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Ensemble des nombres rationnels : Présentation et Opérations - 4e

Classe:

Quatrième

I. Définition

On appelle nombre rationnel tout nombre pouvant s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$ avec $a\ $ et $\ b$ des nombres entiers relatifs et $b$ non nul.

Exemple

$$\dfrac{4}{3}\;;\quad \dfrac{-4}{3}\;;\quad \dfrac{-17}{-23}\;;\quad \dfrac{7}{-23}$$

Remarques

Tout entier relatif est un nombre rationnel.

Exemple

$-7$ est un entier relatif or $-7=\dfrac{-7}{1}$ qui est encore un nombre rationnel.

Tout nombre décimal relatif est aussi un nombre rationnel.

Exemple

$-5.1$ est un nombre décimal relatif or, $-5.1=\dfrac{-51}{10}$ qui est encore un nombre rationnel.

$7.025$ est un nombre décimal relatif or, $7.025=\dfrac{7025}{1000}$ qui est encore un nombre rationnel.

L'ensemble des nombre rationnel est noté $\mathbb{Q}$ et on a les inclusions suivantes :

$$\boxed{\mathbb{N}\subset\;\mathbb{Z}\;\subset\mathbb{D}\;\subset\mathbb{Q}}$$

II. Différentes écriture d'un nombre rationnel

1) Multiplication d'un nombre rationnel par un nombre relatif non nul

On ne change pas (une fraction) un nombre rationnel en multipliant son numérateur et son dénominateur par le même nombre relatif non nul.

Exemple

$\dfrac{1}{3}=\dfrac{1\times 4}{3\times 4}=\dfrac{4}{12}$

$\dfrac{-5}{6}=\dfrac{-5\times 3}{6\times 3}=\dfrac{-15}{18}$

Pour tout nombre rationnel $\dfrac{a}{b}$ et pour tout nombre relatif non nul $c$ on a :

$$\boxed{\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times c}{b\times c}}$$

Conséquence

$$\boxed{\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}=-\dfrac{a}{b}}$$

$$\boxed{\dfrac{-a}{-b}=\dfrac{a}{b}}$$

2) Division d'un nombre rationnel par un nombre relatif non nul

On ne change pas un nombre rationnel en divisant son numérateur et son dénominateur par le même nombre relatif non nul.

Exemple

$\dfrac{12}{20}=\dfrac{12\div 4}{20\div 4}=\dfrac{3}{5}$

Pour tout nombre rationnel $\dfrac{a}{b}$ et un nombre entier non nul $c$ on a :

$$\boxed{\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\div c}{b\div c}}$$

Application

1) On peut remplacer $\dfrac{-45}{80}$ par $\dfrac{-9}{16}.$ Pourquoi ?

2) Écrire $\dfrac{27}{18}$ avec un dénominateur entier naturel inférieur à $15.$ Combien y a t-il de possibilités ?

Solution

1) On peut remplacer $\dfrac{-45}{80}$ par $\dfrac{-9}{16}$ car, $\dfrac{-45}{80}=\dfrac{-45\div 5}{80\div 5}=\dfrac{-9}{16}$

2) $\dfrac{27}{18}=\dfrac{27\div 9}{18\div 9}=\dfrac{3}{2}$

Il y a $7$ nombres rationnels égaux à $\dfrac{27}{18}$, le dénominateur est inférieur à $15$

III. Opération dans $\mathbb{Q}$

1) Addition et soustraction dans $\mathbb{Q}$

a) Nombres rationnels ayant les mêmes dénominateurs

Règle : Pour l'addition ou la soustraction de nombres rationnels ayant le même dénominateur, on fait l'addition ou la soustraction des numérateurs et on conserve le dénominateur.

$\dfrac{a}{b}\ $ et $\ \dfrac{c}{b}$ sont des nombres rationnels alors,

$$\boxed{\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=\dfrac{a+c}{b}\quad\text{et}\quad \dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{b}=\dfrac{a-c}{b}}$$

Exemple

$\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{4}=\dfrac{3+7}{4}=\dfrac{10}{4}$

$\dfrac{-3}{4}-\dfrac{7}{4}=\dfrac{-3-7}{4}=\dfrac{-10}{4}$

b) nombre rationnel n'ayant pas les mêmes dénominateurs

Pour l'addition ou la soustraction de nombres rationnels n'ayant pas le même dénominateur, on les réduit au même dénominateur.

Le dénominateur commun est le produit des dénominateurs ou bien le $PPCM$ des dénominateurs.

Exemple

Calculer

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{5}{6}-\dfrac{-7}{11}\\ \\&=&\dfrac{5\times 11}{6\times 11}-\dfrac{(-7)\times 6}{11\times 6}\\ \\&=&\dfrac{55}{66}-\dfrac{-42}{66}\\ \\&=&\dfrac{55-(-42)}{66}\\ \\&=&\dfrac{55+42}{66}\end{array}$

Donc, $\boxed{A=\dfrac{97}{66}}$

Application

Calculer $S=\dfrac{210}{280}-\dfrac{7}{20}+\dfrac{12}{45}-1$

Solution

$S=\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{20}+\dfrac{4}{15}-1$ (après simplification)

1er méthode : Prendre le produit des dénominateurs comme dénominateur commun

$S$ peut en encore s'écrire sous la forme :

$$S=\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{20}+\dfrac{4}{15}-\dfrac{1}{1}$$

Soit : $4\times 20\times 15\times 1=1200$

$\begin{array}{rcl} S&=&\dfrac{3\times 300}{4\times 300}-\dfrac{7\times 60}{20\times 60}+\dfrac{4\times 80}{15\times 80}-\dfrac{1\times 1200}{1\times 1200}\\ \\&=&\dfrac{900}{1200}-\dfrac{420}{1200}+\dfrac{320}{1200}-\dfrac{1200}{1200}\\ \\&=&\dfrac{900-420+320-1200}{1200}\\ \\&=&\dfrac{1220-1620}{1200}\\ \\&=&\dfrac{-400\div 400}{1200\div 400}\\ \\&=&\dfrac{-1}{3}\end{array}$

D'où, $\boxed{S=\dfrac{-1}{3}}$

2e méthode : Prendre le $PPCM$ comme dénominateur commun

On a : $S=\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{20}+\dfrac{4}{15}-\dfrac{1}{1}$

Soit : $PPCM\;(4\;;\ 20\;;\ 15\;;\ 1)=60$

$\begin{array}{rcl} S&=&\dfrac{3\times 15}{4\times 15}-\dfrac{7\times 3}{20\times 3}+\dfrac{4\times 4}{15\times 4}-\dfrac{1\times 60}{1\times 60}\\ \\&=&\dfrac{45}{60}-\dfrac{21}{60}+\dfrac{16}{60}-\dfrac{60}{60}\\ \\&=&\dfrac{45-21+16-60}{60}\\ \\&=&\dfrac{-20}{60}\\ \\&=&\dfrac{-20\div 20}{60\div 20}\\ \\&=&\dfrac{-1}{3}\end{array}$

Donc, $\boxed{S=\dfrac{-1}{3}}$

2) Multiplication de nombres rationnels

Si $\dfrac{a}{b}\ $ et $\ \dfrac{c}{d}$ sont deux nombres rationnels alors, on a :

$$\boxed{\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}}$$

Exemple

$\begin{array}{rcl}\dfrac{-2}{9}\times \dfrac{3}{4}&=&\dfrac{(-2)\times 3}{9\times 4}\\ \\&=&\dfrac{-6}{36}=\dfrac{-6\div 6}{36\div 6}\\ \\&=&\dfrac{-1}{6}\end{array}$

3) L'inverse d'un nombre rationnel

Si $a$ est un nombre rationnel alors l'inverse de $a$ est le nombre rationnel $\dfrac{1}{a}.$

4) Division de nombres rationnels

Si $\dfrac{a}{b}\ $ et $\ \dfrac{c}{d}$ sont des nombres rationnels alors, on a :

$$\boxed{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}=\dfrac{a\times d}{b\times c}}$$

Exemple

Calculer

$\dfrac{2}{3}\div -\dfrac{4}{5}\ $ et $\ -3\div \dfrac{2}{5}$

Solution

$\begin{array}{rcl}\dfrac{2}{3}\div -\dfrac{4}{5}&=&\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{-4}{5}}\\ \\&=&\dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{-4}\\ \\&=&\dfrac{2\times 5}{3\times (-4)}\\ \\&=&\dfrac{10\div 2}{-12\div 2}\\ \\&=&\dfrac{5}{-6}\end{array}$

Donc, $\boxed{\dfrac{2}{3}\div -\dfrac{4}{5}=\dfrac{5}{-6}}$

$\begin{array}{rcl}\dfrac{-3}{1}\div \dfrac{2}{5}&=&\dfrac{\dfrac{-3}{1}}{\dfrac{2}{5}}\\ \\&=&\dfrac{-3}{1}\times \dfrac{5}{2}=\dfrac{-3\times 5}{1\times 2}\\ \\&=&\dfrac{-15}{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{\dfrac{-3}{1}\div \dfrac{2}{5}=\dfrac{-15}{2}}$

5) Puissances de nombres rationnels

a) Puissance positive d'un nombre rationnel

Si $\dfrac{a}{b}$ est nombre rationnel et $n$ un entier relatif plus grand que zéro $(n>0)$ alors, on a :

$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\underbrace{\dfrac{a}{b}\times\dfrac{a}{b}\times\ldots\ldots\times\dfrac{a}{b}}_{n\text{ facteurs égaux à }\tfrac{a}{b}}$$

D'où,

$$\boxed{\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}}$$

Convention

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{0}=\dfrac{a^{0}}{b^{0}}=\dfrac{1}{1}$

$$\boxed{\left(\dfrac{a}{b}\right)^{0}=1}$$

Exemple

Calculer $\left(\dfrac{-1}{3}\right)^{5}\ $ et $\ \left(\dfrac{3}{-4}\right)^{2}$

$\left(\dfrac{-1}{3}\right)^{5}=\dfrac{(-1)^{5}}{3^{5}}=\dfrac{-1}{243}$

$\left(\dfrac{3}{-4}\right)^{2}=\dfrac{3^{2}}{(-4)^{2}}=\dfrac{9}{16}$

b) Puissance négative d'un nombre rationnel

Si $\dfrac{a}{b}$ est un nombre rationnel et $n$ un entier naturel $(n>0)$ alors, on a :

$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}}=\dfrac{b^{n}}{a^{n}}$$

Ainsi,

$$\boxed{\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\dfrac{b^{n}}{a^{n}}}$$

Exemple

Calculer

$\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-4}\ $ et $\ 2^{-3}$

Solution

$\begin{array}{rcl}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-4}&=&\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{5}\right)^{4}}\\ \\&=&\dfrac{5^{4}}{3^{4}}\\ \\&=&\dfrac{625}{81}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} 2^{-3}&=&\dfrac{1}{\left(\dfrac{2}{1}\right)^{3}}\\ \\&=&\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}\\ \\&=&\dfrac{1^{3}}{2^{3}}\\ \\&=&\dfrac{1}{8}\end{array}$

c) Propriétés

Soit $x\ $ et $\ y$ deux nombre $(x\neq 0)\;,\ n\ $ et $\ m$ deux entiers, on a :

$$\boxed{\begin{array}{l} x^{n}\times x^{m}=x^{n+m}\\ \\(x^{n})^{m}=x^{n\times m}\\ \\ \dfrac{x^{n}}{x^{m}}=x^{n-m}\\ \\(x\times y)^{n}=x^{n}\times y^{n}\end{array}}$$

Exemple

Calculer

$\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3}\times \left(\dfrac{-2}{3}\right)^{4}$

$\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-3}\div \left(\dfrac{3}{5}\right)^{5}$

$\left[\left(-\dfrac{2}{3}\right)\times \left(\dfrac{5}{6}\right)\right]^{2}$

Solution

$\begin{array}{rcl}\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3}\times \left(\dfrac{-2}{3}\right)^{4}&=&\left(\dfrac{-2}{3}\right)^{-3}\times \left(\dfrac{-2}{3}\right)^{4}\\ \\&=&\left(\dfrac{-2}{3}\right)^{-3+4}\\ \\&=&\left(\dfrac{-2}{3}\right)^{1}\\ \\&=&\dfrac{-2}{3}\end{array}$

D'où, $\boxed{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3}\times \left(\dfrac{-2}{3}\right)^{4}=\dfrac{-2}{3}}$

$\begin{array}{rcl}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-3}\div \left(\dfrac{3}{5}\right)^{5}&=&\dfrac{\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-3}}{\left(\dfrac{3}{5}\right)^{5}}\\ \\&=&\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-3-5}\\\\&=&\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-8}\\ \\&=&\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{5}\right)^{8}}\\ \\&=&\dfrac{5^{8}}{3^{8}}\end{array}$

Donc, $\boxed{\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-3}\div \left(\dfrac{3}{5}\right)^{5}=\dfrac{5^{8}}{3^{8}}}$

$\left[\left(-\dfrac{2}{3}\right)\times \left(\dfrac{5}{6}\right)\right]^{2}=\left(\dfrac{-2}{3}\right)^{2}\times\left(\dfrac{5}{6}\right)^{2}$

Auteur:

Mamadou Siradji Dia