Corrigé devoir n° 4 maths - 3e
Classe:
Troisième
Exercice 1
Sur la figure codée ci-dessous, $ABCD$ est un rectangle tel que : $AB=12\ $ et $\ BC=7.$
$E$ est un point du segment $[AD]$ tel que $AE=5.$ La droite $(BE)$ coupe $(DC)$ en $F.$
1) Calculons $ED\ $ et $\ EB.$
Comme $E\in[AD]$ alors, on a : $AE+ED=AD$
Par suite, $ED=AD-AE$
Or, $ABCD$ rectangle donc, $AD=BC=7$
Ainsi, $ED=7-5=2$
D'où, $\boxed{ED=2}$
Par ailleurs, le triangle $ABE$ étant rectangle en $A$ alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :
$$EB^{2}=AE^{2}+AB^{2}$$
Ainsi,
$\begin{array}{rcl} EB&=&\sqrt{AE^{2}+AB^{2}}\\\\&=&\sqrt{5^{2}+12^{2}}\\\\&=&\sqrt{25+144}\\\\&=&\sqrt{169}\\\\&=&13\end{array}$
D'où, $\boxed{EB=13}$
2) Calculons $EF$ en utilisant la conséquence de THALÈS
Les triangles $EFD\ $ et $\ AEB$ étant en position de Thalès alors, en appliquant le théorème de Thalès, on obtient :
$$\dfrac{EF}{EB}=\dfrac{ED}{AE}$$
Par suite,
$\begin{array}{rcl} EF&=&\dfrac{ED\times EB}{AE}\\\\&=&\dfrac{2\times 13}{5}\\\\&=&\dfrac{26}{5}\end{array}$
D'où, $\boxed{EF=\dfrac{26}{5}=5.2}$
3) On prend $EB=13$
4) a) Calculons $\sin\widehat{ABE}$
On a :
$\begin{array}{rcl}\sin\widehat{ABE}&=&\dfrac{AE}{EB}\\\\&=&\dfrac{5}{13}\end{array}$
Alors, $\boxed{\sin\widehat{ABE}=\dfrac{5}{13}}$
b) Calculons $\cos\widehat{AEB}$
On a :
$\begin{array}{rcl}\cos\widehat{AEB}&=&\dfrac{AE}{EB}\\\\&=&\dfrac{5}{13}\end{array}$
Donc, $\boxed{\cos\widehat{AEB}=\dfrac{5}{13}}$
Exercice 2
1) $F=\dfrac{(3-2x)(x-1)}{x-1}$, pour $x=1$ alors, on ne peut pas conclure
2) La distance de $3\ $ et $\ \sqrt{2}$ est $|3-\sqrt{2}|$
3) $A(-12\;;\ 3)\ $ et $\ B(-5\;;\ 4).$ Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(7\;;\ 1)$
4) $\cos 0^{\circ}$ est égal à $1$
5) La réunion des intervalles $]-\infty\;;\ 0]\ $ et $\ [2\;;\ 12]$ est $]-\infty\;;\ 0]\cup[2\;;\ 12]$
Exercice 3
On donne :
$A=\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{8}\times\left(\dfrac{2}{5}+3\right)\;;\ B=(3-\sqrt{5})^{2}+2(25+\sqrt{45})\ $ et $\ C=\dfrac{-2.4\times 10^{2}\times 5\times 10^{-9}}{3\times 10^{-3}}$
1) Calculons $A$ et donnons le résultat sous forme de fraction irréductible
$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{8}\times\left(\dfrac{2}{5}+3\right)\\\\&=&\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{8}\times\left(\dfrac{2}{5}+\dfrac{15}{5}\right)\\\\&=&\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{8}\times\dfrac{17}{5}\\\\&=&\dfrac{4}{3}-\dfrac{17}{40}\\\\&=&\dfrac{160}{120}-\dfrac{51}{120}\\\\&=&\dfrac{109}{120}\end{array}$
Donc, $\boxed{A=\dfrac{109}{120}}$
2) Calculons $B$ et donnons le résultat sous la forme la plus simple possible
On a :
$\begin{array}{rcl} B&=&(3-\sqrt{5})^{2}+2(25+\sqrt{45})\\\\&=&3^{2}-2\times 3\times\sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}+2\times 25+2\times\sqrt{9\times 5}\\\\&=&9-6\sqrt{5}+5+50+2\times\sqrt{9}\times \sqrt{5}\\\\&=&64-6\sqrt{5}+2\times 3\times \sqrt{5}\\\\&=&64-6\sqrt{5}+6\sqrt{5}\\\\&=&64\end{array}$
Ainsi, $\boxed{B=64}$
3) Calculons $C$ et donnons son écriture scientifique
On a :
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{-2.4\times 10^{2}\times 5\times 10^{-9}}{3\times 10^{-3}}\\\\&=&\dfrac{-2.4\times 5\times 10^{2}\times 10^{-9}\times 10^{3}}{3}\\\\&=&\dfrac{-12\times 10^{2-9+3}}{3}\\\\&=&-4\times 10^{-4}\\\\&=&-0.0004\end{array}$
Donc, $\boxed{C=-0.0004}$ et sont écriture scientifique est : $\boxed{-4\cdot 10^{-4}}$
Exercice 4
1) On donne l'expression $E=(2x+3)^{2}+(2x+3)(x-6)$
a) Développons, ordonnons puis réduisons $E.$
On a :
$\begin{array}{rcl} E&=&(2x+3)^{2}+(2x+3)(x-6)\\\\&=&(2x)^{2}+2\times 3\times(2x)+3^{2}+2x^{2}-12x+3x-18\\\\&=&4x^{2}+12x+9+2x^{2}-12x+3x-18\\\\&=&6x^{2}+3x-9\end{array}$
Ainsi, $\boxed{E=6x^{2}+3x-9}$
b) Factorisons $E.$
Soit : $E=(2x+3)^{2}+(2x+3)(x-6)$ alors, en considérant $(2x+3)$ comme facteur commun, on a :
$\begin{array}{rcl} E&=&(2x+3)^{2}+(2x+3)(x-6)\\\\&=&(2x+3)[(2x+3)+(x-6)]\\\\&=&(2x+3)(2x+3+x-6)\\\\&=&(2x+3)(3x-3)\\\\&=&3(2x+3)(x-1)\end{array}$
D'où, $\boxed{E=3(x-1)(2x+3)}$
2) Calculons $E$ pour $x=0$ puis pour $x=\sqrt{3}.$
Soit : $E=6x^{2}+3x-9$ alors
$-\ $ en remplaçant $x=0$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} E&=&6\times 0^{2}+3\times 0-9\\\\&=&0+0-9\\\\&=&-9\end{array}$
Donc, $E=-9$ lorsque $x=0$
$-\ $ en remplaçant $x=\sqrt{3}$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} E&=&6\times(\sqrt{3})^{2}+3\times\sqrt{3}-9\\\\&=&6\times 3+3\sqrt{3}-9\\\\&=&18+3\sqrt{3}-9\\\\&=&9+3\sqrt{3}\end{array}$
Donc, si $x=\sqrt{3}$ alors, $E=9+3\sqrt{3}$
3) Trouvons le réel $x$ pour que : $(5x+7)(x-1)=0$
On a :
$\begin{array}{rcl}(5x+7)(x-1)=0&\Leftrightarrow&(5x+7)=0\ \text{ ou }\ (x-1)=0\\\\&\Leftrightarrow&5x=-7\ \text{ ou }\ x=1\\\\&\Leftrightarrow&x=-\dfrac{7}{5}\ \text{ ou }\ x=1\\\\&\Leftrightarrow&x\in\left\lbrace -\dfrac{7}{5}\;;\ 1\right\rbrace\end{array}$
Ainsi, $(5x+7)(x-1)=0$ lorsque $x=-\dfrac{7}{5}$ ou $x=1$
4) Soit $F=\dfrac{2x+7}{x+1}$
a) Donnons la valeur de $F$ pour $x=\sqrt{2}$
En remplaçant $x$ par $\sqrt{2}$, on obtient : $F=\dfrac{2\sqrt{2}+7}{\sqrt{2}+1}$
b) Écrivons $F$ sans radical au dénominateur
On a :
$\begin{array}{rcl} F&=&\dfrac{2\sqrt{2}+7}{\sqrt{2}+1}\\\\&=&\dfrac{(2\sqrt{2}+7)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\\\&=&\dfrac{2(\sqrt{2})^{2}-2\sqrt{2}+7\sqrt{2}-7}{(\sqrt{2})^{2}-1}\\\\&=&\dfrac{4+5\sqrt{2}-7}{2-1}\\\\&=&\dfrac{-3+5\sqrt{2}}{1}\\\\&=&-3+5\sqrt{2}\end{array}$
D'où, $\boxed{F=-3+5\sqrt{2}}$
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
adama ndiaye (non vérifié)
jeu, 08/11/2022 - 23:44
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Correction devoir n°4 3eme
NDEYE Arame (non vérifié)
sam, 02/25/2023 - 20:43
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Revoié la calcule de EF car
fdini
sam, 02/25/2023 - 21:19
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pourtant c bien ça
pourtant c bien ça
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