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Solution des exercices : Les polynômes - 2nd

Classe:

Seconde

Exercice 1

Soient les fonctions suivantes :

a) $f(x)=|-3x^{2}+5x-7|$

Soit : $P(x)=-3x^{2}+5x-7.$ On a : $\Delta=25-84=-59$

Comme $\Delta <0$ alors, $P(x)$ est toujours du signe de $(-3)$ donc, négatif.

D'où,

\begin{array}{rcl} f (x) & = & | - 3 x^{2} + 5 x - 7 | \\ = & - (- 3 x^{2} + 5 x - 7) \\ = & 3 x^{2} - 5 x + 7 \end{array}

Par suite, $f(x)=3x^{2}-5x+7$ pour tout $x\in\mathbb{R}$

Ce qui montre que la fonction $f$ définie par $f(x)=|-3x^{2}+5x-7|$ est un polynôme

b) $f(x)=|2x^{2}-3x+1|$

Soit : $Q(x)=2x^{2}-3x+1.$ Alors, $\Delta=9-8=1$

Comme $\Delta>0$ alors, on a deux racines distinctes :

x_{1} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} et x_{2} = \frac{3 + 1}{4} = 1

Ainsi, $Q(x)$ est positif à l'extérieur des racines, et négatif à l'intérieur des racines.

Par suite :

f (x) = {\begin{array}{rcl} 2 x^{2} - 3 x + 1 & si & x \in] - \infty; \frac{1}{2}] \cup [1; + \infty [ \\ - 2 x^{2} + 3 x - 1 & si & x \in [\frac{1}{2}; 1] \end{array}

On remarque que les coefficients de $f(x)$ ne sont pas constants, ils changent selon l'intervalle d'appartenance de $x.$

Par conséquent, la fonction $f$ définie par $f(x)=|2x^{2}-3x+1|$ n'est pas un polynôme.

c) $f(x)=\sqrt{x^{2}+1}$

$f(x)$ n'est pas un polynôme car $\sqrt{x^{2}+1}$ ne peut pas se mettre sous la forme

a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} avec a_{n} \neq 0 et n \in N

d) $f(x)=\sqrt{(x^{2}-2x+1)^{2}}$

On a :

\begin{array}{rcl} f (x) & = & \sqrt{(x^{2} - 2 x + 1)^{2}} \\ = & | x^{2} - 2 x + 1 | \end{array}

Posons : $R(x)=x^{2}-2x+1.$ Soit alors, $\Delta=4-4=0$

Comme $\Delta=0$ alors, $R(x)$ est du signe de $(1)$ donc, positif.

D'où, $|x^{2}-2x+1|=x^{2}-2x+1$

Par suite, $f(x)=x^{2}-2x+1$ pour tout $x\in\mathbb{R}$

Par conséquent, la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{(x^{2}-2x+1)^{2}}$ est un polynôme.

e) $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}$

On a : $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}$

Donc, après simplification, on obtient : $f(x)=x+1$ qui définit bien une fonction polynôme.

Par conséquent, la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}$ est un polynôme.

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants vérifions que $\alpha$ est racine de $f$ puis, déterminons $Q(x)$ tel que

f (x) = (x - α) Q (x)

a) $f(x)=2x^{3}-7x^{2}-17x+10\;,\quad\alpha=-2$

Soit :

\begin{array}{rcl} f (α) & = & 2 α^{3} - 7 α^{2} - 17 α + 10 \\ = & 2 \times (- 2)^{3} - 7 \times (- 2)^{2} - 17 \times (- 2) + 10 \\ = & 2 \times (- 8) - 7 \times 4 + 34 + 10 \\ = & - 16 - 28 + 44 \\ = & 0 \end{array}

Donc, $\boxed{f(-2)=0}$ d'où, $\alpha=-2$ est racine de $f$

Par suite, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $f(x)=(x+2)Q(x)$ avec $deg\,Q=2$

On a : $f(x)$ divisible par $(x+2)$ donc, par division euclidienne, on obtient :

\begin{array}{l} 2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10 \\ - 2 x^{3} - 4 x^{2} \\ 0 - 11 x^{2} - 17 x + 10 \\ 11 x^{2} + 22 x \\ 0 + 5 x + 10 \\ - 5 x - 10 \\ 0 \end{array} \begin{array}{l} x + 2 \\ 2 x^{2} - 11 x + 5 \end{array}

D'où, $\boxed{Q(x)=2x^{2}-11x+5}$

b) $f(x)=2x^{2}-(1+2\sqrt{3})x-1-\sqrt{3}\;,\quad\alpha=-\dfrac{1}{2}$

On a :

\begin{array}{rcl} f (α) & = & 2 α^{2} - (1 + 2 \sqrt{3}) α - 1 - \sqrt{3} \\ = & 2 \times {(- \frac{1}{2})}^{2} - (1 + 2 \sqrt{3}) \times (- \frac{1}{2}) - 1 - \sqrt{3} \\ = & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} \\ = & 1 - 1 \\ = & 0 \end{array}

Donc, $\boxed{f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0}$ ainsi, $\alpha=-\dfrac{1}{2}$ est racine de $f$

Par suite, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $f(x)=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)Q(x)$ avec $deg\,Q=1$

$Q(x)$ est alors de la forme : $Q(x)=ax+b$ avec $a\neq 0$

On a :

\begin{array}{rcl} f (x) & = & (x + \frac{1}{2}) Q (x) \\ = & (x + \frac{1}{2}) (a x + b) \\ = & a x^{2} + \frac{a}{2} x + b x + \frac{b}{2} \\ = & a x^{2} + (\frac{a}{2} + b) x + \frac{b}{2} \end{array}

Donc, $2x^{2}-(1+2\sqrt{3})x-1-\sqrt{3}=ax^{2}+\left(\dfrac{a}{2}+b\right)x+\dfrac{b}{2}$

D'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes on a :

{\begin{array}{rcl} a & = & 2 \\ (\frac{a}{2} + b) & = & - (1 + 2 \sqrt{3}) \\ \frac{b}{2} & = & - 1 - \sqrt{3} \end{array} \Rightarrow {\begin{array}{rcl} a & = & 2 \\ b & = & - 2 - 2 \sqrt{3} \end{array}

D'où, $\boxed{Q(x)=2x-2-2\sqrt{3}=2(x-1-\sqrt{3})}$

c) $f(x)=4x^{3}+x^{2}-11x+6\;,\quad\alpha=1\;;\ \alpha=-2$

Soit :

\begin{array}{rcl} f (1) & = & 4 \times (1)^{3} + (1)^{2} - 11 \times (1) + 6 \\ = & 4 + 1 - 11 + 6 \\ = & 0 \end{array}

Donc, $\boxed{f(1)=0}$ d'où, $\alpha=1$ est racine de $f$

Aussi,

\begin{array}{rcl} f (- 2) & = & 4 \times (- 2)^{3} + (- 2)^{2} - 11 \times (- 2) + 6 \\ = & - 32 + 4 + 22 + 6 \\ = & 0 \end{array}

Donc, $\boxed{f(-2)=0}$ d'où, $\alpha=-2$ est racine de $f$

Par suite, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $f(x)=(x-1)(x+2)Q(x)$ avec $deg\,Q=1$

Soit alors $f(x)$ divisible par $(x-1)(x+2)=x^{2}+x-2$ donc, par division euclidienne, on obtient :

\begin{array}{l} 4 x^{3} + x^{2} - 11 x + 6 \\ - 4 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x \\ 0 - 3 x^{2} - 3 x + 6 \\ 3 x^{2} + 3 x - 6 \\ 0 \end{array} \begin{array}{l} x^{2} + x - 2 \\ 4 x - 3 \end{array}

D'où, $\boxed{Q(x)=4x-3}$

Exercice 3

Dans chacun des cas suivants essayons de voir si $f(x)$ est factorisable par $g(x).$

Et si tel est le cas ; nous allons déterminer une factorisation de $f(x).$

En effet, $f(x)$ est factorisable par $g(x)$ si, et seulement si, les racines de $g$ sont aussi racines de $f.$

En conséquent, si une racine de $g$ n'est pas racine de $f$ alors, $f(x)$ ne sera pas factorisable par $g(x).$

Donc, dans cet exercice, nous allons d'abord chercher les racines de $g$ et ensuite, vérifier si elles sont aussi racines de $f$ pour enfin conclure sur la factorisation $f(x)$ par $g(x).$

1) Soient $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-11x+6\ $ et $\ g(x)=2x-1.$

Cherchons alors les racines de $g$ en résolvant l'équation $g(x)=0.$

On a :

\begin{array}{rcl} g (x) = 0 & \Leftrightarrow & 2 x - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow & 2 x = 1 \\ \Leftrightarrow & x = \frac{1}{2} \end{array}

Ainsi, $\dfrac{1}{2}$ est racine de $g.$

C'est-à-dire ; $\boxed{g\left(\dfrac{1}{2}\right)=0}$

Vérifions ensuite si $\dfrac{1}{2}$ est aussi racine de $f.$

Pour cela, on va calculer $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ en remplaçant $x$ par $\dfrac{1}{2}$, dans l'expression de $f(x).$

On obtient :

\begin{array}{rcl} f (\frac{1}{2}) & = & 2 {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 11 (\frac{1}{2}) + 6 \\ = & 2 (\frac{1}{8}) - 3 (\frac{1}{4}) - \frac{11}{2} + 6 \\ = & \frac{2}{8} - \frac{3}{4} - \frac{11}{2} + 6 \\ = & \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - \frac{11}{2} + 6 \\ = & - \frac{2}{4} - \frac{11}{2} + 6 \\ = & - \frac{1}{2} - \frac{11}{2} + 6 \\ = & - \frac{12}{2} + 6 \\ = & - 6 + 6 \\ = & 0 \end{array}

D'où, $\boxed{f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0}$

Ainsi, $\dfrac{1}{2}$ est aussi une racine de $f.$

Par conséquent, $f(x)$ est factorisable par $g(x).$

Par suite, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $f(x)=g(x)\times Q(x)$ avec $deg\,Q=2$

Comme $f(x)$ est factorisable par $g(x)$ alors, $f(x)$ est divisible par $(2x-1).$

Ainsi, par division euclidienne, on a :

\begin{array}{l} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6 \\ - 2 x^{3} + x^{2} \\ 0 - 2 x^{2} - 11 x + 6 \\ 2 x^{2} - x \\ 0 - 12 x + 6 \\ 12 x - 6 \\ 0 \end{array} \begin{array}{l} 2 x - 1 \\ x^{2} - x - 6 \end{array}

D'où, $\boxed{Q(x)=x^{2}-x-6}$

Par conséquent, $\boxed{f(x)=(2x-1)(x^{2}-x-6)}$

Pour une factorisation complète de $f(x)$, nous allons essayer de voir si $Q(x)$ est factorisable.

Soit : $Q(x)=x^{2}-x-6.$

Alors, on a :

\begin{array}{rcl} Δ & = & (- 1)^{2} - 4 \times (- 6) \\ = & 1 + 24 \\ = & 25 \end{array}

Donc, $\boxed{\Delta=25\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=5}$

Ainsi, les racines $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ de $Q(x)$ sont données par :

\begin{array}{rcl} x_{1} & = & \frac{- (- 1) + \sqrt{25}}{2 \times 1} \\ = & \frac{1 + 5}{2} \\ = & \frac{6}{2} \\ = & 3 \end{array}

Donc, $\boxed{x_{1}=3}$

\begin{array}{rcl} x_{2} & = & \frac{- (- 1) - \sqrt{25}}{2 \times 1} \\ = & \frac{1 - 5}{2} \\ = & \frac{- 4}{2} \\ = & - 2 \end{array}

Donc, $\boxed{x_{2}=-2}$

Ainsi, $Q(x)=(x-3)(x+2)$

D'où, une factorisation complète de $f(x)$ est donnée par :

f (x) = (2 x - 1) (x - 3) (x + 2)

2) Soient $f(x)=2x^{3}+x^{2}-9x+5\ $ et $\ g(x)=2x+5$

Alors, cherchons d'abord les racines de $g$ en résolvant l'équation $g(x)=0.$

On a :

\begin{array}{rcl} g (x) = 0 & \Leftrightarrow & 2 x + 5 = 0 \\ \Leftrightarrow & 2 x = - 5 \\ \Leftrightarrow & x = - \frac{5}{2} \end{array}

Donc, $-\dfrac{5}{2}$ est une racine de $g.$

Ce qui signifie que $\boxed{g\left(-\dfrac{5}{2}\right)=0}$

Vérifions ensuite si $-\dfrac{5}{2}$ est aussi racine de $f.$

Pour cela, on va calculer $f\left(-\dfrac{5}{2}\right)$ en remplaçant $x$ par $-\dfrac{5}{2}$, dans l'expression de $f(x).$

Cela donne alors :

\begin{array}{rcl} f (- \frac{5}{2}) & = & 2 {(- \frac{5}{2})}^{3} + {(- \frac{5}{2})}^{2} - 9 (- \frac{5}{2}) + 5 \\ = & 2 (- \frac{125}{8}) + (\frac{25}{4}) + \frac{45}{2} + 5 \\ = & - \frac{2 \times 125}{8} + \frac{25}{4} + \frac{45}{2} + \frac{10}{2} \\ = & - \frac{125}{4} + \frac{25}{4} + \frac{55}{2} \\ = & - \frac{100}{4} + \frac{55}{2} \\ = & - \frac{50}{2} + \frac{55}{2} \\ = & \frac{5}{2} \end{array}

D'où, $\boxed{f\left(-\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{5}{2}}$

Donc, $f\left(-\dfrac{5}{2}\right)\neq 0$ ; ce qui signifie que $-\dfrac{5}{2}$ n'est pas une racine de $f.$

Par conséquent, $f(x)$ n'est pas factorisable par $g(x).$

3) Soient $f(x)=3x^{3}-x^{2}+7x+6\ $ et $\ g(x)=3x+2.$

Cherchons d'abord les racines de $g$ en résolvant l'équation $g(x)=0.$

On a :

\begin{array}{rcl} g (x) = 0 & \Leftrightarrow & 3 x + 2 = 0 \\ \Leftrightarrow & 3 x = - 2 \\ \Leftrightarrow & x = - \frac{2}{3} \end{array}

Donc, $-\dfrac{2}{3}$ est une racine de $g.$

Ainsi, $\boxed{g\left(-\dfrac{2}{3}\right)=0}$

Ensuite, vérifions si $-\dfrac{2}{3}$ est aussi une racine de $f.$

Pour cela, on calcule $f\left(-\dfrac{2}{3}\right)$ en remplaçant $x$ par $-\dfrac{2}{3}$, dans l'expression de $f(x).$

On a alors :

\begin{array}{rcl} f (- \frac{2}{3}) & = & 3 {(- \frac{2}{3})}^{3} - {(- \frac{2}{3})}^{2} + 7 (- \frac{2}{3}) + 6 \\ = & 3 (- \frac{8}{27}) - (\frac{4}{9}) - \frac{14}{3} + 6 \\ = & - \frac{3 \times 8}{27} - \frac{4}{9} - \frac{14}{3} + 6 \\ = & - \frac{8}{9} - \frac{4}{9} - \frac{42}{9} + 6 \\ = & - \frac{12}{9} - \frac{42}{9} + 6 \\ = & - \frac{54}{9} + 6 \\ = & - 6 + 6 \\ = & 0 \end{array}

Donc, $\boxed{f\left(-\dfrac{2}{3}\right)=0}$

D'où, $-\dfrac{2}{3}$ est aussi une racine de $f.$

Par conséquent, $f(x)$ est factorisable par $g(x).$

Ainsi, il existe un polynôme $Q(x)$ de degré $2$ tel que :

f (x) = g (x) \times Q (x)

Déterminons alors ce polynôme $Q(x).$

En effet, comme $Q$ est de degré $2$ alors $Q(x)$ est de la forme :

Q (x) = a x^{2} + b x + c avec a \neq 0

Par la méthode d'identification des coefficients, cherchons $a\;,\ b\ $ et $\ c.$

On a :

\begin{array}{rcl} f (x) = g (x) \times Q (x) & \Leftrightarrow & 3 x^{3} - x^{2} + 7 x + 6 = (3 x + 2) (a x^{2} + b x + c) \\ \Leftrightarrow & 3 x^{3} - x^{2} + 7 x + 6 = 3 a x^{3} + 3 b x^{2} + 3 c x + 2 a x^{2} + 2 b x + 2 c \\ \Leftrightarrow & 3 x^{3} - x^{2} + 7 x + 6 = 3 a x^{3} + (3 b + 2 a) x^{2} + (3 c + 2 b) x + 2 c \end{array}

Ainsi, en appliquant la propriété d'égalité de deux polynômes, on obtient :

{\begin{array}{rcl} 3 a & = & 3 \\ 3 b + 2 a & = & - 1 \\ 3 c + 2 b & = & 7 \\ 2 c & = & 6 \end{array} \Rightarrow {\begin{array}{rcl} a & = & 1 \\ b & = & - 1 \\ c & = & 3 \end{array}

D'où, $\boxed{Q(x)=x^{2}-x+3}$

Calculons alors son discriminant pour voir si $Q(x)$ est à son tour factorisable.

Soit : $\Delta=(-1)^{2}-4\times 3=1-12=-11<0$

Comme $\Delta$ est négatif alors, $Q(x)$ n'est pas factorisable.

Par conséquent, la factorisation de $f(x)$ est donnée par :

f (x) = (3 x + 2) (x^{2} - x + 3)

Exercice 4

On donne :

P (x) = 5 (x^{2} - 9) - (x - 5) (6 - 2 x)

1) Développons et réduisons $P(x)$

On a :

\begin{array}{rcl} P (x) & = & 5 (x^{2} - 9) - (x - 5) (6 - 2 x) \\ = & 5 x^{2} - 45 - (6 x - 2 x^{2} - 30 + 10 x) \\ = & 5 x^{2} - 45 - 6 x + 2 x^{2} + 30 - 10 x \\ = & 5 x^{2} + 2 x^{2} - 6 x - 10 x - 45 + 30 \\ = & 7 x^{2} - 16 x - 15 \end{array}

D'où, $\boxed{P(x)=7x^{2}-16x-15}$

2) Factorisons $P(x)$

Pour cela, nous utilisons la forme factorisée des identités remarquables et le facteur commun.

On a :

\begin{array}{rcl} P (x) & = & 5 (x^{2} - 9) - (x - 5) (6 - 2 x) \\ = & 5 (x - 3) (x + 3) - (x - 5) (3 - x) 2 \\ = & 5 (x - 3) (x + 3) - 2 (3 - x) (x - 5) \\ = & 5 (x - 3) (x + 3) + 2 (x - 3) (x - 5) \\ = & (x - 3) [5 (x + 3) + 2 (x - 5)] \\ = & (x - 3) (5 x + 15 + 2 x - 10) \\ = & (x - 3) (7 x + 5) \end{array}

Ainsi, $\boxed{P(x)=(x-3)(7x+5)}$

3) Utilisons la forme convenable pour résoudre les équations :

P (x) = 0; P (x) = - 15; P (x) = 7 x + 5

Soit à résoudre l'équation $P(x)=0.$

Nous utiliseront alors la forme factorisée de $P(x).$

Ainsi, on a :

\begin{array}{rcl} P (x) = 0 & \Leftrightarrow & (x - 3) (7 x + 5) = 0 \\ \Leftrightarrow & x - 3 = 0 ou 7 x + 5 = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 3 ou 7 x = - 5 \\ \Leftrightarrow & x = 3 ou x = - \frac{5}{7} \end{array}

D'où, l'ensemble des solutions de l'équation $P(x)=0$ est donné par :

S = {- \frac{5}{7}; 3}

Résolvons l'équation $P(x)=-15$

En utilisant la forme développée de $P(x)$, on obtient :

\begin{array}{rcl} P (x) = - 15 & \Leftrightarrow & 7 x^{2} - 16 x - 15 = - 15 \\ \Leftrightarrow & 7 x^{2} - 16 x - 15 + 15 = 0 \\ \Leftrightarrow & 7 x^{2} - 16 x = 0 \\ \Leftrightarrow & x (7 x - 16) = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 0 ou 7 x - 16 = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 0 ou 7 x = 16 \\ \Leftrightarrow & x = 0 ou x = \frac{16}{7} \end{array}

D'où, l'ensemble des solutions de l'équation $P(x)=-15$ est donné par :

S = {0; \frac{16}{7}}

Soit à résoudre l'équation $P(x)=7x+5.$

Alors, en utilisant la forme factorisée de $P(x)$, on obtient :

\begin{array}{rcl} P (x) = 7 x + 5 & \Leftrightarrow & (x - 3) (7 x + 5) = 7 x + 5 \\ \Leftrightarrow & (x - 3) (7 x + 5) - (7 x + 5) = 0 \\ \Leftrightarrow & (7 x + 5) [(x - 3) - 1] = 0 \\ \Leftrightarrow & (7 x + 5) (x - 3 - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow & (7 x + 5) (x - 4) = 0 \\ \Leftrightarrow & 7 x + 5 = 0 ou x - 4 = 0 \\ \Leftrightarrow & 7 x = - 5 ou x = 4 \\ \Leftrightarrow & x = - \frac{5}{7} ou x = 4 \end{array}

Ainsi, l'ensemble des solutions de l'équation $P(x)=7x+5$ est donné par :

S = {- \frac{5}{7}; 4}

4) Calculons $P(-3)\ $ et $\ P\left(\dfrac{2}{5}\right)$

Pour calculer $P(-3)$ nous utilisons la forme développée de $P(x)$, en remplaçant $x$ par $-3.$

Soit $P(x)=7x^{2}-16x-15$ alors, on a :

\begin{array}{rcl} P (- 3) & = & 7 (- 3)^{2} - 16 (- 3) - 15 \\ = & 7 \times 9 + 48 - 15 \\ = & 63 + 48 - 15 \\ = & 96 \end{array}

D'où, $\boxed{P(-3)=96}$

De même manière, pour calculer $P\left(\dfrac{2}{5}\right)$ nous utilisons la forme développée de $P(x)$, en remplaçant $x$ par $\dfrac{2}{5}.$

On a alors :

\begin{array}{rcl} P (\frac{2}{5}) & = & 7 {(\frac{2}{5})}^{2} - 16 (\frac{2}{5}) - 15 \\ = & 7 \times \frac{4}{25} - \frac{32}{5} - 15 \\ = & \frac{28}{25} - \frac{160}{25} - \frac{375}{25} \\ = & - \frac{507}{25} \end{array}

Ainsi, $\boxed{P\left(\dfrac{2}{5}\right)=-\dfrac{507}{25}}$

Exercice 5

On donne : $f(x)=x^{5}-8x^{3}+15x$

1) Calculons $f(\sqrt{3})\ $ et $\ f(-\sqrt{3})$

Pour calculer $f(\sqrt{3})$, on remplace $x$ par $\sqrt{3}$, dans l'expression de $f(x).$

On obtient alors :

\begin{array}{rcl} f (\sqrt{3}) & = & (\sqrt{3})^{5} - 8 (\sqrt{3})^{3} + 15 (\sqrt{3}) \\ = & (\sqrt{3})^{2} (\sqrt{3})^{2} (\sqrt{3}) - 8 (\sqrt{3})^{2} (\sqrt{3}) + 15 (\sqrt{3}) \\ = & 3 \times 3 \times \sqrt{3} - 8 \times 3 \times \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} \\ = & 9 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} \\ = & 0 \end{array}

Donc, $\boxed{f(\sqrt{3})=0}$

On procède de la même manière pour le calcul de $f(-\sqrt{3}).$

Ainsi, on a :

\begin{array}{rcl} f (- \sqrt{3}) & = & (- \sqrt{3})^{5} - 8 (- \sqrt{3})^{3} + 15 (- \sqrt{3}) \\ = & (- \sqrt{3})^{2} (- \sqrt{3})^{2} (- \sqrt{3}) - 8 (- \sqrt{3})^{2} (- \sqrt{3}) + 15 (- \sqrt{3}) \\ = & 3 \times 3 \times (- \sqrt{3}) - 8 \times 3 \times (- \sqrt{3}) - 15 \sqrt{3} \\ = & - 9 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} \\ = & 0 \end{array}

D'où, $\boxed{f(-\sqrt{3})=0}$

2) Factorisons mieux $f(x)$

En effet, d'après le résultat de la question $1\;)$, on a :

f (\sqrt{3}) = 0 et f (- \sqrt{3}) = 0

Ce qui signifie que $\sqrt{3}\ $ et $\ -\sqrt{3}$ sont racines de $f.$

Donc, $f(x)$ est factorisable par $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}).$

Ainsi, il existe un polynôme $Q(x)$ de degré $3$ tel que :

f (x) = (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) \times Q (x)

Comme $f(x)$ est factorisable par $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$ alors, $f(x)$ est divisible par :

(x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) = x^{2} - 3

Par suite, en utilisant la méthode de la division euclidienne, on obtient :

\begin{array}{l} x^{5} - 8 x^{3} + 15 x \\ - x^{5} + 3 x^{3} \\ 0 - 5 x^{3} + 15 x \\ 5 x^{3} - 15 x \\ 0 \end{array} \begin{array}{l} x^{2} - 3 \\ x^{3} - 5 x \end{array}

D'où, $\boxed{Q(x)=x^{3}-5x}$

En factorisant $Q(x)$, on trouve :

\begin{array}{rcl} Q (x) & = & x^{3} - 5 x \\ = & x (x^{2} - 5) \\ = & x (x - \sqrt{5}) (x + \sqrt{5}) \end{array}

Ainsi, $\boxed{Q(x)=x(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})}$

Par conséquent, une factorisation de $f(x)$ est donnée par :

f (x) = x (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) (x - \sqrt{5}) (x + \sqrt{5})

3) Résolvons $f(x)<0$

Considérons le tableau de signes suivant :

\begin{array}{clcccccccccccr} x & - \infty & - \sqrt{5} & - \sqrt{3} & 0 & \sqrt{3} & \sqrt{5} & + \infty \\ x & - & | & - & | & - & 0 & + & | & + & | & + \\ (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) & + & | & + & 0 & - & | & - & 0 & + & | & + \\ (x - \sqrt{5}) (x + \sqrt{5}) & + & 0 & - & | & - & | & - & | & - & 0 & + \\ f (x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}

L'inéquation $f(x)<0$ a donc pour solution :

S =] - \infty; - \sqrt{5} [\cup] - \sqrt{3}; 0 [\cup] \sqrt{3}; \sqrt{5} [

Exercice 6

Soit $f(x)=x^{4}+3x^{3}-5x^{2}-13x+6$

1) Montrons que $-3$ est une racine de $f.$

En effet, remplaçons $x$ par $-3$, dans l'expression de $f(x)$ puis, calculons.

On a alors :

\begin{array}{rcl} f (- 3) & = & (- 3)^{4} + 3 (- 3)^{3} - 5 (- 3)^{2} - 13 (- 3) + 6 \\ = & 81 + 3 \times (- 27) - 5 \times 9 + 39 + 6 \\ = & 81 - 81 - 45 + 45 \\ = & 0 \end{array}

Donc, $\boxed{f(-3)=0}$

Ce qui montre que $-3$ est une racine de $f.$

2) En déduisons une factorisation complète de $f(x)$

Comme $-3$ est une racine de $f$ alors, $f(x)$ est factorisable par $(x+3).$

Par suite, il existe un polynôme $Q(x)$ de degré $3$ vérifiant :

f (x) = (x + 3) \times Q (x)

Déterminons alors le polynôme $Q(x)$ en utilisant la méthode de Hörner.

On a : $deg\;Q(x)=3$ donc, $Q(x)$ est de la forme :

Q (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d avec a \neq 0

Ainsi, considérons le tableau suivant :

\begin{array}{cccccc} Coefficients de f (x) \\ dans l'ordre décroissant & 1 & 3 & - 5 & - 13 & 6 \\ des puissances \\ x_{0} = - 3 & - 3 & 0 & 15 & - 6 \\ Coefficients de Q (x) & 1 & 0 & - 5 & 2 & 0 \\ dans l'ordre décroissant & ↑ & ↑ & ↑ & ↑ & ↑ \\ des puissances & a & b & c & d & f (x_{0}) \end{array}

Explication des étapes de la procédure :

On a : $a=1\ $ et $\ x_{0}=-3$ est une racine de $f(x).$

$\centerdot\ \ $ étape 1 : $a=1$ alors, $-3\times a=-3\times 1=-3$ puis, $-3+3=0$ donc, $b=0$

$\centerdot\ \ $ étape 2 : $b=0$ alors, $-3\times b=-3\times 0=0$ puis, $0-5=-5$ donc, $c=-5$

$\centerdot\ \ $ étape 3 : $c=-5$ alors, $-3\times c=-3\times(-5)=15$ puis, $15-13=2$ donc, $d=2$

$\centerdot\ \ $ étape 4 : $d=2$ alors, $-3\times d=-3\times 2=-6$ puis, $-6+6=0=f(x_{0})=f(-3)$

Donc, les coefficients $a\;,\ b\;,\ c\ $ et $\ d$ de $Q(x)$ sont donnés par :

a = 1, b = 0, c = - 5, d = 2

D'où, $\boxed{Q(x)=x^{3}-5x+2}$

Par suite, on a :

f x) = (x + 3) (x^{3} - 5 x + 2)

Ainsi, pour une factorisation complète de $f(x)$, essayons de factoriser $Q(x).$

Soit $Q(x)=x^{3}-5x+2$ alors, nous constatons que $2$ est une racine évidente de $Q.$

En effet, on a :

\begin{array}{rcl} Q (2) & = & (2)^{3} - 5 \times 2 + 2 \\ = & 8 - 10 + 2 \\ = & 10 - 10 \\ = & 0 \end{array}

Donc, $\boxed{Q(2)=0}$

D'où, $2$ est une racine de $Q.$

Par suite, $Q(x)$ est factorisable par $(x-2).$

Ce qui signifie que $Q(x)$ est divisible par $(x-2).$

Ainsi, il existe un polynôme $P(x)$ tel que :

Q (x) = (x - 2) \times P (x)

En utilisant la méthode de la division euclidienne, on obtient :

\begin{array}{l} x^{3} - 5 x + 2 \\ - x^{3} + 2 x^{2} \\ 0 + 2 x^{2} - 5 x + 2 \\ - 2 x^{2} + 4 x \\ - x + 2 \\ x - 2 \\ 0 \end{array} \begin{array}{l} x - 2 \\ x^{2} + 2 x - 1 \end{array}

D'où, $\boxed{P(x)=x^{2}+2x-1}$

Factorisons $P(x).$

On a : $\Delta=4+4=8$ donc, les racines $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ de $P$ sont données par :

x_{1} = \frac{- 2 - \sqrt{8}}{2} = \frac{- 2 - 2 \sqrt{2}}{2} = - 1 - \sqrt{2}

x_{2} = \frac{- 2 + \sqrt{8}}{2} = \frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{2} = - 1 + \sqrt{2}

Ainsi, $\boxed{P(x)=\left(x+1+\sqrt{2}\right)\left(x+1-\sqrt{2}\right)}$

Par conséquent, une factorisation complète de $f(x)$ est donnée par :

f (x) = (x + 3) (x - 2) (x + 1 + \sqrt{2}) (x + 1 - \sqrt{2})

3) Résolvons dans $\mathbb{R}\;,\ \dfrac{f(x)}{x^{2}-2}<0$

D'après le résultat de la question $2\,)$, on a :

f (x) = (x + 3) (x - 2) (x + 1 + \sqrt{2}) (x + 1 - \sqrt{2})

Par ailleurs, d'après la forme factorisée des identités remarquables, on a :

(x^{2} - 2) = (x + \sqrt{2}) (x - \sqrt{2})

Considérons alors le tableau de signes suivant :

\begin{array}{clcccccccccccccr} x & - \infty & - 3 & - 1 - \sqrt{2} & - \sqrt{2} & - 1 + \sqrt{2} & \sqrt{2} & 2 & + \infty \\ (x + 3) & - & 0 & + & | & + & | & + & | & + & | & + & | & + \\ (x - 2) & - & | & - & | & - & | & - & | & - & | & - & 0 & + \\ (x + 1 + \sqrt{2}) (x + 1 - \sqrt{2}) & + & | & + & 0 & - & | & - & 0 & + & | & + & | & + \\ (x + \sqrt{2}) (x - \sqrt{2}) & + & | & + & | & + & | | & - & | & - & | | & + & | & + \\ \frac{f (x)}{(x^{2} - 2)} & + & 0 & - & 0 & + & | | & - & 0 & + & | | & - & 0 & + \end{array}

D'après le tableau ci-dessus, l'expression $\dfrac{f(x)}{(x^{2}-2)}$ est strictement négative sur l'intervalle $\left]-3\;;\ -1-\sqrt{2}\right[\cup\left]-\sqrt{2}\;;\ -1+\sqrt{2}\right[\cup\left]\sqrt{2}\;;\ 2\right[.$

Par conséquent, l'inéquation $\dfrac{f(x)}{x^{2}-2}<0$ a pour solution :

S =] - 3; - 1 - \sqrt{2} [\cup] - \sqrt{2}; - 1 + \sqrt{2} [\cup] \sqrt{2}; 2 [

Exercice 7

1) a) Trouvons un polynôme $P$ de degré $2$ tel que

P (x) - P (x - 1) = x et P (0) = 0

Soit : $P(x)=ax^{2}+bx+c$ avec $a\neq 0$

On a :

\begin{array}{rcl} P (x) - P (x - 1) & = & a x^{2} + b x + c - [a (x - 1)^{2} + b (x - 1) + c] \\ = & a x^{2} + b x + c - [a x^{2} - 2 a x + a + b x - b + c] \\ = & a x^{2} + b x + c - a x^{2} + 2 a x - a - b x + b - c \\ = & 2 a x - a + b \end{array}

Or, $P(x)-P(x-1)=x$ donc, $2ax-a+b=x$

Ainsi, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes on obtient :

{\begin{array}{rcl} 2 a & = & 1 \\ - a + b & = & 0 \end{array} \Rightarrow {\begin{array}{rcl} a & = & \frac{1}{2} \\ b & = & \frac{1}{2} \end{array}

Par suite, $P(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{2}x+c$

Comme $P(0)=0\ $ alors, $c=0$

D'où, $\boxed{P(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{2}x}$

b) En déduisons une expression de

S = 1 + 2 + 3 + 4 + \dots \dots + 12

Soit : $P(x)-P(x-1)=x$

En appliquant $12$ fois l'égalité $P(x)-P(x-1)=x$ en remplaçant $x$ successivement par $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ldots\ldots\;,\ 12$, on obtient :

{\begin{array}{rcl} P (1) - P (0) & = & 1 \\ P (2) - P (1) & = & 2 \\ P (3) - P (2) & = & 3 \\ \dots \dots \dots & \dots & \dots \\ \dots \dots \dots & \dots & \dots \\ P (12) - P (11) & = & 12 \end{array}

Par addition membre à membre de ces $12$ égalités, on obtient :

$\require{cancel}(\cancel{P(1)}-P(0))+(\cancel{P(2)}-\cancel{P(1)})+(\cancel{P(3)}-\cancel{P(2)})+\ldots+(P(12)-\cancel{P(11)})=1+2+3+\ldots+12$

Puis après simplification, on trouve :

$\boxed{S=1+2+3+4+\ldots\ldots+12=P(12)-P(0)}$

On a :

\begin{array}{rcl} P (12) - P (0) & = & \frac{12^{2}}{2} + \frac{12}{2} \\ = & 72 + 6 \\ = & 78 \end{array}

Par conséquent, $\boxed{S=78}$

2) a) Trouvons un polynôme $P$ de degré $3$ tel que

P (x) - P (x - 1) = x^{2} et P (0) = 0

Soit : $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ avec $a\neq 0$ alors,

\begin{array}{rcl} P (x) - P (x - 1) & = & a x^{3} + b x^{2} + c x + d - [a (x - 1)^{3} + b (x - 1)^{2} + c (x - 1) + d] \\ = & a x^{3} + b x^{2} + c x + d - [a x^{3} - 3 a x^{2} + 3 a x - a + b x^{2} - 2 b x + b + c x - c + d] \\ = & a x^{3} + b x^{2} + c x + d - a x^{3} + 3 a x^{2} - 3 a x + a - b x^{2} + 2 b x - b - c x + c - d \\ = & 3 a x^{2} - 3 a x + a + 2 b x - b + c \\ = & 3 a x^{2} + (2 b - 3 a) x + a - b + c \end{array}

Comme, $P(x)-P(x-1)=x^{2}$ alors, $3ax^{2}+(2b-3a)x+a-b+c=x^{2}$

Ainsi, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes on obtient :

{\begin{array}{rcl} 3 a & = & 1 \\ 2 b - 3 a & = & 0 \\ a - b + c & = & 0 \end{array} \Rightarrow {\begin{array}{rcl} a & = & \frac{1}{3} \\ b & = & \frac{1}{2} \\ c & = & \frac{1}{6} \end{array}

Par suite, $P(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{6}x+d$

$P(0)=0\ \Rightarrow\ d=0$

D'où, $\boxed{P(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{6}x}$

b) En déduisons, en fonction de $n$, une expression de

S_{n} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots \dots + n^{2}

D'après question 2) a) on a : $P(x)-P(x-1)=x^{2}$

En appliquant $n$ fois l'égalité $P(x)-P(x-1)=x^{2}$ en remplaçant $x$ successivement par $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ldots\ldots\;,\ n$, on obtient :

{\begin{array}{rcl} P (1) - P (0) & = & 1^{2} \\ P (2) - P (1) & = & 2^{2} \\ P (3) - P (2) & = & 3^{2} \\ \dots \dots \dots & \dots & \dots \\ \dots \dots \dots & \dots & \dots \\ P (n) - P (n - 1) & = & n^{2} \end{array}

Par addition membre à membre de ces $n$ égalités, on obtient :

$\require{cancel}(\cancel{P(1)}-P(0))+(\cancel{P(2)}-\cancel{P(1)})+(\cancel{P(3)}-\cancel{P(2)})+\ldots+(P(n)-\cancel{P(n-1)})=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}$

En simplifiant, on trouve :

\begin{array}{rcl} 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} & = & P (n) - P (0) \\ = & \frac{1}{3} n^{3} + \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{6} n - 0 \end{array}

D'où, $\boxed{S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\ldots\ldots+n^{2}=\dfrac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}$

Exercice 8

1) Déterminons le polynôme $P$ de degré $3$ vérifiant :

P (x + 1) - P (x) = 3 x^{2} + 3 x et P (0) = 0

Soit : $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ avec $a\neq 0$ alors, on a :

\begin{array}{rcl} P (x + 1) - P (x) & = & a (x + 1)^{3} + b (x + 1)^{2} + c (x + 1) + d - [a x^{3} + b x^{2} + c x + d] \\ = & a (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) + b (x^{2} + 2 x + 1) + c x + c + d - a x^{3} - b x^{2} - c x - d \\ = & a x^{3} + 3 a x^{2} + 3 a x + a + b x^{2} + 2 b x + b + c - a x^{3} - b x^{2} \\ = & 3 a x^{2} + (3 a + 2 b) x + a + b + c \end{array}

Ainsi, $\boxed{P(x+1)-P(x)=3ax^{2}+(3a+2b)x+a+b+c}$

Par ailleurs, comme $P(x+1)-P(x)=3x^{2}+3x$ alors, on a :

3 a x^{2} + (3 a + 2 b) x + a + b + c = 3 x^{2} + 3 x

Ainsi, par identification, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes, on obtient :

{\begin{array}{rcl} 3 a & = & 3 \\ 3 a + 2 b & = & 3 \\ a + b + c & = & 0 \end{array} \Rightarrow {\begin{array}{rcl} a & = & \frac{3}{3} = 1 \\ b & = & \frac{3 - 3}{2} = 0 \\ c & = & - 1 \end{array}

Par suite, $P(x)=x^{3}-x+d$

Or, on sait que $P(0)=0$

Donc, dans l'expression de $P(x)$, en remplaçant $x$ par $0$, on obtient : $d=0$

D'où, $\boxed{P(x)=x^{3}-x}$

2) En déduisons une expression de

S_{n} = 3 \times 2 + 6 \times 3 + \dots \dots + 3 n (n + 1)

en fonction de $n$

En effet, d'après les données de la question $1\,)$, on a :

P (x + 1) - P (x) = 3 x^{2} + 3 x = 3 x (x + 1)

Alors, appliquons $n$ fois l'égalité $P(x+1)-P(x)=3x(x+1).$

Pour cela, remplaçons $x$ successivement par $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ldots\ldots\;,\ n$ dans l'égalité $P(x+1)-P(x)=3x(x+1).$

On obtient :

{\begin{array}{rcl} P (2) - P (1) & = & 3 \times 2 \\ P (3) - P (2) & = & 6 \times 3 \\ P (4) - P (3) & = & 9 \times 4 \\ \dots \dots \dots & \dots & \dots \\ \dots \dots \dots & \dots & \dots \\ P (n + 1) - P (n) & = & 3 n (n + 1) \end{array}

Par suite, en additionnant membre à membre ces $n$ égalités, on obtient :

$\require{cancel}(\cancel{P(2)}-P(1))+(\cancel{P(3)}-\cancel{P(2)})+(\cancel{P(4)}-\cancel{P(3)})+\ldots+(P(n+1)-\cancel{P(n)})=3\times 2+6\times 3+9\times 4+\ldots\ldots+3n(n+1)$

En simplifiant, on trouve :

\begin{array}{rcl} 3 \times 2 + 6 \times 3 + 9 \times 4 + \dots \dots + 3 n (n + 1) & = & P (n + 1) - P (1) \\ = & (n + 1)^{3} - (n + 1) - (1 - 1) \\ = & n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 - n - 1 - 0 \\ = & n^{3} + 3 n^{2} + 2 n \end{array}

D'où, $\boxed{S_{n}=3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+3n(n+1)=n^{3}+3n^{2}+2n}$

3) En déduisons la valeur de

3 \times 2 + 6 \times 3 + \dots \dots + 300 \times 101

Cette somme peut encore être réécrite de la manière suivante :

3 \times 2 + 6 \times 3 + \dots \dots + 300 \times 101 = 3 \times 2 + 6 \times 3 + \dots \dots + 3 \times 100 (100 + 1)

On remarque alors qu'on a effectué une somme des $n=100$ premiers termes.

Autrement dit ; on a additionné les termes jusqu'à $n=100.$

Donc, d'après le résultat de la question $2\,)$, cela revient tout simplement à calculer $S_{100}.$

Ainsi, dans l'expression de $S_{n}$, en remplaçant $n$ par $100$, on obtient :

\begin{array}{rcl} S_{100} & = & 100^{3} + 3 \times 100^{2} + 2 \times 100 \\ = & 1 000 000 + 30 000 + 200 \\ = & 1 030 200 \end{array}

D'où, $\boxed{3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+300\times 101=1\,030\,200}$

Exercice 9

Soit : $P(x)=x^{3}+2x^{2}-5x-6$

On suppose que $P(x)=0$ admet $3$ racines $\alpha\;,\ \beta\ $ et $\ \delta.$

Sans calculer ces racines ; donnons les valeurs de :

α + β + δ; α β δ; α β + α δ + β δ; \frac{1}{α} + \frac{1}{β} + \frac{1}{δ}; α^{2} + β^{2} + δ^{2}

Comme $\alpha\;,\ \beta\ $ et $\ \delta$ sont racines distinctes de $P$ alors, $P(x)$ est factorisable par $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\delta).$

Ainsi, il existe un polynôme $Q$ tel que :

P (x) = (x - α) (x - β) (x - δ) \times Q (x)

$P$ étant de degré $3$ alors le polynôme $Q$ est de degré $0$, d'où : $Q(x)=a$

On a alors :

\begin{array}{rcl} (x - α) (x - β) (x - δ) \times Q (x) & = & (x - α) (x - β) (x - δ) \times a \\ = & (x^{2} - α x - β x + α β) (x - δ) \times a \\ = & a (x^{3} - α x^{2} - β x^{2} + α β x - δ x^{2} + δ α x + δ β x - α β δ) \\ = & a x^{3} - a (α + β + δ) x^{2} + a (α β + δ α + δ β) x - a α β δ) \end{array}

Donc, $P(x)=ax^{3}-a(\alpha+\beta+\delta)x^{2}+a(\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta)x-a\alpha\beta\delta)$

Par suite, $x^{3}+2x^{2}-5x-6=ax^{3}-a(\alpha+\beta+\delta)x^{2}+a(\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta)x-a\alpha\beta\delta)$

Ainsi, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes, on obtient par identification des coefficients :

\begin{array}{rcl} {\begin{array}{rcl} a & = & 1 \\ - a (α + β + δ) & = & 2 \\ a (α β + δ α + δ β) & = & - 5 \\ - a α β δ & = & - 6 \end{array} & \Rightarrow & {\begin{array}{rcl} a & = & 1 \\ α + β + δ & = & - 2 \\ α β + δ α + δ β & = & - 5 \\ α β δ & = & 6 \end{array} \end{array}

D'où, $\boxed{\alpha+\beta+\delta=-2\;;\quad\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta=-5\;;\quad\alpha\beta\delta=6}$

En utilisant ces résultats, on peut écrire :

\begin{array}{rcl} \frac{α β + δ α + δ β}{α β δ} & = & \frac{α β}{α β δ} + \frac{δ α}{α β δ} + \frac{δ β}{α β δ} \\ = & \frac{1}{δ} + \frac{1}{β} + \frac{1}{α} \end{array}

Donc, $\dfrac{1}{\delta}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\alpha}=\dfrac{\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta}{\alpha\beta\delta}=-\dfrac{5}{6}$

D'où, $\boxed{\dfrac{1}{\delta}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\alpha}=-\dfrac{5}{6}}$

Par ailleurs, on a :

\begin{array}{rcl} (α + β + δ)^{2} = (- 2)^{2} & \Leftrightarrow & α^{2} + β^{2} + δ^{2} + 2 α β + 2 α δ + 2 β δ = 4 \\ \Leftrightarrow & α^{2} + β^{2} + δ^{2} + 2 (α β + α δ + β δ) = 4 \\ \Leftrightarrow & α^{2} + β^{2} + δ^{2} + 2 (- 5) = 4 \\ \Leftrightarrow & α^{2} + β^{2} + δ^{2} - 10 = 4 \\ \Leftrightarrow & α^{2} + β^{2} + δ^{2} = 14 \end{array}

D'où, $\boxed{\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}=14}$

Exercice 10

Soit le polynôme $Q$ défini par :

Q (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 18

1) Déterminons $a\ $ et $\ b$ pour que $Q(x)$ soit divisible par $x^{2}-9$

En effet, le polynôme $Q(x)$ est divisible par $x^{2}-9$ si, et seulement si, les racines de $(x^{2}-9)$ sont aussi racines de $Q(x).$

Cherchons alors les racines de $(x^{2}-9).$

D'après la forme factorisée des identités remarquables, on a :

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

Ce qui signifie que $-3\ $ et $\ 3$ sont racines de $(x^{2}-9).$

Par conséquent, ces deux nombres entiers sont aussi racines de $Q(x).$

Donc, $Q(-3)=0\ $ et $\ Q(3)=0$

Ainsi, dans l'expression de $Q(x)$, en remplaçant $x$ par $-3$, on obtient :

\begin{array}{rcl} Q (- 3) = 0 & \Leftrightarrow & (- 3)^{3} + a (- 3)^{2} + b (- 3) + 18 = 0 \\ \Leftrightarrow & - 27 + 9 a - 3 b + 18 = 0 \\ \Leftrightarrow & 9 a - 3 b - 9 = 0 \\ \Leftrightarrow & 3 (3 a - b - 3) = 0 \\ \Leftrightarrow & 3 a - b - 3 = 0 \end{array}

D'où, $\boxed{3a-b-3=0\qquad(1)}$

De la même manière, en remplaçant $x$ par $3$, dans l'expression de $Q(x)$, on obtient :

\begin{array}{rcl} Q (3) = 0 & \Leftrightarrow & 3^{3} + a \times 3^{2} + b \times 3 + 18 = 0 \\ \Leftrightarrow & 27 + 9 a + 3 b + 18 = 0 \\ \Leftrightarrow & 9 a + 3 b + 45 = 0 \\ \Leftrightarrow & 3 (3 a + b + 15) = 0 \\ \Leftrightarrow & 3 a + b + 15 = 0 \end{array}

Donc, $\boxed{3a+b+15=0\qquad(2)}$

Considérons alors le système d'équations à deux inconnues suivant, formé des équations $(1)\ $ et $\ (2)\ :$

{\begin{array}{rcl} 3 a - b - 3 & = & 0 (1) \\ 3 a + b + 15 & = & 0 (2) \end{array}

En résolvant ce système, on trouve alors les coefficients $a\ $ et $\ b.$

En effet, en additionnant, membre à membre, les équations $(1)\ $ et $\ (2)$ du système, on obtient :

\begin{array}{rcl} 3 a - b - 3 + 3 a + b + 15 = 0 & \Leftrightarrow & 6 a + 12 = 0 \\ \Leftrightarrow & 6 a = - 12 \\ \Leftrightarrow & a = - \frac{12}{6} \\ \Leftrightarrow & a = - 2 \end{array}

Donc, $\boxed{a=-2}$

En remplaçant cette valeur de $a$ dans l'équation $(2)$, on trouve :

\begin{array}{rcl} 3 \times (- 2) + b + 15 = 0 & \Leftrightarrow & - 6 + b + 15 = 0 \\ \Leftrightarrow & b + 9 = 0 \\ \Leftrightarrow & b = - 9 \end{array}

Ainsi, $\boxed{b=-9}$

D'où,

Q (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18

2) a) Factorisons $Q(x)$

En effet, comme $Q(x)$ est divisible par $x^{2}-9$ alors, il existe un polynôme $P(x)$ de degré $1$ tel que :

Q (x) = (x^{2} - 9) \times P (x)

Ainsi, par division euclidienne, on obtient :

\begin{array}{l} x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18 \\ - x^{3} + 9 x \\ - 2 x^{2} + 18 \\ 2 x^{2} - 18 \\ 0 \end{array} \begin{array}{l} x^{2} - 9 \\ x - 2 \end{array}

D'où, $\boxed{P(x)=x-2}$

Par conséquent, une factorisation complète de $Q(x)$ est donnée par :

Q (x) = (x - 3) (x + 3) (x - 2)

b) Résolvons $Q(x)=0\ $ et $\ Q(x)>0$

En utilisant la forme factorisée de $Q(x)$, on a :

\begin{array}{rcl} Q (x) = 0 & \Leftrightarrow & (x - 3) (x + 3) (x - 2) = 0 \\ \Leftrightarrow & x - 3 = 0 ou x + 3 = 0 ou x - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 3 ou x = - 3 ou x = 2 \end{array}

D'où, l'ensemble des solutions $S$ est donné par :

S = {- 3; 2; 3}

Résolvons l'inéquation $Q(x)>0$

Pour cela, cherchons le signe de $Q(x)$ en considérant le tableau de signes suivant :

\begin{array}{clcccccccr} x & - \infty & - 3 & 2 & 3 & + \infty \\ (x - 3) (x + 3) & + & 0 & - & | & - & 0 & + \\ (x - 2) & - & | & - & 0 & + & | & + \\ Q (x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}

D'après le tableau, le polynôme $Q(x)$ est strictement positif sur l'intervalle $]-3\;;\ 2[\cup]3\;;\ +\infty[.$

D'où, l'inéquation $Q(x)>0$ a pour solution :

S =] - 3; 2 [\cup] 3; + \infty [

c) Résolvons $Q(x^{2}+3)=0$

Procédons par changement de variable.

Posons :

X = x^{2} + 3

Ainsi, résoudre l'équation $Q(x^{2}+3)=0$ revient tout simplement à résoudre l'équation $Q(X)=0.$

Or, d'après le résultat de la question $2\,)\,b)$, on a $Q(X)=0$ si, et seulement si,

X = 3 ou X = - 3 ou X = 2

Donc, en faisant un retour sur le changement de variable, pour chacun de ces nombres entiers, on obtient :

\begin{array}{rcl} X = 3 & \Leftrightarrow & x^{2} + 3 = 3 \\ \Leftrightarrow & x^{2} = 3 - 3 \\ \Leftrightarrow & x^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 0 \end{array}

D'où, $\boxed{S_{1}=\lbrace 0\rbrace}$

\begin{array}{rcl} X = - 3 & \Leftrightarrow & x^{2} + 3 = - 3 \\ \Leftrightarrow & x^{2} = - 3 - 3 \\ \Leftrightarrow & x^{2} = - 6 \end{array}

Ce qui est impossible, car dans $\mathbb{R}$, un carré n'est jamais négatif.

D'où, $\boxed{S_{2}=\emptyset}$

\begin{array}{rcl} X = 2 & \Leftrightarrow & x^{2} + 3 = 2 \\ \Leftrightarrow & x^{2} = 2 - 3 \\ \Leftrightarrow & x^{2} = - 1 \end{array}

Là encore c'est impossible.

D'où, $\boxed{S_{3}=\emptyset}$

Donc, $0$ est l'unique valeur de $x$ vérifiant $Q(x^{2}+3)=0.$

Par conséquent, l'équation $Q(x^{2}+3)=0$ a pour solution :

S = S_{1} \cup S_{2} \cup S_{3} = {0}

Exercice 11

Soit le polynôme $f(x)$ défini par :

f (x) = a x^{3} + b x - 19 x - 30

1) Déterminons $a\ $ et $\ b$ pour que $f(x)$ soit factorisable par $(x^{2}-3x-10)$

On a : $f(x)$ factorisable par $(x^{2}-3x-10)$ alors, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que :

f (x) = Q (x) \cdot (x^{2} - 3 x - 10)

Par suite, les racines du polynôme $(x^{2}-3x-10)$ sont aussi racines de $f(x).$

Cherchons alors les racines du polynôme $x^{2}-3x-10$

Soit : $\Delta=(-3)^{2}-4\times(-10)\times 1=9+40=49$

On a : $x_{1}=\dfrac{3-7}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\ $ et $\ x_{2}=\dfrac{3+7}{2}=\dfrac{10}{2}=5$

Ainsi, $-2\ $ et $\ 5$ vérifient l'équation $f(x)=0$

Donc, en remplaçant, on obtient :

Extra \left or missing \right

\right.&\Rightarrow&\left\lbrace

\begin{array}{rcl} - 8 a - 2 b + 38 - 30 & = & 0 \\ 125 a + 5 b - 95 - 30 & = & 0 \end{array}

\right.\\&\Rightarrow&\left\lbrace

\begin{array}{rcl} - 8 a - 2 b + 8 & = & 0 \\ 125 a + 5 b - 125 & = & 0 \end{array}

\right.\\&\Rightarrow&\left\lbrace

\begin{array}{rcl} - 4 a - b + 4 & = & 0 (1) \\ 25 a + b - 25 & = & 0 (2) \end{array}

\right.\end{array}$

Résolvons le dernier système obtenu.

Ainsi, en additionnant les équation $(1)\ $ et $\ (2)$ on obtient :

\begin{array}{rcl} (- 4 a - b + 4) + (25 a + b - 25) = 0 & \Rightarrow & 21 a - 21 = 0 \\ \Rightarrow & 21 a = 21 \\ \Rightarrow & a = \frac{21}{21} \\ \Rightarrow & a = 1 \end{array}

En remplaçant la valeur de $a$ dans l'équation $(1)$, on trouve :

\begin{array}{rcl} - 4 \times 1 - b + 4 = 0 & \Rightarrow & - 4 - b + 4 = 0 \\ \Rightarrow & b = 0 \end{array}

D'où, $\boxed{a=1\ \text{ et }\ b=0}$

Par conséquent, $f(x)=x^{3}-19x-30$

2) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f(x)\geq 0$

Comme $f(x)$ est factorisable par $(x^{2}-3x-10)$ alors, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que :

f (x) = Q (x) \cdot (x^{2} - 3 x - 10)

Donc, $f(x)$ divisible par $(x^{2}-3x-10)$

Ainsi, par division euclidienne, on obtient :

\begin{array}{l} x^{3} - 19 x - 30 \\ - x^{3} + 3 x^{2} + 10 x \\ 0 + 3 x^{2} - 9 x - 30 \\ - 3 x^{2} + 9 x + 30 \\ 0 \end{array} \begin{array}{l} x^{2} - 3 x - 10 \\ x + 3 \end{array}

D'où, $\boxed{Q(x)=x+3}$

Ce qui donne finalement :

f (x) = (x + 3) (x^{2} - 3 x - 10)

En utilisant le tableau de signes, on obtient :

\begin{array}{clcccccccr} x & - \infty & - 3 & - 2 & 5 & + \infty \\ (x + 3) & - & 0 & + & | & + & | & + \\ (x^{2} - 3 x - 10) & + & | & + & 0 & - & 0 & + \\ f (x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}

D'où, l'inéquation $f(x)\geq 0$ a pour solution :

S = [- 3; - 2] \cup [5; + \infty [

Exercice 12

Un polynôme $x^{2}+px+q$ divisé par $(x-2)$ a pour reste $3$, divisé par $x$ a pour reste $5.$

Déterminons les coefficients $p\ $ et $\ q$ en divisant successivement le polynôme $x^{2}+px+q$ par $(x-2)$ et par $x.$

Par division euclidienne, on a :

\begin{array}{l} x^{2} + p x + q \\ - x^{2} + 2 x \\ 0 + (p + 2) x + q \\ - (p + 2) x + 2 p + 4 \\ 2 p + 4 + q \end{array} \begin{array}{l} x - 2 \\ x + p + 2 \end{array}

D'où, le reste $R_{1}$ de cette division est donné par :

R_{1} = 2 p + 4 + q

\begin{array}{l} x^{2} + p x + q \\ - x^{2} \\ 0 + p x + q \\ - p x \\ q \end{array} \begin{array}{l} x \\ x + p \end{array}

D'où, le reste $R_{1}$ de cette division est donné par :

R_{2} = q

Par ailleurs, on sait que :

R_{1} = 3 et R_{2} = 5

C'est-à-dire ;

{\begin{array}{rcl} 2 p + 4 + q & = & 3 (1) \\ q & = & 5 (2) \end{array}

Donc, en remplaçant $q$ par sa valeur, dans la relation $(1)$, on obtient :

\begin{array}{rcl} 2 p + 4 + q = 3 & \Rightarrow & 2 p + 4 + 5 = 3 \\ \Rightarrow & 2 p + 9 = 3 \\ \Rightarrow & 2 p = 3 - 9 \\ \Rightarrow & 2 p = - 6 \\ \Rightarrow & p = - \frac{6}{2} \\ \Rightarrow & p = - 3 \end{array}

Ainsi, $\boxed{p=-3\quad\text{et}\quad q=5}$

Par conséquent, ce polynôme est défini par :

x^{2} - 3 x + 5

Exercice 13

Soit le polynôme $P$ défini par $P(x)=x^{3}-x+2m$

1) Cherchons $m$ pour que $P$ soit factorisable par $(x+1)$

$P$ factorisable par $(x+1)$ alors, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que :

f (x) = (x + 1) \times Q (x)

Donc, les racines du polynôme $(x+1)$ sont aussi racines de $P.$

Or, $-1$ annule $(x+1)$ donc, $-1$ est aussi racine de $P(x).$ Ce qui signifie : $P(-1)=0$

On a alors,

\begin{array}{rcl} P (- 1) = 0 & \Rightarrow & (- 1)^{3} - (- 1) + 2 m = 0 \\ \Rightarrow & - 1 + 1 + 2 m = 0 \\ \Rightarrow & 2 m = 0 \\ \Rightarrow & m = 0 \end{array}

Ainsi, $\boxed{m=0}$

Par suite,

P (x) = x^{3} - x

2) Trouvons donc le polynôme $Q$ tel que $P(x)=(x+1)\times Q(x)$

On a : $P(x)=(x+1)\times Q(x)$

Donc, $P(x)$ divisible par $(x+1)$

Ainsi, par division euclidienne, on obtient :

\begin{array}{l} x^{3} - x \\ - x^{3} - x^{2} \\ 0 - x^{2} - x \\ x^{2} + x \\ 0 \end{array} \begin{array}{l} x + 1 \\ x^{2} - x \end{array}

D'où, $\boxed{Q(x)=x^{2}-x=x(x-1)}$

3) Pour $m=0$, résolvons dans $\mathbb{R}$

a) $P(x)=0$

On a :

\begin{array}{rcl} P (x) = 0 & \Leftrightarrow & (x + 1) \times Q (x) \\ \Leftrightarrow & (x + 1) \times x (x - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow & x + 1 = 0 ou x = 0 ou x - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow & x = - 1 ou x = 0 ou x = 1 \end{array}

Par suite, $\boxed{S=\{-1\;;\ 0\;;\ 1\}}$

b) $P(x)\geq 0$

Considérons le tableau de signes suivant :

\begin{array}{clcccccccr} x & - \infty & - 1 & 0 & 1 & + \infty \\ (x + 1) & - & 0 & + & | & + & | & + \\ Q (x) & + & | & + & 0 & - & 0 & + \\ P (x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}

La solution de l'inéquation $P(x)\geq 0$ sera alors donnée par :

S = [- 1; 0] \cup [1; + \infty [

Exercice 14

Soit $P(x)=-2x^{3}+x^{2}+5x+2$

1) Montrons que $(-1)$ est une racine de $P$

Pour cela, calculons $P(-1)$ en remplaçant $x$ par $-1$, dans l'expression de $P(x).$

On obtient alors :

\begin{array}{rcl} P (- 1) & = & - 2 (- 1)^{3} + (- 1)^{2} + 5 (- 1) + 2 \\ = & 2 + 1 - 5 + 2 \\ = & 5 - 5 \\ = & 0 \end{array}

Donc, $\boxed{P(-1)=0}$

Ce qui montre que $-1$ est une racine de $P.$

2) Factorisons $P(x)$ puis résolvons $P(x)=0$

D'après le résultat de la question $1\,)$, on a $-1$ de $P.$

Ce qui signifie que $P(x)$ est factorisable par $(x+1).$

Par conséquent, $P(x)$ est divisible par $(x+1).$

Ainsi, il existe un polynôme $Q(x)$ de degré $2$ vérifiant :

P (x) = (x + 1) \times Q (x)

Déterminons alors $Q(x)$ par division euclidienne.

On a :

\begin{array}{l} - 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2 \\ 2 x^{3} + 2 x^{2} \\ 0 + 3 x^{2} + 5 x + 2 \\ - 3 x^{2} - 3 x \\ 2 x + 2 \\ - 2 x - 2 \\ 0 \end{array} \begin{array}{l} x + 1 \\ - 2 x^{2} + 3 x + 2 \end{array}

D'où, $\boxed{Q(x)=-2x^{2}+3x+2}$

Par conséquent,

P (x) = (x + 1) (- 2 x^{2} + 3 x + 2)

Alors, pour une factorisation complète, factorisons $Q(x).$

Soit :

\begin{array}{rcl} Δ & = & 3^{2} - 4 \times (- 2) \times 2 \\ = & 9 + 16 \\ = & 25 \end{array}

Donc, $\boxed{\Delta=25\;,\quad\sqrt{\Delta}=5}$

Ainsi, $Q$ a deux racines distinctes $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ telles que :

\begin{array}{rcl} x_{1} & = & \frac{- 3 - \sqrt{25}}{2 \times (- 2)} \\ = & \frac{- 3 - 5}{- 4} \\ = & \frac{- 8}{- 4} \\ = & 2 \end{array}

Donc, $\boxed{x_{1}=2}$

\begin{array}{rcl} x_{2} & = & \frac{- 3 + \sqrt{25}}{2 \times (- 2)} \\ = & \frac{- 3 + 5}{- 4} \\ = & \frac{2}{- 4} \\ = & - \frac{1}{2} \end{array}

Donc, $\boxed{x_{2}=-\dfrac{1}{2}}$

Par suite,

Q (x) = - 2 (x - 2) (x + \frac{1}{2})

D'où, une factorisation de $P(x)$ est donnée par :

P (x) = - 2 (x + 1) (x - 2) (x + \frac{1}{2})

Résolvons dans $\mathbb{R}\;,\ P(x)=0$

En effet, en utilisant la forme factorisée de $P(x)$, on a :

\begin{array}{rcl} P (x) = 0 & \Leftrightarrow & - 2 (x + 1) (x - 2) (x + \frac{1}{2}) = 0 \\ \Leftrightarrow & (x + 1) (x - 2) (x + \frac{1}{2}) = 0 \\ \Leftrightarrow & x + 1 = 0 ou x - 2 = 0 ou x + \frac{1}{2} = 0 \\ \Leftrightarrow & x = - 1 ou x = 2 ou x = - \frac{1}{2} \end{array}

D'où, l'ensemble des solutions $S$ est donné par :

S = {- 1; - \frac{1}{2}; 2}

3) Résolvons dans $\mathbb{R}$

- 2 (x^{2} - 1)^{3} + (x^{2} - 1)^{2} + 5 (x^{2} - 1) + 2 = 0

Par analogie à la question $2\,)$, cela revient donc à résoudre l'équation :

P (x^{2} - 1) = 0

Effectuons alors un changement de variable.

Posons :

X = x^{2} - 1

L'équation devient donc :

- 2 X^{3} + X^{2} + 5 X + 2 = 0

Ainsi, résoudre l'équation $P(x^{2}-1)=0$ revient tout simplement à résoudre l'équation $P(X)=0.$

Or, d'après le résultat de la question $2\,))$, on a $P(X)=0$ si, et seulement si,

X = - 1 ou X = - \frac{1}{2} ou X = 2

Donc, en faisant un retour sur le changement de variable, pour chacun de ces nombres réels, on obtient :

\begin{array}{rcl} X = - 1 & \Leftrightarrow & x^{2} - 1 = - 1 \\ \Leftrightarrow & x^{2} = - 1 + 1 \\ \Leftrightarrow & x^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 0 \end{array}

D'où, $\boxed{S_{1}=\lbrace 0\rbrace}$

\begin{array}{rcl} X = - \frac{1}{2} & \Leftrightarrow & x^{2} - 1 = - \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow & x^{2} = - \frac{1}{2} + 1 \\ \Leftrightarrow & x^{2} = \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow & x = \sqrt{\frac{1}{2}} ou x = - \sqrt{\frac{1}{2}} \\ \Leftrightarrow & x = \frac{1}{\sqrt{2}} ou x = - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Leftrightarrow & x = \frac{\sqrt{2}}{2} ou x = - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}

D'où, $\boxed{S_{2}=\left\lbrace -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\;;\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right\rbrace}$

\begin{array}{rcl} X = 2 & \Leftrightarrow & x^{2} - 1 = 2 \\ \Leftrightarrow & x^{2} = 2 + 1 \\ \Leftrightarrow & x^{2} = 3 \\ \Leftrightarrow & x = \sqrt{3} ou x = - \sqrt{3} \end{array}

D'où, $\boxed{S_{3}=\left\lbrace -\sqrt{3}\;;\ \sqrt{3}\right\rbrace}$

Par conséquent, l'équation $P(x^{2}-1)=0$ a pour solution :

S = S_{1} \cup S_{2} \cup S_{3} = {0; - \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}; - \sqrt{3}; \sqrt{3}}

Exercice 15

Déterminons $a\ $ et $\ b$ pour que $x^{5}+ax^{4}+b$ soit divisible par $(x-1)^{2}.$

En effet, $x^{5}+ax^{4}+b$ est divisible par $(x-1)^{2}$ si, et seulement si, les racines de $(x-1)^{2}$ sont aussi racines de $x^{5}+ax^{4}+b.$

De plus, le resta de la division de $x^{5}+ax^{4}+b$ par $(x-1)^{2}$ est égal à $0.$

Comme $1$ est racine de $(x-1)^{2}$ alors, $1$ est aussi racine de $x^{5}+ax^{4}+b.$

Ce qui se traduit par :

1^{5} + a \times 1^{4} + b = 0

D'où, $\boxed{a+b+1=0\qquad(1)}$

Par ailleurs, on a : $(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1$

Donc, par division euclidienne, on obtient :

\begin{array}{l} x^{5} + a x^{4} + b \\ - x^{5} + 2 x^{4} - x^{3} \\ (a + 2) x^{4} - x^{3} + b \\ - (a + 2) x^{4} + (2 a + 4) x^{3} - (a + 2) x^{2} \\ (2 a + 3) x^{3} - (a + 2) x^{2} + b \\ - (2 a + 3) x^{3} + (4 a + 6) x^{2} - (2 a + 3) x \\ (3 a + 4) x^{2} - (2 a + 3) x + b \\ - (3 a + 4) x^{2} + (6 a + 8) x - (3 a + 4) \\ (4 a + 5) x - (3 a + 4) + b \end{array} \begin{array}{l} x^{2} - 2 x + 1 \\ x^{3} + (a + 2) x^{2} + (2 a + 3) x + (3 a + 4) \end{array}

Ainsi, le reste $R(x)$ de la division euclidienne du polynôme $x^{5}+ax^{4}+b$ par $(x-1)^{2}$ est donné par :

R (x) = (4 a + 5) x - (3 a + 4) + b

Alors, $x^{5}+ax^{4}+b$ est divisible par $(x-1)^{2}$ si, et seulement si, le reste $R(x)$ est égal à $0.$

Or, un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls.

Ce qui se traduit par :

R (x) = 0 \Leftrightarrow {\begin{array}{rcl} (4 a + 5) & = & 0 (2) \\ - (3 a + 4) + b & = & 0 (3) \end{array}

En résolvant ce système d'équation à deux inconnues, on trouve $a\ $ et $\ b.$

Considérons l'équation $(2).$

On a :

\begin{array}{rcl} 4 a + 5 = 0 & \Leftrightarrow & 4 a = - 5 \\ \Leftrightarrow & a = - \frac{5}{4} \end{array}

Donc, $\boxed{a=-\dfrac{5}{4}}$

Pour déterminer $b$, remplaçons cette valeur de $a$ dans l'équation $(3).$

On obtient alors :

\begin{array}{rcl} - (3 a + 4) + b = 0 & \Leftrightarrow & b = 3 a + 4 \\ \Leftrightarrow & b = 3 (- \frac{5}{4}) + 4 \\ \Leftrightarrow & b = - \frac{15}{4} + \frac{16}{4} \\ \Leftrightarrow & b = \frac{1}{4} \end{array}

Donc, $\boxed{b=\dfrac{1}{4}}$

Vérification

D'après l'équation $(1)$, on a :

a + b + 1 = 0

En remplaçant les valeurs de $a\ $ et $\ b$ dans l'équation $(1)$, on obtient :

- \frac{5}{4} + \frac{1}{4} + 1 = - \frac{4}{4} + 1 = - 1 + 1 = 0

Ce qui montre que ces valeurs de $a\ $ et $\ b$ vérifient bien l'équation $(1).$

Par conséquent, le polynôme $x^{5}+ax^{4}+b$, divisible par $(x-1)^{2}$, est défini par :

x^{5} - \frac{5}{4} x^{4} + \frac{1}{4}

Exercice 16

1) Déterminons les réels $p\ $ et $\ q$ pour que $x^{4}+px^{2}+q$ soit divisible par $x^{2}-6x+5$

En effet, le polynôme $x^{4}+px^{2}+q$ est divisible par $x^{2}-6x+5$ si, et seulement si, les racines du polynôme $x^{2}-6x+5$ sont aussi racines de $x^{4}+px^{2}+q.$

Cherchons alors les racines du polynôme $x^{2}-6x+5.$

Soit :

\begin{array}{rcl} Δ & = & (- 6)^{2} - 4 \times 1 \times 5 \\ = & 36 - 20 \\ = & 16 \end{array}

Donc, $\boxed{\Delta=16\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=4}$

Ainsi, le polynôme $x^{2}-6x+5$ admet deux racines distinctes ; $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ telles que :

\begin{array}{rcl} x_{1} & = & \frac{- (- 6) - \sqrt{Δ}}{2} \\ = & \frac{6 - 4}{2} \\ = & \frac{2}{2} \\ = & 1 \end{array}

D'où, $\boxed{x_{1}=1}$

\begin{array}{rcl} x_{2} & = & \frac{- (- 6) + \sqrt{Δ}}{2} \\ = & \frac{6 + 4}{2} \\ = & \frac{10}{2} \\ = & 5 \end{array}

D'où, $\boxed{x_{2}=5}$

Par conséquent, $1\ $ et $\ 5$ sont aussi racines du polynôme $x^{4}+px^{2}+q.$

Ce qui signifie que $1\ $ et $\ 5$ annulent ce polynôme.

Ainsi, en remplaçant $x$ par $1$, on obtient :

\begin{array}{rcl} 1^{4} + p \times 1^{2} + q = 0 & \Leftrightarrow & 1 + p + q = 0 \\ \Leftrightarrow & p + q + 1 = 0 \end{array}

D'où, $\boxed{p+q+1=0\qquad(1)}$

De la même manière, en remplaçant $x$ par $5$, on obtient :

\begin{array}{rcl} 5^{4} + p \times 5^{2} + q = 0 & \Leftrightarrow & 625 + p \times 25 + q = 0 \\ \Leftrightarrow & 25 p + q + 625 = 0 \end{array}

Donc, $\boxed{25p+q+625=0\qquad(2)}$

Considérons alors le système d'équations à deux inconnues suivant, formé des équations $(1)\ $ et $\ (2)\ :$

{\begin{array}{rcl} p + q + 1 & = & 0 (1) \\ 25 p + q + 625 & = & 0 (2) \end{array}

En résolvant ce système, on trouve alors les coefficients $p\ $ et $\ q.$

En effet, multiplions d'abord l'équation $(1)$ par $-1.$

Le système devient alors :

{\begin{array}{rcl} - p - q - 1 & = & 0 (3) \\ 25 p + q + 625 & = & 0 (2) \end{array}

Additionnons ensuite, membre à membre, les équations $(3)\ $ et $\ (2)$ du nouveau système.

On obtient :

\begin{array}{rcl} - p - q - 1 + 25 p + q + 625 = 0 & \Leftrightarrow & 24 p + 624 = 0 \\ \Leftrightarrow & 24 p = - 624 \\ \Leftrightarrow & p = - \frac{624}{24} \\ \Leftrightarrow & p = - 26 \end{array}

Donc, $\boxed{p=-26}$

Enfin, en remplaçant cette valeur de $p$ dans l'équation $(1)$, on trouve :

\begin{array}{rcl} - 26 + q + 1 = 0 & \Leftrightarrow & - 25 + q = 0 \\ \Leftrightarrow & q = 25 \end{array}

Ainsi, $\boxed{q=25}$

D'où, le polynôme $x^{4}+px^{2}+q$ divisible par $x^{2}-6x+5$ est défini par :

x^{4} - 26 x^{2} + 25

2) Pour les valeurs de $p\ $ et $\ q$ ainsi trouvées, en déduisons les solutions de l'équation :

x^{4} + p x^{2} + q = 0

D'après le résultat de la question $1\,)$, on a $x^{4}-26x^{2}+25$ divisible par $x^{2}-6x+5.$

Donc, il existe un polynôme $Q(x)$ tel que :

x^{4} - 26 x^{2} + 25 = (x^{2} - 6 x + 5) \times Q (x)

Ainsi, par division euclidienne, on obtient :

\begin{array}{l} x^{4} - 26 x^{2} + 25 \\ - x^{4} + 6 x^{3} - 5 x^{2} \\ 6 x^{3} - 31 x^{2} + 25 \\ - 6 x^{3} + 36 x^{2} - 30 x \\ 5 x^{2} - 30 x + 25 \\ - 5 x^{2} + 30 x - 25 \\ 0 \end{array} \begin{array}{l} x^{2} - 6 x + 5 \\ x^{2} + 6 x + 5 \end{array}

D'où, $\boxed{Q(x)=x^{2}+6x+5}$

Factorisons alors $Q(x).$

On a :

\begin{array}{rcl} Δ & = & 6^{2} - 4 \times 1 \times 5 \\ = & 36 - 20 \\ = & 16 \end{array}

Donc, $\boxed{\Delta=16\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=4}$

Ainsi, le polynôme $Q(x)$ admet deux racines distinctes $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ données par :

\begin{array}{rcl} x_{1} & = & \frac{- 6 - \sqrt{Δ}}{2} \\ = & \frac{- 6 - 4}{2} \\ = & \frac{- 10}{2} \\ = & - 5 \end{array}

D'où, $\boxed{x_{1}=-5}$

\begin{array}{rcl} x_{2} & = & \frac{- 6 + \sqrt{Δ}}{2} \\ = & \frac{- 6 + 4}{2} \\ = & \frac{- 2}{2} \\ = & - 1 \end{array}

D'où, $\boxed{x_{2}=-1}$

Ainsi, la forme factorisée de $Q(x)$ est donnée par :

Q (x) = (x + 1) (x + 5)

Par ailleurs, d'après le résultat de la question $1\,)$, on a $1\ $ et $\ 5$ racines du polynôme $x^{2}-6x+5.$

Donc, sa forme factorisée est donnée par :

x^{2} - 6 x + 5 = (x - 1) (x - 5)

Par conséquent, la forme factorisée du polynôme $x^{4}-26x^{2}+25$ est :

x^{4} - 26 x^{2} + 25 = (x - 1) (x - 5) (x + 1) (x + 5)

Utilisons alors cette forme factorisée pour résoudre l'équation :

x^{4} - 26 x^{2} + 25 = 0

On a :

\begin{array}{rcl} x^{4} - 26 x^{2} + 25 = 0 & \Leftrightarrow & (x - 1) (x - 5) (x + 1) (x + 5) = 0 \\ \Leftrightarrow & x - 1 = 0 ou x - 5 = 0 ou x + 1 = 0 ou x + 5 = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 1 ou x = 5 ou x = - 1 ou x = - 5 \end{array}

D'où, l'ensemble des solutions $S$ est donné par :

S = {- 1; - 5; 1; 5}

Exercice 17

Déterminons l'ensemble de définition de :

f (x) = \frac{2 x + 1}{x^{2} - 4 x}

Rappelons que l'ensemble de définition de $f(x)$ est l'ensemble $D_{f}$ tel que :

D_{f} = {x \in R; (x^{2} - 4 x) \neq 0} = R ∖ S

où, $S$ est l'ensemble des solutions de l'équation $x^{2}-4x=0$

Donc, pour déterminer $D_{f}$ on peut procéder comme suit : déterminer d'abord $S$ puis, faire

D_{f} = R ∖ S

Soit alors :

\begin{array}{rcl} x^{2} - 4 x = 0 & \Leftrightarrow & x (x - 4) = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 0 ou x - 4 = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 0 ou x = 4 \end{array}

Ainsi, l'ensemble des solutions $S$ est donné par :

S = {0; 4}

D'où,

D_{f} = R ∖ {0; 4}

Déterminons l'ensemble de définition de :

g (x) = \frac{x^{2} - 4 x}{x^{2} + 1}

Soit $S$ l'ensemble des solutions de l'équation $x^{2}+1=0.$

Déterminons alors $S.$

On a :

\begin{array}{rcl} x^{2} + 1 = 0 & \Leftrightarrow & x^{2} = - 1 \end{array}

Ce qui est impossible car, dans $\mathbb{R}$, un carré n'est jamais négatif.

Donc, il n'existe pas de réel $x$ vérifiant : $x^{2}+1=0.$

Par conséquent,

S = \emptyset

D'où, l'ensemble de définition de $g(x)$ est donné par :

D_{g} = R ∖ \emptyset = R

Déterminons l'ensemble de définition de :

h (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4 x + 3}

Pour cela, déterminons d'abord l'ensemble $S$ des solutions de l'équation $x^{2}-4x+3=0.$

Soit :

\begin{array}{rcl} Δ & = & (- 4)^{2} - 4 \times 1 \times 3 \\ = & 16 - 12 \\ = & 4 \end{array}

Donc, $\boxed{\Delta=4\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=2}$

Ainsi, l'équation $x^{2}-4x+3=0$ admet deux solutions distinctes $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ telles que :

\begin{array}{rcl} x_{1} & = & \frac{- (- 4) - \sqrt{Δ}}{2} \\ = & \frac{4 - 2}{2} \\ = & \frac{2}{2} \\ = & 1 \end{array}

D'où, $\boxed{x_{1}=1}$

\begin{array}{rcl} x_{2} & = & \frac{- (- 4) + \sqrt{Δ}}{2} \\ = & \frac{4 + 2}{2} \\ = & \frac{6}{2} \\ = & 3 \end{array}

D'où, $\boxed{x_{2}=3}$

Ainsi, l'ensemble $S$ des solutions de l'équation $x^{2}-4x+3=0$ est donné par :

S = {1; 3}

Par conséquent, l'ensemble de définition de $h(x)$ est :

D_{h} = R ∖ {1; 3}

Exercice 18

Soient les polynômes $P\;,\ R\ $ et $\ Q$ définis par :

P (x) : 2 x^{3} + a x^{2} + x + 2

R (x) : c x^{3} + b x^{2} + d x - 3

Q (x) : (2 x + 1) (x + 3) - (4 x + 1) (b - x)

1) a) Trouvons le réel $a$ pour que $2$ soit racine de $P.$

En effet, $2$ est racine de $P$ si, et seulement si, $2$ annule $P(x)$ ; c'est-à-dire, $P(2)=0.$

Donc, dans l'expression de $P(x)$, remplaçons $x$ par $2$ puis, calculons $P(2)=0.$

On a :

\begin{array}{rcl} P (2) = 0 & \Leftrightarrow & 2 \times 2^{3} + a \times 2^{2} + 2 + 2 = 0 \\ \Leftrightarrow & 2 \times 8 + a \times 4 + 4 = 0 \\ \Leftrightarrow & 16 + 4 a + 4 = 0 \\ \Leftrightarrow & 4 a + 20 = 0 \\ \Leftrightarrow & 4 a = - 20 \\ \Leftrightarrow & a = - \frac{20}{4} \\ \Leftrightarrow & a = - 5 \end{array}

D'où, $\boxed{a=-5}$

Par conséquent,

P (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + x + 2

b) En déduisons la factorisation complète de $P(x)$

D'après le résultat de la question $1\,)\,a)$, on a $2$ racine de $P.$

Cela signifie que $P(x)$ est divisible par $(x-2).$

Donc, il existe un polynôme $A(x)$ de degré $2$ tel que :

P (x) = (x - 2) \times A (x)

Ainsi, par division euclidienne, on a :

\begin{array}{l} 2 x^{3} - 5 x^{2} + x + 2 \\ - 2 x^{3} + 4 x^{2} \\ - x^{2} + x + 2 \\ x^{2} - 2 x + 2 \\ - x + 2 \\ x - 2 \\ 0 \end{array} \begin{array}{l} x - 2 \\ 2 x^{2} - x - 1 \end{array}

D'où, $\boxed{A(x)=2x^{2}-x-1}$

Donc, on a :

P (x) = (x - 2) \times (2 x^{2} - x - 1)

Par suite, pour une factorisation complète de $P(x)$, nous allons essayer de factoriser $A(x).$

On a :

\begin{array}{rcl} Δ & = & (- 1)^{2} - 4 \times 2 \times (- 1) \\ = & 1 + 8 \\ = & 9 \end{array}

Donc, $\boxed{\Delta=9\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=3}$

Ainsi, le polynôme $A(x)$ admet deux racines distinctes $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ définies par :

\begin{array}{rcl} x_{1} & = & \frac{- (- 1) - \sqrt{Δ}}{2 \times 2} \\ = & \frac{1 - 3}{4} \\ = & \frac{- 2}{4} \\ = & - \frac{1}{2} \end{array}

D'où, $\boxed{x_{1}=-\dfrac{1}{2}}$

\begin{array}{rcl} x_{2} & = & \frac{- (- 1) + \sqrt{Δ}}{2 \times 2} \\ = & \frac{1 + 3}{4} \\ = & \frac{4}{4} \\ = & 1 \end{array}

D'où, $\boxed{x_{2}=1}$

Ainsi, la forme factorisée de $A(x)$ est donnée par :

A (x) = 2 (x - 1) (x + \frac{1}{2})

Par conséquent, la factorisation complète de $P(x)$ est donnée par :

P (x) = 2 (x - 2) (x - 1) (x + \frac{1}{2})

2) Trouvons les réels $b\;,\ c\ $ et $\ d$ pour que $R(x)\ $ et $\ Q(x)$ soient égaux.

En effet, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes, on a $R(x)=Q(x)$ si, et seulement si, les monômes de même degré semblable à $R(x)\ $ et $\ Q(x)$ ont même coefficient.

Soit : $R(x)=cx^{3}+bx^{2}+dx-3\ $ et $\ Q(x)=(2x+1)(x+3)-(4x+1)(b-x).$

Donnons d'abord la forme développée de $Qx).$

On a :

\begin{array}{rcl} Q (x) & = & (2 x + 1) (x + 3) - (4 x + 1) (b - x) \\ = & (2 x^{2} + 6 x + x + 3) - (4 b x - 4 x^{2} + b - x) \\ = & 2 x^{2} + 7 x + 3 - [- 4 x^{2} + (4 b - 1) x + b] \\ = & 2 x^{2} + 7 x + 3 + 4 x^{2} - (4 b - 1) x - b \\ = & 6 x^{2} + [7 - (4 b - 1)] x - b + 3 \\ = & 6 x^{2} + (7 - 4 b + 1) x - b + 3 \\ = & 6 x^{2} + (8 - 4 b) x - b + 3 \end{array}

Donc, $\boxed{Q(x)=6x^{2}+(8-4b)x-b+3}$

Par suite, en appliquant la propriété d'égalité de deux polynômes, on obtient :

Extra \left or missing \right

\right.\\&\Leftrightarrow&\left\lbrace

\begin{array}{rcl} c & = & 0 \\ b & = & 6 \\ d & = & 8 - 4 \times 6 \end{array}

\right.\\&\Leftrightarrow&\left\lbrace

\begin{array}{rcl} c & = & 0 \\ b & = & 6 \\ d & = & 8 - 24 \end{array}

\right.\\&\Leftrightarrow&\left\lbrace

\begin{array}{rcl} c & = & 0 \\ b & = & 6 \\ d & = & - 16 \end{array}

\right.\end{array}$

D'où, $\boxed{b=6\;;\ c=0\;;\ d=-16}$

3) Soit la fraction rationnelle $T$ définie par :

T (x) = \frac{2 x^{3} - 5 x^{2} + x + 2}{- 2 x^{2} + 8 x - 8}

a) Déterminons l'ensemble de définition de $T(x)$

Soit $D_{T}$ l'ensemble de définition de $T(x).$

Alors, par définition, on a :

D_{T} = R ∖ S

où, $S$ est l'ensemble des solutions de l'équation $-2x^{2}+8x-8=0.$

Déterminons alors $S$ en résolvant l'équation $-2x^{2}+8x-8=0.$

On a :

\begin{array}{rcl} - 2 x^{2} + 8 x - 8 = 0 & \Leftrightarrow & - 2 (x^{2} - 4 x + 4) = 0 \\ \Leftrightarrow & x^{2} - 4 x + 4 = 0 \\ \Leftrightarrow & (x - 2)^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow & x - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 2 \end{array}

Ainsi, l'ensemble $S$ des solutions de l'équation $-2x^{2}+8x-8=0$ est donné par :

S = {2}

Par conséquent, l'ensemble de définition de $T(x)$ est :

D_{T} = R ∖ {2}

b) Simplifions $T(x)$

En effet, dans l'expression de $T(x)$, nous pouvons remarquer que le numérateur est égal $P(x).$

Donc, en considérant la forme factorisée de $P(x)$, on a :

T (x) = \frac{2 (x - 2) (x - 1) (x + \frac{1}{2})}{- 2 x^{2} + 8 x - 8}

Par ailleurs, concernant le dénominateur de $T(x)$, on peut écrire :

\begin{array}{rcl} - 2 x^{2} + 8 x - 8 & = & - 2 (x^{2} - 4 x + 4) \\ = & - 2 (x - 2)^{2} \end{array}

Donc, $\boxed{-2x^{2}+8x-8=-2(x-2)^{2}}$

Ainsi, en remplaçant $-2x^{2}+8x-8$ par sa forme factorisée, dans l'expression de $T(x)$, on obtient :

\begin{array}{rcl} T (x) & = & \frac{2 (x - 2) (x - 1) (x + \frac{1}{2})}{- 2 (x - 2)^{2}} \\ = & \frac{(x - 1) (x + \frac{1}{2})}{- (x - 2)} \\ = & - \frac{(x - 1) (x + \frac{1}{2})}{x - 2} \end{array}

D'où, $\boxed{T(x)=-\dfrac{(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{x-2}}$

c) Résolvons alors l'équation $T(x)=0$ et l'inéquation $T(x)<0$

Soit à résoudre l'équation $T(x)=0.$

Considérons alors la forme simplifiée de $T(x).$

On a :

\begin{array}{rcl} T (x) = 0 & \Leftrightarrow & - \frac{(x - 1) (x + \frac{1}{2})}{x - 2} = 0 \\ \Leftrightarrow & - (x - 1) (x + \frac{1}{2}) = 0 \\ \Leftrightarrow & (x - 1) (x + \frac{1}{2}) = 0 \\ \Leftrightarrow & x - 1 = 0 ou x + \frac{1}{2} = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 1 ou x = - \frac{1}{2} \end{array}

D'où, l'ensemble $S$ des solutions de l'équation $T(x)=0$ est donné par :

S = {- \frac{1}{2}; 1}

Résolvons l'inéquation $T(x)<0.$

Là encore, nous allons considérer la forme simplifiée de $T(x).$

Donc,

T (x) < 0 \Leftrightarrow - \frac{(x - 1) (x + \frac{1}{2})}{x - 2} < 0

Cherchons le signe de $T(x)$ en considérant le tableau de signes suivant :

\begin{array}{clcccccccr} x & - \infty & - \frac{1}{2} & 1 & 2 & + \infty \\ (- 1) & - & | & - & | & - & | & - \\ (x - 1) (x + \frac{1}{2}) & + & 0 & - & 0 & + & | & + \\ (x - 2) & - & | & - & | & - & 0 & + \\ T (x) & + & 0 & - & 0 & + & ‖ & - \end{array}

D'après le tableau, $T(x)$ est strictement négatif sur l'intervalle $]-3\;;\ 2[\cup]3\;;\ +\infty[.$

D'où, l'inéquation $T(x)<0$ a pour solution :

S =] - \frac{1}{2}; 1 [\cup] 2; + \infty [

Exercice 19

Soit $f(x)=\dfrac{x^{3}+4x^{2}+5x+3}{x^{2}+3x+2}$

1) Déterminons $D_{f}$

Par définition, on a :

D_{f} = R ∖ S

où, $S$ est l'ensemble des solutions de l'équation $x^{2}+3x+2=0.$

Déterminons alors $S$ en résolvant l'équation $x^{2}+3x+2=0.$

Soit :

\begin{array}{rcl} Δ & = & 3^{2} - 4 \times 2 \times 1 \\ = & 9 - 8 \\ = & 1 \end{array}

Donc, $\boxed{\Delta=1\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=1}$

Ainsi, l'équation $x^{2}+3x+2=0$ admet deux solutions distinctes $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ données par :

\begin{array}{rcl} x_{1} & = & \frac{- 3 - \sqrt{Δ}}{2 \times 1} \\ = & \frac{- 3 - 1}{2} \\ = & \frac{- 4}{2} \\ = & - 2 \end{array}

D'où, $\boxed{x_{1}=-2}$

\begin{array}{rcl} x_{2} & = & \frac{- 3 + \sqrt{Δ}}{2 \times 1} \\ = & \frac{- 3 + 1}{2} \\ = & \frac{- 2}{2} \\ = & - 1 \end{array}

D'où, $\boxed{x_{2}=-1}$

Par suite, l'ensemble $S$ des solutions de l'équation $x^{2}+3x+2=0$ est donné par :

S = {- 2; - 1}

Par conséquent, l'ensemble de définition de $f(x)$ est :

D_{f} = R ∖ {- 2; - 1}

2) Montrons qu'il existe quatre réels $a\;,\ b\;,\ c\ $ et $\ d$ tels que :

f (x) = a x + b + \frac{c}{x + 1} + \frac{d}{x + 2}

En effet, dans le numérateur de $f(x)$, en remplaçant $x$ par $-1$, on trouve $1.$

(- 1)^{3} + 4 (- 1)^{2} + 5 (- 1) + 3 = - 1 + 4 - 5 + 3 = 1

Cela signifie que $-1$ n'est pas racine de ce polynôme et par conséquent, $x^{3}+4x^{2}+5x+3$ n'est pas divisible par $x^{2}+3x+2.$

Donc, il existe deux polynômes $Q(x)\ $ et $\ R(x)$ tels que :

x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3 = (x^{2} + 3 x + 2) \times Q (x) + R (x)

Par suite,

f (x) = Q (x) + \frac{R (x)}{x^{2} + 3 x + 2}

Par division euclidienne, déterminons alors $Q(x)\ $ et $R\ (x).$

On a :

\begin{array}{l} x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3 \\ - x^{3} - 3 x^{2} - 2 x \\ x^{2} + 3 x + 3 \\ - x^{2} - 3 x - 2 \\ 1 \end{array} \begin{array}{l} x^{2} + 3 x + 2 \\ x + 1 \end{array}

D'où, $\boxed{Q(x)=x+1\quad\text{et}\quad R(x)=1}$

Ainsi, $\boxed{a=1\quad\text{et}\quad b=1}$

Trouvons $c\ $ et $\ d.$

En effet, $-1\ $ et $\ -2$ étant les racines du polynôme $x^{2}+3x+2$ alors, par factorisation, on a :

x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)

Donc,

f (x) = x + 1 + \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}

Par suite,

\begin{array}{rcl} f (x) = x + 1 + \frac{c}{x + 1} + \frac{d}{x + 2} & \Leftrightarrow & x + 1 + \frac{c}{x + 1} + \frac{d}{x + 2} = x + 1 + \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} \\ \Leftrightarrow & \frac{c}{x + 1} + \frac{d}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} \\ \Leftrightarrow & \frac{c (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{d (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} \\ \Leftrightarrow & \frac{c x + 2 c + d x + d}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} \\ \Leftrightarrow & c x + 2 c + d x + d = 1 \\ \Leftrightarrow & (c + d) x + 2 c + d = 1 \\ \Leftrightarrow & (c + d) x + 2 c + d - 1 = 0 \end{array}

Donc, $\boxed{(c+d)x+2c+d-1=0}$

Or, on sait que un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls.

Ainsi, on obtient le système d'équations suivant :

{\begin{array}{rcl} c + d & = & 0 (1) \\ 2 c + d - 1 & = & 0 (2) \end{array}

En résolvant ce système, on trouve les valeurs de $c\ $ et $\ d.$

Alors, en multipliant l'équation $(1)$ par $-1$, on obtient :

{\begin{array}{rcl} - c - d & = & 0 (3) \\ 2 c + d - 1 & = & 0 (2) \end{array}

En additionnant, membre à membre, les équations $(3)\ $ et $\ (2)$, on trouve :

\begin{array}{rcl} - c - d + 2 c + d - 1 = 0 & \Leftrightarrow & c - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow & c = 1 \end{array}

D'où, $\boxed{c=1}$

En remplaçant cette valeur de $c$ dans l'équation $(1)$, on obtient :

\begin{array}{rcl} 1 + d = 0 & \Leftrightarrow & d = - 1 \end{array}

D'où, $\boxed{d=-1}$

Par conséquent,

f (x) = x + 1 + \frac{1}{(x + 1)} - \frac{1}{(x + 2)}

Exercice 20

1) Déterminons $a\ $ et $\ b$ pour que :

\frac{1}{x (x + 1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x + 1}

On a :

\begin{array}{rcl} \frac{1}{x (x + 1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x + 1} & \Leftrightarrow & \frac{1}{x (x + 1)} = \frac{a (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{b x}{x (x + 1)} \\ \Leftrightarrow & \frac{1}{x (x + 1)} = \frac{a (x + 1) + b x}{x (x + 1)} \\ \Leftrightarrow & \frac{1}{x (x + 1)} = \frac{a x + a + b x}{x (x + 1)} \\ \Leftrightarrow & a x + b x + a = 1 \\ \Leftrightarrow & (a + b) x + a = 1 \\ \Leftrightarrow & (a + b) x + a - 1 = 0 \end{array}

Donc, $\boxed{(a+b)x+a-1=0}$

Or, on sait que un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls.

Ce qui se traduit par :

{\begin{array}{rcl} a + b & = & 0 (1) \\ a - 1 & = & 0 (2) \end{array}

En résolvant ce système, on trouve les valeurs de $a\ $ et $\ b.$

D'après l'équation $(2)$, on trouve : $\boxed{a=1}$

En remplaçant cette de $a$, dans l'équation $(1)$, on trouve : $\boxed{b=-1}$

D'où,

\frac{1}{x (x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}

En déduire la valeur de

\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \dots \dots + \frac{1}{99 \times 100}

En effet, d'après le résultat qui précède, on a :

\frac{1}{x (x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}

Alors, appliquons $99$ fois l'égalité $\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}.$

Pour cela, remplaçons $x$ successivement par $1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ldots\ldots\;,\ 99$ dans l'égalité $\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}.$

On obtient :

{\begin{array}{rcl} \frac{1}{1 \times 2} & = & \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2 \times 3} & = & \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3 \times 4} & = & \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4 \times 5} & = & \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \\ \dots & \dots & \dots \dots \\ \dots & \dots & \dots \dots \\ \frac{1}{99 \times 100} & = & \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \end{array}

Par suite, en additionnant membre à membre ces $99$ égalités, on obtient :

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\ldots\ldots+\dfrac{1}{99\times 100}=\require{cancel}\left(\dfrac{1}{1}-\cancel{\dfrac{1}{2}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{2}}-\cancel{\dfrac{1}{3}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{3}}-\cancel{\dfrac{1}{4}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{4}}-\cancel{\dfrac{1}{5}}\right)\ldots+\left(\cancel{\dfrac{1}{99}}-\dfrac{1}{100}\right)$

En simplifiant, on trouve :