Calcul dans R - 2nd

Classe: 
Seconde

I. Ensemble de nombres

Activité 

1) Remplir le tableau suivant en mettant des croix si l'élément appartient à l'ensemble.
 
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
 & \mathbb{N} & \mathbb{Z} & \mathbb{D} & \mathbb{Q} & \mathbb{R} \\
\hline
0 &  &  &  &  &  \\
\hline
-2 &  &  &  &  &  \\
\hline
1.4 &  &  &  &  & \\
\hline
0.4 &  &  &  &  & \\
\hline
\pi &  &  &  &  &  \\
\hline
\frac{1}{3} &  &  &  &  &  \\
\hline
\frac{3}{5} &  &  &  &  &  \\
\hline
\sqrt{3} &  &  &  &  &  \\
\hline
\end{array}$$
 
2) Répondre par vrai ou faux
 
$\dfrac{5}{4}\in\mathbb{D}\;,\ -2\in\mathbb{Q}\;,\ 6.13\in\mathbb{D}\;,\ \sqrt{7}\in\mathbb{Q}$
 
$\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\;,\ \mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\;,\ \mathbb{N}\subset\mathbb{D}$

I.1 Définition

Soient les ensembles de nombres suivants :
 
$\mathbb{N}$ : ensembles des entiers naturels
 
$\mathbb{Z}$ : ensembles des entiers relatifs
 
$\mathbb{D}$ : ensembles des nombres décimaux
 
$\mathbb{Q}$ : ensembles des nombres rationnels
 
$\mathbb{R}$ : ensembles des nombres réels

I.2 Propriété

Nous avons : $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

II. Puissance

II.1 Définition

On appelle puissance $n^{ième}$ d'un nombre $a$, le nombre noté $a^{n}$ et qui est défini par :
 
$\centerdot\ \ n=0\qquad\qquad a^{0}=1$
 
$\centerdot\ \ n=1\qquad\qquad a^{1}=a$
 
$\centerdot\ \ $ si $n>0\ $ alors, $\ a^{n}=\underbrace{a\times a \ldots\times a}_{n\ \mathrm{fois}}$
 
$\centerdot\ \ $ si $n<0\ $ alors, $\ a^{n}=\dfrac{1}{\underbrace{a\times a \ldots\times a}_{n\ \mathrm{fois}}}$
 
$\centerdot\ \ -a^{n}=-(\underbrace{a\times a \ldots\times a}_{n\ \mathrm{fois}})$ ; l'exposant $n$ concerne le $a$
 
$\centerdot\ \ (-a)^{n}=\underbrace{(-a)\times (-a) \ldots\times (-a)}_{n\ \mathrm{fois}}$
 
$\centerdot\ \ (-a)^{n}=a^{n}\ $ si $n$ est pair
 
$\centerdot\ \ (-a)^{n}=-a^{n}\ $ si $n$ est impair

II.2 Propriétés

Soient $a,\ b\in\mathbb{R}$ et $n$ un entier relatif. Nous avons :
 
$\centerdot\ \ (ab)^{n}=a^{n}\times(b)^{n}$
 
$\centerdot\ \ a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}$
 
$\centerdot\ \ (a^{n})^{m}=a^{n\times m}$
 
$\centerdot\ \ a^{n}=\dfrac{1}{a^{-n}}\ ;\qquad a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$
 
$\centerdot\ \ \dfrac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$
 
$\centerdot\ \ b\not=0;\ \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$

Exercice d'application

Écrire les réels suivants sous la forme de produits de puissance de nombres premiers
$$A=32\;,\quad B=-54^{4}\;,\quad C=\dfrac{0.16\times 2700000}{50}\;,\quad D=\dfrac{81^{3}\times 64^{2}}{36^{5}}\;,\quad E=\left(2^{3}\right)^{5}\times\left(\dfrac{3}{5}\right)^{3}\times 25\times 7^{3}$$

Résolution

$\begin{array}{rcl} A &=& 32\\ \\&=& 2\times 2\times 2\times 2\times 2\\ \\&=& 2^{5}\end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} B &=& -54^{4} \\ \\&=& -\left(2\times 3^{3}\right)^{4}\\ \\&=& -2^{4}\times 3^{12}\end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{0.16\times 2700000}{50}\\ \\&=&\dfrac{4^{2}\times 10^{-2}\times 3^{3}\times 10^{5}}{5\times 10^{1}} \\ \\&=& \left(2^{2}\right)^{2}\times 3^{3}\times 10^{-2}\times 10^{5}\times 10^{-1}\times 5^{-1} \\ \\ &=& 2^{4}\times 3^{3}\times 10^{2}\times 5^{-1} \\ \\ &=& 2^{4}\times 3^{3}\times 2^{2}\times 5^{2}\times 5^{-1} \\ \\ &=& 2^{6}\times 3^{3}\times 5^{1} \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} D&=&\dfrac{81^{3}\times 64^{2}}{36^{5}}\\ \\&=&\dfrac{\left(9^{2}\right)^{3}\times \left(2^{6}\right)^{2}}{\left(6^{2}\right)^{5}} \\ \\ &=& \dfrac{9^{6}\times 2^{12}}{6^{10}} \\ \\ &=& \dfrac{\left(3^{2}\right)^{6}\times 2^{12}}{2^{10}\times 3^{10}} \\ \\ &=& \dfrac{3^{12}\times 2^{12}}{2^{10}\times 3^{10}} \\ \\ &=& 3^{12}\times 2^{12}\times 2^{-10}\times 3^{-10} \\ \\ &=& 3^{2}\times 2^{2}\end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} E &=& \left(2^{3}\right)^{5}\times\left(\dfrac{3}{5}\right)^{3}\times 25\times 7^{3} \\ \\ &=& 2^{3\times 5}\times\dfrac{3^{3}}{5^{3}}\times 5^{2}\times 7^{3} \\ \\ &=& 2^{15}\times 3^{3}\times 5^{-1}\times 7^{3} \end{array}$

II.3 Égalités remarquables

 $\forall\;a,\ b\in\mathbb{R}$, nous avons les expressions suivantes appelées égalités remarquables  : 
 
$\centerdot\ \ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
 
$\centerdot\ \ (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
 
$\centerdot\ \ (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
 
$\centerdot\ \ (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$
 
$\centerdot\ \ a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
 
$\centerdot\ \ a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

Exercice d'application

a) Développer les expressions suivantes 
 
$A=\left(2x^{2}-4y\right)^{2}$
 
$B=\left(2x^{2}y-3z\right)^{3}$
 
b) Factoriser 
 
$C=\left(4a^{2}+b^{2}-9\right)^{2}-16a^{2}b^{2}$

Résolution 

a) Développons
$\begin{array}{rcl} A &=& \left(2x^{2}-4y\right)^{2}\\ \\&=& \left(2x^{2}\right)^{2}-2\left(2x^{2}\right)\left(4y\right)+(4y)^{2}\\ \\&=& 4x^{2}-16x^{2}y+16y^{2}\end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} B &=& \left(2x^{2}y-3z\right)^{3}\\ \\&=& \left(2x^{2}y\right)^{3}-3\left(2x^{2}y\right)^{2}(3z)+3(2x^{2}y)(3z)^{2}-(3z)^{3}\\ \\&=& 8x^{6}y^{3}-36x^{4}y^{2}z+54x^{2}yz^{2}-9z^{3}\end{array}$
 
b) Factorisons
$\begin{array}{rcl} C &=& \left(4a^{2}+b^{2}-9\right)^{2}-16a^{2}b^{2}\\ \\&=& \left(4a^{2}+b^{2}-9-4ab\right)\left(4a^{2}+b^{2}-9+4ab\right)\\ \\&=& \left[\left(4a^{2}-4ab+b^{2}\right)-9\right]\left[\left(4a^{2}+4ab+b^{2}\right)-9\right] \\ \\&=& \left[(2a-b)^{2}-9\right]\left[(2a+b)^{2}-9\right]\\ \\&=& (2a-b-3)(2a-b+3)(2a+b-3)(2a+b+3)\end{array}$

III. Racines carrés

Activité

1) Écrire les nombres suivants sans radicaux au dénominateur
 
$\dfrac{2}{\sqrt{3}-3}$; $\quad \dfrac{7}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$; $\quad \dfrac{3}{\sqrt{6}}$
 
2) On donne $a=\sqrt{9-4\sqrt{5}}+\sqrt{9+4\sqrt{5}}$; $\quad b=\sqrt{7-4\sqrt{3}}-\sqrt{7+4\sqrt{3}}$
 
Calculer $a^{2}$ et $b^{2}$. En déduire une expression simplifiée de $a$ et $b$.
 
3) Déterminer $a$, $\ b$ et $c$ pour que 
 
$\sqrt{7+\sqrt{a}}=3$; $\quad\sqrt{b+\sqrt{36}}=7$; $\quad\sqrt{77}+\sqrt{11+\sqrt{25}}=c$
 
4) Résoudre $x^{2}=3-2\sqrt{2}$; $\quad x^{2}=-9$
 
5) Montrer que $a>0$, $\quad b>0$, $\quad a>b$
 
$\left(\sqrt{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}}+\sqrt{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}}}\right)^{2}=2(a+b)$

III.1 Définition

On appelle racine carrée d'un nombre réel positif $a$ le réel noté $\sqrt{a}$ dont le carré est égal à $a$.

III.2 Propriétés

$\centerdot\ \ (\sqrt{a})^{2}=a$
 
$\centerdot\ \ \sqrt{a^{2}}=|a|$
 
$\centerdot\ \ a\geq 0\ ,\ b\geq 0\ ;\qquad \sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$
 
$\centerdot\ \ a\geq 0\ ,\ b>0\ ;\qquad \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
 
$\centerdot\ \ x^{2}=a\ $ avec $a$ positif $\Rightarrow\ x=\sqrt{a}\ $ ou $x=-\sqrt{a}$
 
Attention : $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b};\qquad$ $\forall a>0,\ b>0$

IV. Valeur absolue

Activité 

1) Écrire sans le symbole de la valeur absolue
 
$|\sqrt{5}-2|\,$; $\quad|\sqrt{3}-2|\,$; $\quad|1+\sqrt{3}2\sqrt{2}|$
 
2) Déterminer $x$ pour que $|x|=3\,$; $\quad|x|=-2\,$; $\quad|x|<4\,$; $\quad|x|>7\,$; $\quad|x|=0\,$; $\quad|x|<-2\,$

IV.1 Définition

On appelle valeur absolue d'un nombre réel $a$, le réel noté $$|a|=\left\lbrace\begin{array}{ll}
a & \text{si }a\geq 0\\
-a & \text{si }a\leq 0
\end{array}
\right.$$

IV.2 Propriétés

Soient $a,\ b,\ k\in\mathbb{R}$, $x$ un nombre quelconque. On a :
 
$\centerdot\ \ k>0$
 
$\cdot\ \ |x|=k\ \Leftrightarrow\ x=k\  \mbox{ ou }\  x=-k\ \Leftrightarrow\ x\in\{k;\ -k\}$
 
$\cdot\ \ |x|\leq k\ \Leftrightarrow\ -k\leq x\leq k\ \Leftrightarrow\ x\in[-k;\ k]$
 
$\cdot\ \ |x|\geq k\ \Leftrightarrow\ x\geq k\  \mbox{ou}\  x\leq -k\ \Leftrightarrow\ x\in]-\infty;\ -k]\cup[k;\ +\infty[$
 
$\centerdot\ \ k<0$
 
$\cdot\ \ |x|=k\;;\ \mbox{ impossible }\  S=\emptyset$
 
$\cdot\ \ |x|\leq k\;;\ \mbox{ impossible }\  S=\emptyset$
 
$\centerdot\ \ |a|=|b|\ \Leftrightarrow\ a=b\  \mbox{ ou }\  a=-b$
 
$\centerdot\ \ |ab|=|a|\cdot|b|$
 
$\centerdot\ \ b\not=0\;;\ \ \left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}$
 
$\centerdot\ \ |a^{n}|=|a|^{n}$
 
$\centerdot\ \ |a^{2}|=|a|^{2}=a^{2}$
 
$\centerdot\ \ \sqrt{x^{2}}=|x|$
 
$\centerdot\ \ |a+b|\leq|a|+|b|$

Exercice d'application 

1) Dans chacun des cas suivants, écrire les fonctions sans le symbole de la valeur absolue
 
a) $f(x)=|2x-3|$
 
b) $g(x)=|x-2|-3|x+5|$
 
2) Résoudre dans $\mathbb{R}$
 
a) $f(x)=1$
 
b) $g(x)=-2x+7$
 
c) $1\leq f(x)\leq 4$
 
d) $\left|\dfrac{x+3}{x}\right|>-1$

Résolution 

1) a) $f(x)=|2x-3|$
 
On a : $2x-3=0\ \Leftrightarrow\ x=\dfrac{3}{2}$
 
Soit le tableau de signes suivant :
$$\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x&-\infty& &3/2& &+\infty \\ \hline 2x-3& &-&|&+& \\ \hline |2x-3|& &-2x+3&|&2x-3& \\ \hline\end{array}$$
Donc on obtient :
$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcccc} -2x+3&\text{si}&x&\leq&\dfrac{3}{2} \\ \\ 2x-3&\text{si}&x&\geq&\dfrac{3}{2} \end{array}\right.$$
b) $g(x)=|x-2|-3|x+5|$
 
On a : $x-2=0\ \Leftrightarrow\ x=2\quad\text{et}\quad x+5=0\ \Leftrightarrow\ x=-5$
 
Tableau de signes
$$\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline x&-\infty& &-5& &2& &+\infty \\ \hline x-2& &-&|&-&|&+& \\ \hline |x-2|& &-x+2&|&-x+2&|&x-2& \\ \hline x+5& &-&|&+&|&+& \\ \hline |x+5|& &-x-5&|&x+5&|&x+5& \\ \hline\end{array}$$
Donc,
 
sur $]-\infty\;,\ -5]\;,\quad g(x)=-x+2-3x-15=-4x-13$
 
sur $[-5\;,\ 2]\;,\quad g(x)=-x+2+3x+15=2x+17$
 
sur $[2\;,\ +\infty[\;,\quad g(x)=x-2+3x+15=4x+13$
 
2) a)
 
$\begin{array}{rcl} f(x)=1 &\Leftrightarrow& |2x-3|=1\\ \\ &\Leftrightarrow& 2x-3=1\ \text{ ou }\ 2x-3=-1\\ \\ &\Leftrightarrow& 2x=4\ \text{ ou }\ 2x=2\\ \\ &\Leftrightarrow& x=2\ \text{ ou }\ x=1\end{array}$
 
$$S=\{1\;,\ 2\}$$
 
b) Résolvons $g(x)=-2x+7$
 
Sur $]-\infty\;,\ -5]$ on a $g(x)=-4x-13$
 
alors,
 
$\begin{array}{rcl} g(x)=-2x+7 &\Leftrightarrow& -4x-13=-2x+7\\ \\ &\Leftrightarrow& -2x=20\\ \\ &\Leftrightarrow& x=-10\in\;]-\infty\;,\ -5]\end{array}$
 
Donc, $S_{1}=\{-10\}$
 
Sur $[-5\;,\ 2]$, on a $g(x)=2x+17$
 
alors,
 
$\begin{array}{rcl} g(x)=-2x+7 &\Leftrightarrow& 2x+17=-2x+7\\ \\ &\Leftrightarrow& 4x=-10\\ \\ &\Leftrightarrow& x=-\dfrac{10}{4}=-\dfrac{5}{2}\in[-5\;,\ 2]\end{array}$
 
Donc, $S_{2}=\left\{-\dfrac{5}{2}\right\}$
 
Sur $[2\;,\ +\infty[$, on a $g(x)=4x+13$
 
alors,
 
$\begin{array}{rcl} g(x)=-2x+7 &\Leftrightarrow& 4x+13=-2x+7\\ \\ &\Leftrightarrow& 6x=-6\\ \\ &\Leftrightarrow& x=-1\notin[2\;,\ +\infty[\end{array}$
 
Donc, $S_{3}=\emptyset$
 
D'où, $$S=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}=\left\{-10\;,\ -\dfrac{5}{2}\right\}$$
 
c) $1\leq f(x)\leq 4$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcl} 1\leq f(x)\leq 4 &\Leftrightarrow& f(x)\geq 1\ \text{ et }\ f(x)\leq 4\\ \\ &\Leftrightarrow& |2x-3|\geq 1\ \text{ et }\ |2x-3|\leq 4\\ \\ &\Leftrightarrow& (2x-3\geq 1\ \text{ ou }\ 2x-3\leq -1)\ \text{ et }\ (-4\leq 2x-3\leq 4)\\ \\ &\Leftrightarrow& \left(x\geq 2\ \text{ ou }\ x\leq 1\right)\ \text{ et }\ \left(-\dfrac{1}{2} \leq x\leq \dfrac{7}{2} \right)\\ \\ &\Leftrightarrow& x\in\;]-\infty\;,\ 1]\cup[2\;,\ +\infty[ \ \text{ et }\ x\in\left[-\dfrac{1}{2}\;,\ \dfrac{7}{2}\right]\end{array}$
 
Donc, $$S=\left[-\dfrac{1}{2}\;,\ 1\right]\cup\left[2\;,\ \dfrac{7}{2}\right]$$
 
d) $\left|\dfrac{x+3}{x}\right|>-1$
 
On a : $\forall\;x\neq 0\;,\ \left|\dfrac{x+3}{x}\right|$ est toujours positive donc supérieure à -1.
 
Donc, $$S=\mathbb{R}\setminus\{0\}=\;]-\infty\;,\ 0[\cup]0\;,\ +\infty[$$

III.3 Distance sur une droite et intervalles de $\mathbb{R}$

III.3.1 Définition

Soit $(x'Ox)$ un axe gradué.

 

 
$M$ et $N$ deux points d'abscisses respectives $x$ et $y$. On appelle distance entre les points $M$ et $N$, le nombre positif noté $d(M,\ N)$ vérifiant :$$d(M,\ N)=MN=d(x,\ y)=|x-y|$$
$|x|$ est la distance entre $M$ d'abscisse $x$ et le point $O$ d'abscisse 0;
 
 $MO=d(M\;,\ O)=d(x\;,\ 0)=|x-0|=|x|$.

III.3.2 Propriétés

Soient $x\;,\ y$ et $a$ trois nombre réels, et $r\in\mathbb{R}_{+}$. On a :
 
$\centerdot\ \ d(x\;,\ y)=d(y\;,\ x);\qquad\qquad (|x-y|=|y-x|)$
 
$\begin{array}{ccl}\centerdot\ \ d(x\;,\ a)=r&\Leftrightarrow&|x-a|=r\\ \\&\Leftrightarrow&x-a=r\ \mbox{ ou }\ x-a=-r \\ \\&\Leftrightarrow&x=a+r\ \mbox{ ou }\ x=a-r\\ \\&\Leftrightarrow&x\in\{a-r\;;\ a+r\}\end{array}$
 
$\begin{array}{ccl}\centerdot\ \ d(x\;,\ a)\leq r&\Leftrightarrow&|x-a|\leq r\\ \\&\Leftrightarrow&-r\leq x-a\leq r \\ \\&\Leftrightarrow&a-r\leq x\leq a+r\\ \\&\Leftrightarrow&x\in[a-r\;;\ a+r]\end{array}$

Exemple 

Soient $A$ et $B$ deux points sur une droite graduée tels que $x_{A}=-4$ et $y_{B}=3.$
 
Donner la distance entre $A$ et $B.$
 
On a $d(A\;,\ B)=|x_{B}-x_{A}|=|3-(-4)|=7$

III.3.3 Intervalles dans $\mathbb{R}$

$-\ $ Intervalles bornés
 
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b.$ 
 
L'ensemble des réels compris entre $a$ et $b$ est un intervalle borné.
$$\begin{array}{ccl} \text{Notation}& &\text{Inégalité}\\ & &  \\ [a\;;\ b]& &a\leq x\leq b \\ ]a\;;\ b[& &a<x<b  \\ ]a\;;\ b]& &a<x\leq b  \\ [a\;;\ b[& &a\leq x<b  \end{array}$$
 
Ces intervalles sont bornés ; $a$ et $b$ sont les bornes.
 
$-\ $ Centre et rayon d'un intervalle borné
 
Soit $x_{0}\in[a;\ b]\;;\ x_{0}=\dfrac{a+b}{2}$, alors $x_{0}$ est appelé centre de l'intervalle et le réel noté $r=\dfrac{b-a}{2}$ est le rayon.
 
$-\ $ Intervalles non bornés 
$$\begin{array}{ccl} \text{Notation}& &\text{Inégalité}\\ & &  \\ ]-\infty\;;\ a]& &x\leq a  \\ ]-\infty\;;\ a[& &x<a  \\ ]a\;;\ +\infty[& &x>a  \\ [a\;;\ +\infty[& &x\geq a  \end{array}$$
 
$-\ $ Réunion et Intersection d'intervalles

Exemple

Soient $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb{R}.$
 
Déterminer $I\cap J$ et $I\cup J$ dans chacun des cas suivants :
 
a) $I=[-2\;;\ 6]\qquad J=[-3\;;\ +\infty[$
 
b) $I=]-\infty\;;\ 7]\qquad J=\left[-\dfrac{4}{5}\;;\ +\infty\right[$
 
c) $I=]-1\;;\ 4]\qquad J=[5\;;\ 10]$

Résolution 

Remarques :

Pour l'intersection on hachure les parties non solutions  
 
Pour la réunion on hachure les parties solutions 
 
a) 

 
 
$I\cap J=[-2\;;\ 6]$

 


 
$[-2\;;\ 6]\subset[-3\;;\ +\infty[$ alors $I\cup J=[-3\;;\ +\infty[$
 
b)

 
 
$I\cap J=\left[-\dfrac{4}{5}\;;\ 7\right]$

 


 
$I\cup J=\mathbb{R}=]-\infty\;;\ +\infty[$
 
c) 

 
 
$I\cap J=\emptyset$

 

 
$I\cup J=]-1\;;\ 4]\cup[5\;;\ 10]$

 

V. Ordre et encadrement

V.1 Définition

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On a : 
 
$\centerdot\ \ a\leq b\ \Leftrightarrow\ a-b\leq 0\ \mbox{ ou }\ b-a\geq 0$
 
$\centerdot\ \ a>b\ \Leftrightarrow\ a-b>0\ \mbox{ ou }\ b-a<0$

V.2 Propriétés

$a$, $b$ et $c$ trois nombres réels, alors on a :
 
$\centerdot\ \ $ si $a\leq b\ $ et $\ b\leq a\ $ alors, $\ a=b$
 
$\centerdot\ \ $ si $a\leq b\ $ et $\ b\leq c\ $ alors, $\ a\leq c$
 
$\centerdot\ \ $ si $a\leq b\ \forall c\in\mathbb{R};\ \ a+c\leq b+c\ $
 
$\centerdot\ \ $ si $a>0$, $\ b>0\ $ alors $\ a\geq b\ \Leftrightarrow\ a^{2}\geq b^{2}$
 
$\centerdot\ \ $ si $a<0$, $\ b<0\ $ alors $\ a\geq b\ \Leftrightarrow\ a^{2}\leq b^{2}$
 
$\centerdot\ \ $ si $a>0$ et $k>0\ $ alors, $\ ka\geq kb$
 
$\centerdot\ \ $ si $a>0$ et $k<0\ $ alors, $\ ka\leq kb$
 
$\centerdot\ \ $ si $0<a<b\ $ alors, $\ \dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$
 
$\centerdot\ \ $ si $a<b<0\ $ alors, $\ \dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$
 
$\centerdot\ \ $ si $a\leq x\leq b$ et $c\leq y\leq d\ $ avec $a\;,\ b\;,\ c$ et $d$ des réels strictement positifs alors on a : $ac\leq xy\leq bd$

Exercice d'application 

1) Sachant que $2<x<9\quad 3<y<6$, encadrer
 
$x+y\;;\ x-y\;;\ \dfrac{x}{y}\;;\ x^{2}$
 
2) Sachant que $3\leq x\leq 5\quad -4\leq y\leq -1$, encadrer
 
$x-y\;;\ \dfrac{x}{y}\;;\ xy\;;\ y^{2}$
 
3) Encadrer $2z\;;\ -3z\;;\ z^{2}$ sachant que $-9<z<5$

Résolution 

1) Encadrons $x+y$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcrclcl} 2<x<9\quad\text{et}\quad 3<y<6 &\Rightarrow& 2+3&<&x+y&<&9+6  \\ &\Rightarrow& 5&<&x+y&<&15  \end{array}$
 
Encadrons $x-y$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcrclcl} 3<y<6 &\Rightarrow& -6&<&-y&<&-3  \\ \\&\Rightarrow& 2-6&<&x-y&<&9-3  \\ \\&\Rightarrow& -4&<&x-y&<&6  \end{array}$
 
Encadrons $\dfrac{x}{y}$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcrclcl} 3<y<6 &\Rightarrow& \dfrac{1}{3}&>&y&>&\dfrac{1}{6}  \\ \\&\Rightarrow& \dfrac{2}{6}&<&\dfrac{x}{y}&<&\dfrac{9}{3}  \\ \\&\Rightarrow& \dfrac{1}{3}&<&\dfrac{x}{y}&<&3  \end{array}$
 
Encadrons $x^{2}$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcrclcl} 2<x<9 &\Rightarrow& 2^{2}&<&x^{2}&<&9^{2}  \\ \\&\Rightarrow& 4&<&x^{2}&<&81  \end{array}$
 
2) Sachant que $3\leq x\leq 5\quad -4\leq y\leq -1$, encadrons $x-y$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcrclcl} -4\leq y\leq -1 &\Rightarrow& 1&\leq& -y&\leq& 4  \\ \\&\Rightarrow& 3+1&\leq& x-y&\leq& 5+4  \\ \\&\Rightarrow& 4&\leq& x-y&\leq& 9  \end{array}$
 
Encadrons $xy$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcrclcl} -4\leq y\leq -1 &\Rightarrow& 1&\leq& -y&\leq& 4  \\ \\&\Rightarrow& 3\times 1&\leq& -xy&\leq& 5\times 4  \\ \\&\Rightarrow& 3&\leq& -xy&\leq& 20  \\ \\&\Rightarrow& -20&\leq& xy&\leq& -3  \end{array}$
 
Encadrons $y^{2}$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcrclcl} -4\leq y\leq -1 &\Rightarrow&1&\leq& -y&\leq& 4  \\ \\&\Rightarrow& 1^{2}&\leq &(-y)^{2}&\leq& 4^{2}  \\ \\&\Rightarrow& 1&\leq& y^{2}&\leq& 16  \end{array}$
 
Encadrons $\dfrac{x}{y}$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcrclcl} -4\leq y\leq -1 &\Rightarrow& \dfrac{1}{-1}&\leq&\dfrac{1}{y}&\leq& \dfrac{1}{-4} \\ \\&\Rightarrow& \dfrac{1}{4}&\leq&\dfrac{-1}{y}&\leq& \dfrac{1}{1} \\ \\&\Rightarrow& \dfrac{3}{4}&\leq&\dfrac{-x}{y}&\leq& \dfrac{5}{1} \\ \\&\Rightarrow& -\dfrac{5}{1}&\leq&\dfrac{x}{y}&\leq& -\dfrac{3}{4} \\ \\&\Rightarrow& -5&\leq&\dfrac{x}{y}&\leq& -\dfrac{3}{4} \end{array}$
 
3) Encadrons $2z\;;\ -3z\;;\ z^{2}$
 
On a :
 
$-9<z<5\ \Rightarrow\ -18<2z<10$
 
$-9<z<5\ \Rightarrow\ -15<-3z<27$
 
$-9<z<5\ \Rightarrow\ 0\leq z^{2}<81$

VI. Valeur approchée - notation scientifique

VI.1 Définition 

$\centerdot\ \ $ On dit que $a$ est une valeur approchée de $x$ à $\epsilon$ près si et seulement si $$a-\epsilon\leq x\leq a+\epsilon$$ 
c'est-à-dire $|x-a|\leq\epsilon$.
 
$\centerdot\ \ $ On dit que $a$ est une valeur approchée par défaut de $x$ à $\epsilon$ près si, et seulement si, $$a\leq x\leq a+\epsilon$$
 
$\centerdot\ \ $ On dit que $a$ est une valeur approchée par excès de $x$ à $\epsilon$ près si, et seulement si, $$a-\epsilon\leq x\leq a$$

Exemple 

1) Donner un encadrement de $x$ dans les cas suivants :
 
a) $40.5$ est une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $x.$
 
b) $40.5$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $x.$
 
c) $40.5$ est une valeur approchée à $5.10^{-2}$ près de $x.$
 
2) Donner un encadrement de $x-y\;;\ xy$ sachant que $2.21$ est une valeur approchée de $x$ à 0.1 près et $-4\leq y\leq -1.$

Résolution 

1) a) $$\begin{array}{ccccc} 40.5-0.1&\leq&x&\leq&40.5+0.1 \\ \\40.4&\leq&x&\leq&40.6\end{array}$$
 
b) $$\begin{array}{ccccc} 40.5-0.01&\leq&x&\leq&40.5+0.01 \\ \\40.49&\leq&x&\leq&40.51\end{array}$$
 
c) $$\begin{array}{ccccc} 40.5-0.05&\leq&x&\leq&40.5+0.05 \\ \\40.45&\leq&x&\leq&40.55\end{array}$$
 
2) On a : $-4\leq y\leq -1\ \Rightarrow\ 1\leq -y\leq 4$ 
 
Alors,
$$\begin{array}{ccccc} 2.21-0.1&\leq&x&\leq&2.21+0.1 \\ \\2.11&\leq&x&\leq&2.31 \\ \\2.11+1&\leq&x-y&\leq&2.31+4 \\ \\3.11&\leq&x-y&\leq&6.31\end{array}$$
Donc, $3.11\leq x-y\leq 6.31$
$$\begin{array}{ccccc} 2.11\times 1&\leq&-xy&\leq&2.31\times 4 \\ \\2.11&\leq&-xy&\leq&9.24 \\ \\-9.24&\leq&xy&\leq&2.11\end{array}$$
Donc, $-9.24\leq xy\leq 2.11$
 
$\centerdot\ \ \epsilon$ est appelé incertitude.
 
En effet, $a$ est une valeur approchée de $x$ à $\epsilon$ près donc en remplaçant $x$ par $a$ on commet une erreur $\Delta x=x-a.$ L'incertitude est un majorant de la valeur de l'erreur $$|\Delta x|=|x-a|<\epsilon$$

Exemple 

$x=\dfrac{4}{3}$
 
On a $1.33<\dfrac{4}{3}<1.34$ c'est à dire $\dfrac{4}{3}\in\;]1.33\;;\ 1.34[$
 
Donc $\left|\dfrac{4}{3}-1.33\right|<10^{-2}$
 
$10^{-2}$ est l'incertitude.
 
$\centerdot\ \ \forall\;x\in\mathbb{R}$ il existe un entier relatif $(b\in\mathbb{Z})$ et un seul tel que $$b\leq x\leq b+1$$
$b$ s'appelle la partie entière de $x$. On note $$E(x)=b$$ 
 
$\centerdot\ \ $ Soit $x$ un réel, $n\in\mathbb{N}$, $b$ la partie entière de $x.10^{n}$ alors $$b.10^{-n}\leq x\leq(b+1)10^{-n}$$ est un encadrement de $x$ à $10^{-n}$ près.
 
$b.10^{-n}$ est appelé approximation décimale de $x.$

Exemple 

Soit $x=3.124124124124$, donner une approximation de $x$ à l'ordre 3.
 
On a :
$$\begin{array}{rcl} x.10^{3}=3124.124124124 &\Rightarrow& E(x.10^{3})=3124\\ \\ &\Rightarrow& 3124\leq x.10^{3}\leq 3125\\ \\ &\Rightarrow& 3124\times 10^{-3}\leq x.10^{3}\times 10^{-3}\leq 3125\times 10^{-3}\\ \\ &\Rightarrow& 3.124\leq x\leq 3.125\end{array}$$
$3.124$ est donc une approximation décimale de $x$ à l'ordre 3.

VI.2 Notation scientifique

La notation scientifique d'un nombre réel $x$ est l'écriture de $x$ sous la forme $a.10^{p}$ où $1\leq a\leq 10$ et $p\in\mathbb{Z}.$

Exemple 

On donne les écritures scientifiques de $2\,543\;;\ 6\,000\;;\ 0.0064\;;\ 29.77$
 
On a : $2543=2.543\;10^{3}\;;\quad 6000=6\;10^{3}$
 
$0.0064=6.4\;10^{-3}\;;\quad 29.77=2.977\;10^{1}$

 

Auteur: 
Diny Faye & Seyni Ndiaye

Commentaires

Tres intéressant

Très important

Impressionant

Très important

Pour mieux comprendre

J'aimerai bien de travailler avec vous pour mieux comprendre

Rien que pour travailler

Très intéressant . Merci

Calcul dans R

merici beaucoup

Bonjour pourquoi il n y a plus le slogan permettant de télécharger les leçons .Et j'ai pas l'argent pour acheter de la connexion pour voir certains documents dans le site .Voulant percer dans la science et voir même les difficultés dans certains leçons j'ai besoin de suunu daara .A part le professeur à l'école il n y que moi.SVP

c bien

vous pouvez mettre pour télécharger les slogans. svp

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merci beaucoup

merci pour le travaille

Merci beaucoup

Maths 2S

Très intéressant

Le contenue est riche

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