Ensemble des nombres rationnels : Présentation et Opérations - 4e

Classe: 
Quatrième
 

I. Définition

On appelle nombre rationnel tout nombre pouvant s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$ avec $a\ $ et $\ b$ des nombres entiers relatifs et $b$ non nul.

Exemple

43;43;1723;723

Remarques

Tout entier relatif est un nombre rationnel.

Exemple

$-7$ est un entier relatif or $-7=\dfrac{-7}{1}$ qui est encore un nombre rationnel.
 
Tout nombre décimal relatif est aussi un nombre rationnel.

Exemple

$-5.1$ est un nombre décimal relatif or, $-5.1=\dfrac{-51}{10}$ qui est encore un nombre rationnel.
 
$7.025$ est un nombre décimal relatif or, $7.025=\dfrac{7025}{1000}$ qui est encore un nombre rationnel.
 
L'ensemble des nombre rationnel est noté $\mathbb{Q}$ et on a les inclusions suivantes : 
NZDQ

II. Différentes écriture d'un nombre rationnel

1) Multiplication d'un nombre rationnel par un nombre relatif non nul

On ne change pas (une fraction) un nombre rationnel en multipliant son numérateur et son dénominateur par le même nombre relatif non nul.

Exemple

$\dfrac{1}{3}=\dfrac{1\times 4}{3\times 4}=\dfrac{4}{12}$
 
$\dfrac{-5}{6}=\dfrac{-5\times 3}{6\times 3}=\dfrac{-15}{18}$
 
Pour tout nombre rationnel $\dfrac{a}{b}$ et pour tout nombre relatif non nul $c$ on a :
ab=a×cb×c

Conséquence 

ab=ab=ab
ab=ab

2) Division d'un nombre rationnel par un nombre relatif non nul

On ne change pas un nombre rationnel  en divisant son numérateur et son dénominateur par le même nombre relatif non nul.

Exemple

$\dfrac{12}{20}=\dfrac{12\div 4}{20\div 4}=\dfrac{3}{5}$
 
Pour tout nombre rationnel $\dfrac{a}{b}$ et un nombre entier non nul $c$ on a :
ab=a÷cb÷c

Application

1) On peut remplacer $\dfrac{-45}{80}$ par $\dfrac{-9}{16}.$ Pourquoi ?
 
2) Écrire $\dfrac{27}{18}$ avec un dénominateur entier naturel inférieur à $15.$ Combien y a t-il de possibilités ? 

Solution

1) On peut remplacer $\dfrac{-45}{80}$ par $\dfrac{-9}{16}$ car, $\dfrac{-45}{80}=\dfrac{-45\div 5}{80\div 5}=\dfrac{-9}{16}$
 
2) $\dfrac{27}{18}=\dfrac{27\div 9}{18\div 9}=\dfrac{3}{2}$
 
Il y a $7$ nombres rationnels égaux à $\dfrac{27}{18}$, le dénominateur est inférieur à $15$

III. Opération dans $\mathbb{Q}$

1) Addition et soustraction dans $\mathbb{Q}$

a) Nombres rationnels ayant les mêmes dénominateurs

Règle : Pour l'addition ou la soustraction de nombres rationnels ayant le même dénominateur, on fait l'addition ou la soustraction des numérateurs et on conserve le dénominateur.
 
$\dfrac{a}{b}\ $ et $\ \dfrac{c}{b}$ sont des nombres rationnels alors,
ab+cb=a+cbetabcb=acb

Exemple

$\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{4}=\dfrac{3+7}{4}=\dfrac{10}{4}$
 
$\dfrac{-3}{4}-\dfrac{7}{4}=\dfrac{-3-7}{4}=\dfrac{-10}{4}$

b) nombre rationnel n'ayant pas les mêmes dénominateurs

Pour l'addition ou la soustraction de nombres rationnels n'ayant pas le même dénominateur, on les réduit au même dénominateur.
 
Le dénominateur commun est le produit des dénominateurs ou bien le $PPCM$ des dénominateurs.

Exemple

Calculer
 
$A=56711=5×116×11(7)×611×6=55664266=55(42)66=55+4266$
 
Donc, $\boxed{A=\dfrac{97}{66}}$

Application

Calculer $S=\dfrac{210}{280}-\dfrac{7}{20}+\dfrac{12}{45}-1$

Solution

$S=\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{20}+\dfrac{4}{15}-1$ (après simplification)
 
1er méthode : Prendre le produit des dénominateurs comme dénominateur commun
 
$S$ peut en encore s'écrire sous la forme :
S=34720+41511
Soit : $4\times 20\times 15\times 1=1200$
 
$S=3×3004×3007×6020×60+4×8015×801×12001×1200=90012004201200+320120012001200=900420+32012001200=122016201200=400÷4001200÷400=13$
 
D'où, $\boxed{S=\dfrac{-1}{3}}$
 
2e méthode : Prendre le $PPCM$ comme dénominateur commun
 
On a : $S=\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{20}+\dfrac{4}{15}-\dfrac{1}{1}$
 
Soit : $PPCM\;(4\;;\ 20\;;\ 15\;;\ 1)=60$
 
$S=3×154×157×320×3+4×415×41×601×60=45602160+16606060=4521+166060=2060=20÷2060÷20=13$
 
Donc, $\boxed{S=\dfrac{-1}{3}}$

2) Multiplication de nombres rationnels

Si $\dfrac{a}{b}\ $ et $\ \dfrac{c}{d}$ sont deux nombres rationnels alors, on a :
ab×cd=a×cb×d

Exemple

$29×34=(2)×39×4=636=6÷636÷6=16$

3) L'inverse d'un nombre rationnel

Si $a$ est un nombre rationnel alors l'inverse de $a$ est le nombre rationnel $\dfrac{1}{a}.$

4) Division de nombres rationnels

Si $\dfrac{a}{b}\ $ et $\ \dfrac{c}{d}$ sont des nombres rationnels alors, on a :
abcd=ab×dc=a×db×c

Exemple

Calculer
 
$\dfrac{2}{3}\div -\dfrac{4}{5}\ $ et $\ -3\div \dfrac{2}{5}$

Solution

$23÷45=2345=23×54=2×53×(4)=10÷212÷2=56$
 
Donc, $\boxed{\dfrac{2}{3}\div -\dfrac{4}{5}=\dfrac{5}{-6}}$
 
$31÷25=3125=31×52=3×51×2=152$
 
D'où, $\boxed{\dfrac{-3}{1}\div \dfrac{2}{5}=\dfrac{-15}{2}}$

5) Puissances de nombres rationnels

a) Puissance positive d'un nombre rationnel

Si $\dfrac{a}{b}$ est nombre rationnel et $n$ un entier relatif plus grand que zéro $(n>0)$ alors,  on a :
(ab)n=ab×ab××abn facteurs égaux à ab
D'où,
(ab)n=anbn

Convention

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{0}=\dfrac{a^{0}}{b^{0}}=\dfrac{1}{1}$
 
(ab)0=1

Exemple

Calculer $\left(\dfrac{-1}{3}\right)^{5}\ $ et $\ \left(\dfrac{3}{-4}\right)^{2}$
 
$\left(\dfrac{-1}{3}\right)^{5}=\dfrac{(-1)^{5}}{3^{5}}=\dfrac{-1}{243}$
 
$\left(\dfrac{3}{-4}\right)^{2}=\dfrac{3^{2}}{(-4)^{2}}=\dfrac{9}{16}$

b) Puissance négative d'un nombre rationnel

Si $\dfrac{a}{b}$ est un nombre rationnel et $n$ un entier naturel $(n>0)$ alors, on a :
(ab)n=1(ab)n=bnan
Ainsi,
(ab)n=bnan

Exemple

Calculer
 
$\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-4}\ $ et $\ 2^{-3}$

Solution

$(35)4=1(35)4=5434=62581$
 
$23=1(21)3=(12)3=1323=18$

c) Propriétés

Soit $x\ $ et $\ y$ deux nombre $(x\neq 0)\;,\  n\ $ et $\ m$ deux entiers, on a : 
xn×xm=xn+m(xn)m=xn×mxnxm=xnm(x×y)n=xn×yn

Exemple

Calculer
 
$\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3}\times \left(\dfrac{-2}{3}\right)^{4}$
 
$\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-3}\div \left(\dfrac{3}{5}\right)^{5}$
 
$\left[\left(-\dfrac{2}{3}\right)\times \left(\dfrac{5}{6}\right)\right]^{2}$

Solution

$(23)3×(23)4=(23)3×(23)4=(23)3+4=(23)1=23$
 
D'où, $\boxed{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3}\times \left(\dfrac{-2}{3}\right)^{4}=\dfrac{-2}{3}}$
 
$(35)3÷(35)5=(35)3(35)5=(35)35=(35)8=1(35)8=5838$
 
Donc, $\boxed{\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-3}\div  \left(\dfrac{3}{5}\right)^{5}=\dfrac{5^{8}}{3^{8}}}$
 
$\left[\left(-\dfrac{2}{3}\right)\times \left(\dfrac{5}{6}\right)\right]^{2}=\left(\dfrac{-2}{3}\right)^{2}\times\left(\dfrac{5}{6}\right)^{2}$

 

Auteur: 
Mamadou Siradji Dia

Commentaires

mr Ndong je vous voit

moi aussi je te vois

moi aussi je te vois

moi aussi je te vois

c tres importabt

C bien heinnnn

Excellent travail. Tous mes encouragements pour ce cours concis et clair

Je suis prof de maths et j’aimerais utiliser votre site pour un support de cours… Merci et cordialement !!!

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