ C'est le cas où : $OH=0$ $\left(H\text{ et }O\text{ étant confondus}\right)$

III. Cosinus d'un angle du triangle rectangle

En considérant le triangle rectangle $OAH$ vu plus haut, on remarque que $OH$ est un côté de l'angle droit (celui qui est un coté de l'angle $\alpha$) et que $OA$ est l'hypoténuse.
 
Le cosinus d'un angle d'un triangle rectangle est le quotient du côté adjacent à cet angle et de l'hypoténuse.
 
                                $\boxed{\cos\widehat{B}=\dfrac{AB}{BC}}$       $\boxed{\cos\widehat{C}=\dfrac{AC}{BC}}$
                                

IV. Utilité du cosinus

Il complète la propriété de Pythagore en permettant le calcul d'un côté ou d'un angle d'un triangle rectangle.

Recherche d'un côté de l'angle droit

$EFG$ est un triangle rectangle en $E$ ; on sait que : 
 
$\widehat{F}=50^{\circ}\text{ et }FG=7\;cm.$
 
$\cos\widehat{F}=\dfrac{EF}{FG}$
 
$\cos 50^{\circ}=\dfrac{EF}{7}$
 
$EF=7\times\cos 50^{\circ}$
 
$\boxed{EF\approx 4.5\;cm}$
 

Recherche de l'hypoténuse

$MNP$ est un triangle rectangle en $M$ ; on sait que :
 
$\widehat{N}=25^{\circ}\text{ et }MN=4.5\;cm.$
 
$\cos\widehat{N}=\dfrac{MN}{NP}$
 
$\cos 25^{\circ}=\dfrac{4.5}{NP}$
 
$NP=\dfrac{4.5}{\cos 25^{\circ}}$
 
$\boxed{NP\approx 5\;cm}$
 

Recherche d'un angle

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ ; on sait que : $AC=3\;cm\text{ et }7\;cm$
 
$\cos\widehat{C}=\dfrac{AC}{BC}$
 
$\cos\widehat{C}=\dfrac{4}{7}$
 
$\widehat{C}\approx 55^{\circ}$

Par conséquent : 

$\widehat{B}=90^{\circ}-\widehat{C}\approx 90^{\circ}-55^{\circ}=35^{\circ}$
 
 
$\cos 60^{\circ}$
 
On considère un triangle $ABC$ équilatéral dont le côté mesure $a.$
 
$[AH]$ est une hauteur de ce triangle.
 
Les angles du triangle $ABC$ sont égaux à $60^{\circ}$
 
On trouve le cosinus de $60^{\circ}$ en calculant, par exemple, le cosinus de l'angle $\hat{B}$ du triangle rectangle $ABH.$
 
$\cos\widehat{B}=\dfrac{BH}{AB}$
 
$\cos 60^{\circ}=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{a}=\dfrac{a}{2}\times\dfrac{1}{a}$ on simplifie par $a$
 
$\boxed{\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}}$
 

Rappel : 

égalités équivalentes (utiles pour les calculs de ce chapitre)
$$\boxed{a x=b\Longleftrightarrow x=\dfrac{b}{a}\Longleftrightarrow a=\dfrac{b}{x}}$$
$$\text{comme : }\boxed{2\times 3=6\Longleftrightarrow 3=\dfrac{6}{2}\Longleftrightarrow 2=\dfrac{6}{3}}$$ 
 

Commentaires

Hdsc bien merci

Ajouter un commentaire