Devoir n° 5 - 1e S2

Déterminer le polynôme $P(x)$ du 4éme degré tel que :

 

$\centerdot\ $ Le coefficient de $x^{4}$ dans $P(x)$ vaut 1

 

$\centerdot\ \ P(x)$ est divisible par $x^{2}+x+1$

 

$\centerdot\ $ Le reste de la division $P(x)$ par $x^{2}-1$ est $-3x+9$

 

Donner les racines réelles de l'équation $P(x)=0$

1) Soit le polynôme $P(x)=x^{4}-6x^{3}+ax^{2}+42x+40$

 

a) On demande de déterminer $\alpha$ (réel sachant que la somme des deux racines de $P(x)$ est égale à la somme des deux autres racines).

 

b) Dans toute la suite on suppose que $\alpha=-5.$

 

Factoriser alors $P(x)$

 

2) Déterminer le couple de réels $(\beta\;,\ \gamma)$ tel que le polynôme $$Q(x)=\beta x^{4}-7x^{3}-\beta x^{2}+\gamma x+6$$ soit divisible par $x^{2}-2x-3$

 

3) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante $$\dfrac{x^{4}-6x^{3}+ax^{2}+42x+40}{\beta x^{4}-7x^{3}-\beta x^{2}+\gamma x+6}\leq 0$$ (où $\alpha\;,\ \beta\;,\ \gamma\;$ sont les valeurs trouvées ci-dessus)

On appelle polynôme réciproque de degré $n$ tout polynôme $P(x)$ vérifiant : $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} d^{\circ}P&=&n \\ \\ \forall\;x\in\mathbb{R}^{*}\;,\ P\left(\dfrac{1}{x}\right)&=&\dfrac{P(x)}{x^{n}}\end{array}\right.$$

a) Montrer que si $\alpha$ est une racine de $P(x)$ alors $\alpha$ est non nul et $\dfrac{1}{\alpha}$ est aussi une racine de $P(x).$

 

b) Montrer que tout polynôme réciproque de degré $n$ (impair) admet $-1$ pour racine.

 

2) Déterminer le polynôme réciproque de degré 5 admettant pour racines $\alpha_{1}=2$ et $\alpha_{2}=2-\sqrt{3}$ tel

que $P(0)=2.$

 

3) On pose $$\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\ \text{ et }\ P(x)=x^{4}-(6-\sqrt{5})x^{3}+(2-6\sqrt{5})x^{2}-(6-\sqrt{5})x^{2}+1$$

a) Montrer que $\alpha^{2}=1+\alpha$ puis en déduire $\alpha^{3}\;,\ \alpha^{4}$ en fonction de $\alpha.$

 

b) En déduire alors que $\alpha$ est une racine de $P(x).$

 

c) En utilisant la question 1) Résoudre simplement dans $\mathbb{R}$ l'équation $$P(x)=0$$