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Solution des exercices : Les polynômes - 2nd

Classe:

Seconde

Exercice 1

Soient les fonctions suivantes :

$f(x)=|-3x^{2}+5x-7|$

Soit :

$P(x)=-3x^{2}+5x-7.$ On a :

$\Delta=25-84=-59$

Comme

$\Delta <0$ alors,

$P(x)$ est toujours du signe de

$(-3)$ donc, négatif.

D'où,

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&|-3x^{2}+5x-7|\\\\&=&-(-3x^{2}+5x-7)\\\\&=&3x^{2}-5x+7\end{array}$

Par suite,

$f(x)=3x^{2}-5x+7$ pour tout

$x\in\mathbb{R}$

Ce qui montre que la fonction

$f$ définie par

$f(x)=|-3x^{2}+5x-7|$ est un polynôme

$f(x)=|2x^{2}-3x+1|$

Soit :

$Q(x)=2x^{2}-3x+1.$ Alors,

$\Delta=9-8=1$

Comme

$\Delta>0$ alors, on a deux racines distinctes :

$x_{1}=\dfrac{3-1}{4}=\dfrac{1}{2}\quad\text{et}\quad x_{2}=\dfrac{3+1}{4}=1$

Ainsi,

$Q(x)$ est positif à l'extérieur des racines, et négatif à l'intérieur des racines.

Par suite :

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x^{2}-3x+1&\text{si}&x\in\left]-\infty\;;\ \dfrac{1}{2}\right]\cup[1\;;\ +\infty[\\\\-2x^{2}+3x-1&\text{si}&x\in\left[\dfrac{1}{2}\;;\ 1\right]\end{array}\right.$

On remarque que les coefficients de

$f(x)$ ne sont pas constants, ils changent selon l'intervalle d'appartenance de

$x.$

Par conséquent, la fonction

$f$ définie par

$f(x)=|2x^{2}-3x+1|$ n'est pas un polynôme.

$f(x)=\sqrt{x^{2}+1}$

$f(x)$ n'est pas un polynôme car

$\sqrt{x^{2}+1}$ ne peut pas se mettre sous la forme

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\ \text{ avec }\ a_{n}\neq 0\ \text{ et }\ n\in\mathbb{N}$

$f(x)=\sqrt{(x^{2}-2x+1)^{2}}$

On a :

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&\sqrt{(x^{2}-2x+1)^{2}}\\\\&=&|x^{2}-2x+1|\end{array}$

Posons :

$R(x)=x^{2}-2x+1.$ Soit alors,

$\Delta=4-4=0$

Comme

$\Delta=0$ alors,

$R(x)$ est du signe de

$(1)$ donc, positif.

D'où,

$|x^{2}-2x+1|=x^{2}-2x+1$

Par suite,

$f(x)=x^{2}-2x+1$ pour tout

$x\in\mathbb{R}$

Par conséquent, la fonction

$f$ définie par

$f(x)=\sqrt{(x^{2}-2x+1)^{2}}$ est un polynôme.

$f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}$

On a :

$f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}$

Donc, après simplification, on obtient :

$f(x)=x+1$ qui définit bien une fonction polynôme.

Par conséquent, la fonction

$f$ définie par

$f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}$ est un polynôme.

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants vérifions que

$\alpha$ est racine de

$f$ puis, déterminons

$Q(x)$ tel que

$f(x)=(x-\alpha)Q(x)$

$f(x)=2x^{3}-7x^{2}-17x+10\;,\quad\alpha=-2$

Soit :

$\begin{array}{rcl} f(\alpha)&=&2\alpha^{3}-7\alpha^{2}-17\alpha+10\\\\&=&2\times(-2)^{3}-7\times(-2)^{2}-17\times (-2)+10\\\\&=&2\times(-8)-7\times 4+34+10\\\\&=&-16-28+44\\\\&=&0\end{array}$

Donc,

$\boxed{f(-2)=0}$ d'où,

$\alpha=-2$ est racine de

$f$

Par suite, il existe un polynôme

$Q(x)$ tel que

$f(x)=(x+2)Q(x)$ avec

$deg\,Q=2$

On a :

$f(x)$ divisible par

$(x+2)$ donc, par division euclidienne, on obtient :

$\begin{array}{l} \ \ 2x^{3}-7x^{2}-17x+10 \\ -2x^{3}-4x^{2} \\ \hline \quad 0-11x^{2}-17x+10 \\ \qquad\ \ 11x^{2}+22x \\ \hline\qquad\qquad\ 0+5x+10\\ \qquad\qquad\quad\ -5x-10 \\ \hline\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x+2 \\ \hline 2x^{2}-11x+5 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\\end{array}$

D'où,

$\boxed{Q(x)=2x^{2}-11x+5}$

$f(x)=2x^{2}-(1+2\sqrt{3})x-1-\sqrt{3}\;,\quad\alpha=-\dfrac{1}{2}$

On a :

$\begin{array}{rcl} f(\alpha)&=&2\alpha^{2}-(1+2\sqrt{3})\alpha-1-\sqrt{3}\\\\&=&2\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-(1+2\sqrt{3})\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)-1-\sqrt{3}\\\\&=&\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\sqrt{3}-1-\sqrt{3}\\\\&=&1-1\\\\&=&0\end{array}$

Donc,

$\boxed{f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0}$ ainsi,

$\alpha=-\dfrac{1}{2}$ est racine de

$f$

Par suite, il existe un polynôme

$Q(x)$ tel que

$f(x)=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)Q(x)$ avec

$deg\,Q=1$

$Q(x)$ est alors de la forme :

$Q(x)=ax+b$ avec

$a\neq 0$

On a :

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&\left(x+\dfrac{1}{2}\right)Q(x)\\\\&=&\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(ax+b)\\\\&=&ax^{2}+\dfrac{a}{2}x+bx+\dfrac{b}{2}\\\\&=&ax^{2}+\left(\dfrac{a}{2}+b\right)x+\dfrac{b}{2}\end{array}$

Donc,

$2x^{2}-(1+2\sqrt{3})x-1-\sqrt{3}=ax^{2}+\left(\dfrac{a}{2}+b\right)x+\dfrac{b}{2}$

D'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes on a :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&2 \\\\ \left(\dfrac{a}{2}+b\right)&=&-(1+2\sqrt{3}) \\\\\dfrac{b}{2}&=&-1-\sqrt{3} \end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&2 \\ b&=&-2-2\sqrt{3} \end{array}\right.$

D'où,

$\boxed{Q(x)=2x-2-2\sqrt{3}=2(x-1-\sqrt{3})}$

$f(x)=4x^{3}+x^{2}-11x+6\;,\quad\alpha=1\;;\ \alpha=-2$

Soit :

$\begin{array}{rcl} f(1)&=&4\times(1)^{3}+(1)^{2}-11\times (1)+6\\\\&=&4+1-11+6\\\\&=&0\end{array}$

Donc,

$\boxed{f(1)=0}$ d'où,

$\alpha=1$ est racine de

$f$

Aussi,

$\begin{array}{rcl} f(-2)&=&4\times(-2)^{3}+(-2)^{2}-11\times (-2)+6\\\\&=&-32+4+22+6\\\\&=&0\end{array}$

Donc,

$\boxed{f(-2)=0}$ d'où,

$\alpha=-2$ est racine de

$f$

Par suite, il existe un polynôme

$Q(x)$ tel que

$f(x)=(x-1)(x+2)Q(x)$ avec

$deg\,Q=1$

Soit alors

$f(x)$ divisible par

$(x-1)(x+2)=x^{2}+x-2$ donc, par division euclidienne, on obtient :

$\begin{array}{l} \ \ 4x^{3}+x^{2}-11x+6 \\ -4x^{3}-4x^{2}+8x \\ \hline \quad 0-3x^{2}-3x+6 \\ \qquad\ \ 3x^{2}+3x-6 \\ \hline\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}+x-2 \\ \hline 4x-3 \\ \\ \\ \\ \end{array}$

D'où,

$\boxed{Q(x)=4x-3}$

Exercice 3

Dans chacun des cas suivants essayons de voir si

$f(x)$ est factorisable par

$g(x).$

Et si tel est le cas ; nous allons déterminer une factorisation de

$f(x).$

En effet,

$f(x)$ est factorisable par

$g(x)$ si, et seulement si, les racines de

$g$ sont aussi racines de

$f.$

En conséquent, si une racine de

$g$ n'est pas racine de

$f$ alors,

$f(x)$ ne sera pas factorisable par

$g(x).$

Donc, dans cet exercice, nous allons d'abord chercher les racines de

$g$ et ensuite, vérifier si elles sont aussi racines de

$f$ pour enfin conclure sur la factorisation

$f(x)$ par

$g(x).$

1) Soient

$f(x)=2x^{3}-3x^{2}-11x+6\$ et

$\ g(x)=2x-1.$

Cherchons alors les racines de

$g$ en résolvant l'équation

$g(x)=0.$

On a :

$\begin{array}{rcl}g(x)=0&\Leftrightarrow&2x-1=0\\\\&\Leftrightarrow&2x=1\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{1}{2}\end{array}$

Ainsi,

$\dfrac{1}{2}$ est racine de

$g.$

C'est-à-dire ;

$\boxed{g\left(\dfrac{1}{2}\right)=0}$

Vérifions ensuite si

$\dfrac{1}{2}$ est aussi racine de

$f.$

Pour cela, on va calculer

$f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ en remplaçant

$x$ par

$\dfrac{1}{2}$ , dans l'expression de

$f(x).$

On obtient :

$\begin{array}{rcl}f\left(\dfrac{1}{2}\right)&=&2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}-3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}-11\left(\dfrac{1}{2}\right)+6\\\\&=&2\left(\dfrac{1}{8}\right)-3\left(\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{11}{2}+6\\\\&=&\dfrac{2}{8}-\dfrac{3}{4}-\dfrac{11}{2}+6\\\\&=&\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4}-\dfrac{11}{2}+6\\\\&=&-\dfrac{2}{4}-\dfrac{11}{2}+6\\\\&=&-\dfrac{1}{2}-\dfrac{11}{2}+6\\\\&=&-\dfrac{12}{2}+6\\\\&=&-6+6\\\\&=&0\end{array}$

D'où,

$\boxed{f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0}$

Ainsi,

$\dfrac{1}{2}$ est aussi une racine de

$f.$

Par conséquent,

$f(x)$ est factorisable par

$g(x).$

Par suite, il existe un polynôme

$Q(x)$ tel que

$f(x)=g(x)\times Q(x)$ avec

$deg\,Q=2$

Comme

$f(x)$ est factorisable par

$g(x)$ alors,

$f(x)$ est divisible par

$(2x-1).$

Ainsi, par division euclidienne, on a :

$\begin{array}{l} \ \ 2x^{3}-3x^{2}-11x+6 \\ -2x^{3}+x^{2} \\ \hline \quad 0-2x^{2}-11x+6 \\ \qquad\ \ 2x^{2}-x \\ \hline\qquad\qquad\ 0-12x+6\\ \qquad\qquad\quad\quad 12x-6 \\ \hline\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} 2x-1 \\ \hline x^{2}-x-6 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\\end{array}$

D'où,

$\boxed{Q(x)=x^{2}-x-6}$

Par conséquent,

$\boxed{f(x)=(2x-1)(x^{2}-x-6)}$

Pour une factorisation complète de

$f(x)$ , nous allons essayer de voir si

$Q(x)$ est factorisable.

Soit :

$Q(x)=x^{2}-x-6.$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl}\Delta&=&(-1)^{2}-4\times(-6)\\\\&=&1+24\\\\&=&25\end{array}$

Donc,

$\boxed{\Delta=25\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=5}$

Ainsi, les racines

$x_{1}\$ et

$\ x_{2}$ de

$Q(x)$ sont données par :

$\begin{array}{rcl}x_{1}&=&\dfrac{-(-1)+\sqrt{25}}{2\times 1}\\\\&=&\dfrac{1+5}{2}\\\\&=&\dfrac{6}{2}\\\\&=&3\end{array}$

Donc,

$\boxed{x_{1}=3}$

$\begin{array}{rcl}x_{2}&=&\dfrac{-(-1)-\sqrt{25}}{2\times 1}\\\\&=&\dfrac{1-5}{2}\\\\&=&\dfrac{-4}{2}\\\\&=&-2\end{array}$

Donc,

$\boxed{x_{2}=-2}$

Ainsi,

$Q(x)=(x-3)(x+2)$

D'où, une factorisation complète de

$f(x)$ est donnée par :

$\boxed{f(x)=(2x-1)(x-3)(x+2)}$

2) Soient

$f(x)=2x^{3}+x^{2}-9x+5\$ et

$\ g(x)=2x+5$

Alors, cherchons d'abord les racines de

$g$ en résolvant l'équation

$g(x)=0.$

On a :

$\begin{array}{rcl}g(x)=0&\Leftrightarrow&2x+5=0\\\\&\Leftrightarrow&2x=-5\\\\&\Leftrightarrow&x=-\dfrac{5}{2}\end{array}$

Donc,

$-\dfrac{5}{2}$ est une racine de

$g.$

Ce qui signifie que

$\boxed{g\left(-\dfrac{5}{2}\right)=0}$

Vérifions ensuite si

$-\dfrac{5}{2}$ est aussi racine de

$f.$

Pour cela, on va calculer

$f\left(-\dfrac{5}{2}\right)$ en remplaçant

$x$ par

$-\dfrac{5}{2}$ , dans l'expression de

$f(x).$

Cela donne alors :

$\begin{array}{rcl}f\left(-\dfrac{5}{2}\right)&=&2\left(-\dfrac{5}{2}\right)^{3}+\left(-\dfrac{5}{2}\right)^{2}-9\left(-\dfrac{5}{2}\right)+5\\\\&=&2\left(-\dfrac{125}{8}\right)+\left(\dfrac{25}{4}\right)+\dfrac{45}{2}+5\\\\&=&-\dfrac{2\times 125}{8}+\dfrac{25}{4}+\dfrac{45}{2}+\dfrac{10}{2}\\\\&=&-\dfrac{125}{4}+\dfrac{25}{4}+\dfrac{55}{2}\\\\&=&-\dfrac{100}{4}+\dfrac{55}{2}\\\\&=&-\dfrac{50}{2}+\dfrac{55}{2}\\\\&=&\dfrac{5}{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{f\left(-\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{5}{2}}$

Donc,

$f\left(-\dfrac{5}{2}\right)\neq 0$ ; ce qui signifie que

$-\dfrac{5}{2}$ n'est pas une racine de

$f.$

Par conséquent,

$f(x)$ n'est pas factorisable par

$g(x).$

3) Soient

$f(x)=3x^{3}-x^{2}+7x+6\$ et

$\ g(x)=3x+2.$

Cherchons d'abord les racines de

$g$ en résolvant l'équation

$g(x)=0.$

On a :

$\begin{array}{rcl}g(x)=0&\Leftrightarrow&3x+2=0\\\\&\Leftrightarrow&3x=-2\\\\&\Leftrightarrow&x=-\dfrac{2}{3}\end{array}$

Donc,

$-\dfrac{2}{3}$ est une racine de

$g.$

Ainsi,

$\boxed{g\left(-\dfrac{2}{3}\right)=0}$

Ensuite, vérifions si

$-\dfrac{2}{3}$ est aussi une racine de

$f.$

Pour cela, on calcule

$f\left(-\dfrac{2}{3}\right)$ en remplaçant

$x$ par

$-\dfrac{2}{3}$ , dans l'expression de

$f(x).$

On a alors :

$\begin{array}{rcl}f\left(-\dfrac{2}{3}\right)&=&3\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{3}-\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{2}+7\left(-\dfrac{2}{3}\right)+6\\\\&=&3\left(-\dfrac{8}{27}\right)-\left(\dfrac{4}{9}\right)-\dfrac{14}{3}+6\\\\&=&-\dfrac{3\times 8}{27}-\dfrac{4}{9}-\dfrac{14}{3}+6\\\\&=&-\dfrac{8}{9}-\dfrac{4}{9}-\dfrac{42}{9}+6\\\\&=&-\dfrac{12}{9}-\dfrac{42}{9}+6\\\\&=&-\dfrac{54}{9}+6\\\\&=&-6+6\\\\&=&0\end{array}$

Donc,

$\boxed{f\left(-\dfrac{2}{3}\right)=0}$

D'où,

$-\dfrac{2}{3}$ est aussi une racine de

$f.$

Par conséquent,

$f(x)$ est factorisable par

$g(x).$

Ainsi, il existe un polynôme

$Q(x)$ de degré

$2$ tel que :

$f(x)=g(x)\times Q(x)$

Déterminons alors ce polynôme

$Q(x).$

En effet, comme

$Q$ est de degré

$2$ alors

$Q(x)$ est de la forme :

$Q(x)=ax^{2}+bx+c\qquad\text{avec }a\neq 0$

Par la méthode d'identification des coefficients, cherchons

$a\;,\ b\$ et

$\ c.$

On a :

$\begin{array}{rcl}f(x)=g(x)\times Q(x)&\Leftrightarrow&3x^{3}-x^{2}+7x+6=(3x+2)(ax^{2}+bx+c)\\\\&\Leftrightarrow&3x^{3}-x^{2}+7x+6=3ax^{3}+3bx^{2}+3cx+2ax^{2}+2bx+2c\\\\&\Leftrightarrow&3x^{3}-x^{2}+7x+6=3ax^{3}+(3b+2a)x^{2}+(3c+2b)x+2c\end{array}$

Ainsi, en appliquant la propriété d'égalité de deux polynômes, on obtient :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3a&=&3 \\\\3b+2a&=&-1 \\\\3c+2b&=&7\\\\2c&=&6 \end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&1\\\\b&=&-1\\\\c&=&3 \end{array}\right.$

D'où,

$\boxed{Q(x)=x^{2}-x+3}$

Calculons alors son discriminant pour voir si

$Q(x)$ est à son tour factorisable.

Soit :

$\Delta=(-1)^{2}-4\times 3=1-12=-11<0$

Comme

$\Delta$ est négatif alors,

$Q(x)$ n'est pas factorisable.

Par conséquent, la factorisation de

$f(x)$ est donnée par :

$\boxed{f(x)=(3x+2)(x^{2}-x+3)}$

Exercice 4

On donne :

$P(x)=5(x^{2}-9)-(x-5)(6-2x)$

1) Développons et réduisons

$P(x)$

On a :

$\begin{array}{rcl}P(x)&=&5(x^{2}-9)-(x-5)(6-2x)\\\\&=&5x^{2}-45-(6x-2x^{2}-30+10x)\\\\&=&5x^{2}-45-6x+2x^{2}+30-10x\\\\&=&5x^{2}+2x^{2}-6x-10x-45+30\\\\&=&7x^{2}-16x-15\end{array}$

D'où,

$\boxed{P(x)=7x^{2}-16x-15}$

2) Factorisons

$P(x)$

Pour cela, nous utilisons la forme factorisée des identités remarquables et le facteur commun.

On a :

$\begin{array}{rcl}P(x)&=&5(x^{2}-9)-(x-5)(6-2x)\\\\&=&5(x-3)(x+3)-(x-5)(3-x)2\\\\&=&5(x-3)(x+3)-2(3-x)(x-5)\\\\&=&5(x-3)(x+3)+2(x-3)(x-5)\\\\&=&(x-3)[5(x+3)+2(x-5)]\\\\&=&(x-3)(5x+15+2x-10)\\\\&=&(x-3)(7x+5)\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{P(x)=(x-3)(7x+5)}$

3) Utilisons la forme convenable pour résoudre les équations :

$P(x)=0\;;\quad P(x)=-15\;;\quad P(x)=7x+5$

Soit à résoudre l'équation

$P(x)=0.$

Nous utiliseront alors la forme factorisée de

$P(x).$

Ainsi, on a :

$\begin{array}{rcl}P(x)=0&\Leftrightarrow&(x-3)(7x+5)=0\\\\&\Leftrightarrow&x-3=0\quad\text{ou}\quad 7x+5=0\\\\&\Leftrightarrow&x=3\quad\text{ou}\quad 7x=-5\\\\&\Leftrightarrow&x=3\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{5}{7}\end{array}$

D'où, l'ensemble des solutions de l'équation

$P(x)=0$ est donné par :

$S=\left\lbrace -\dfrac{5}{7}\;;\ 3\right\rbrace$

Résolvons l'équation

$P(x)=-15$

En utilisant la forme développée de

$P(x)$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl}P(x)=-15&\Leftrightarrow&7x^{2}-16x-15=-15\\\\&\Leftrightarrow&7x^{2}-16x-15+15=0\\\\&\Leftrightarrow&7x^{2}-16x=0\\\\&\Leftrightarrow&x(7x-16)=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\quad\text{ou}\quad 7x-16=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\quad\text{ou}\quad 7x=16\\\\&\Leftrightarrow&x=0\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{16}{7}\end{array}$

D'où, l'ensemble des solutions de l'équation

$P(x)=-15$ est donné par :

$S=\left\lbrace 0\;;\ \dfrac{16}{7}\right\rbrace$

Soit à résoudre l'équation

$P(x)=7x+5.$

Alors, en utilisant la forme factorisée de

$P(x)$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl}P(x)=7x+5&\Leftrightarrow&(x-3)(7x+5)=7x+5\\\\&\Leftrightarrow&(x-3)(7x+5)-(7x+5)=0\\\\&\Leftrightarrow&(7x+5)[(x-3)-1]=0\\\\&\Leftrightarrow&(7x+5)(x-3-1)=0\\\\&\Leftrightarrow&(7x+5)(x-4)=0\\\\&\Leftrightarrow&7x+5=0\quad\text{ou}\quad x-4=0\\\\&\Leftrightarrow&7x=-5\quad\text{ou}\quad x=4\\\\&\Leftrightarrow&x=-\dfrac{5}{7}\quad\text{ou}\quad x=4\end{array}$

Ainsi, l'ensemble des solutions de l'équation

$P(x)=7x+5$ est donné par :

$S=\left\lbrace -\dfrac{5}{7}\;;\ 4\right\rbrace$

4) Calculons

$P(-3)\$ et

$\ P\left(\dfrac{2}{5}\right)$

Pour calculer

$P(-3)$ nous utilisons la forme développée de

$P(x)$ , en remplaçant

$x$ par

$-3.$

Soit

$P(x)=7x^{2}-16x-15$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl}P(-3)&=&7(-3)^{2}-16(-3)-15\\\\&=&7\times 9+48-15\\\\&=&63+48-15\\\\&=&96\end{array}$

D'où,

$\boxed{P(-3)=96}$

De même manière, pour calculer

$P\left(\dfrac{2}{5}\right)$ nous utilisons la forme développée de

$P(x)$ , en remplaçant

$x$ par

$\dfrac{2}{5}.$

On a alors :

$\begin{array}{rcl}P\left(\dfrac{2}{5}\right)&=&7\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}-16\left(\dfrac{2}{5}\right)-15\\\\&=&7\times\dfrac{4}{25}-\dfrac{32}{5}-15\\\\&=&\dfrac{28}{25}-\dfrac{160}{25}-\dfrac{375}{25}\\\\&=&-\dfrac{507}{25}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{P\left(\dfrac{2}{5}\right)=-\dfrac{507}{25}}$

Exercice 5

On donne :

$f(x)=x^{5}-8x^{3}+15x$

1) Calculons

$f(\sqrt{3})\$ et

$\ f(-\sqrt{3})$

Pour calculer

$f(\sqrt{3})$ , on remplace

$x$ par

$\sqrt{3}$ , dans l'expression de

$f(x).$

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl}f(\sqrt{3})&=&(\sqrt{3})^{5}-8(\sqrt{3})^{3}+15(\sqrt{3})\\\\&=&(\sqrt{3})^{2}(\sqrt{3})^{2}(\sqrt{3})-8(\sqrt{3})^{2}(\sqrt{3})+15(\sqrt{3})\\\\&=&3\times 3\times\sqrt{3}-8\times 3\times\sqrt{3}+15\sqrt{3}\\\\&=&9\sqrt{3}-24\sqrt{3}+15\sqrt{3}\\\\&=&0\end{array}$

Donc,

$\boxed{f(\sqrt{3})=0}$

On procède de la même manière pour le calcul de

$f(-\sqrt{3}).$

Ainsi, on a :

$\begin{array}{rcl}f(-\sqrt{3})&=&(-\sqrt{3})^{5}-8(-\sqrt{3})^{3}+15(-\sqrt{3})\\\\&=&(-\sqrt{3})^{2}(-\sqrt{3})^{2}(-\sqrt{3})-8(-\sqrt{3})^{2}(-\sqrt{3})+15(-\sqrt{3})\\\\&=&3\times 3\times(-\sqrt{3})-8\times 3\times(-\sqrt{3})-15\sqrt{3}\\\\&=&-9\sqrt{3}+24\sqrt{3}-15\sqrt{3}\\\\&=&0\end{array}$

D'où,

$\boxed{f(-\sqrt{3})=0}$

2) Factorisons mieux

$f(x)$

En effet, d'après le résultat de la question

$1\;)$ , on a :

$f(\sqrt{3})=0\quad\text{et}\quad f(-\sqrt{3})=0$

Ce qui signifie que

$\sqrt{3}\$ et

$\ -\sqrt{3}$ sont racines de

$f.$

Donc,

$f(x)$ est factorisable par

$(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}).$

Ainsi, il existe un polynôme

$Q(x)$ de degré

$3$ tel que :

$f(x)=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\times Q(x)$

Comme

$f(x)$ est factorisable par

$(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$ alors,

$f(x)$ est divisible par :

$(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=x^{2}-3$

Par suite, en utilisant la méthode de la division euclidienne, on obtient :

$\begin{array}{l} \ \ x^{5}-8x^{3}+15x \\ -x^{5}+3x^{3} \\ \hline \quad 0-5x^{3}+15x\\ \qquad\ \ 5x^{3}-15x \\ \hline\qquad\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}-3 \\ \hline x^{3}-5x\\ \\ \\ \\\end{array}$

D'où,

$\boxed{Q(x)=x^{3}-5x}$

En factorisant

$Q(x)$ , on trouve :

$\begin{array}{rcl}Q(x)&=&x^{3}-5x\\\\&=&x(x^{2}-5)\\\\&=&x(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{Q(x)=x(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})}$

Par conséquent, une factorisation de

$f(x)$ est donnée par :

$\boxed{f(x)=x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})}$

3) Résolvons

$f(x)<0$

Considérons le tableau de signes suivant :

$\begin{array}{|c|lcccccccccccr|} \hline x&-\infty&&-\sqrt{5}&&-\sqrt{3}&&0&&\sqrt{3}&&\sqrt{5}&&+\infty\\\hline x&&-&|&-&|&-&0&+&|&+&|&+&\\\hline (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})&&+&|&+&0&-&|&-&0&+&|&+&\\\hline (x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})&&+&0&-&|&-&|&-&|&-&0&+&\\\hline f(x)&&-&0&+&0&-&0&+&0&-&0&+&\\\hline\end{array}$

L'inéquation

$f(x)<0$ a donc pour solution :

$S=]-\infty\;;\ -\sqrt{5}[\cup]-\sqrt{3}\;;\ 0[\cup]\sqrt{3}\;;\ \sqrt{5}[$

Exercice 6

Soit

$f(x)=x^{4}+3x^{3}-5x^{2}-13x+6$

1) Montrons que

$-3$ est une racine de

$f.$

En effet, remplaçons

$x$ par

$-3$ , dans l'expression de

$f(x)$ puis, calculons.

On a alors :

$\begin{array}{rcl}f(-3)&=&(-3)^{4}+3(-3)^{3}-5(-3)^{2}-13(-3)+6\\\\&=&81+3\times(-27)-5\times 9+39+6\\\\&=&81-81-45+45\\\\&=&0\end{array}$

Donc,

$\boxed{f(-3)=0}$

Ce qui montre que

$-3$ est une racine de

$f.$

2) En déduisons une factorisation complète de

$f(x)$

Comme

$-3$ est une racine de

$f$ alors,

$f(x)$ est factorisable par

$(x+3).$

Par suite, il existe un polynôme

$Q(x)$ de degré

$3$ vérifiant :

$f(x)=(x+3)\times Q(x)$

Déterminons alors le polynôme

$Q(x)$ en utilisant la méthode de Hörner.

On a :

$deg\;Q(x)=3$ donc,

$Q(x)$ est de la forme :

$Q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\quad\text{ avec }a\neq 0$

Ainsi, considérons le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline\text{Coefficients de }f(x)& & & & &\\ \text{dans l'ordre décroissant} &1&3&-5&-13&6 \\ \text{des puissances}& & & & &\\ \hline & & & & &\\ x_{0}=-3& &-3&0&15&-6 \\ & & & & &\\ \hline \text{Coefficients de }Q(x)&1&0&-5&2&0 \\ \text{ dans l'ordre décroissant}&\uparrow&\uparrow&\uparrow&\uparrow&\uparrow \\ \text{des puissances}&a&b&c&d&f(x_{0}) \\ \hline\end{array}$

Explication des étapes de la procédure :

On a :

$a=1\$ et

$\ x_{0}=-3$ est une racine de

$f(x).$

$\centerdot\ \$ étape 1 :

$a=1$ alors,

$-3\times a=-3\times 1=-3$ puis,

$-3+3=0$ donc,

$b=0$

$\centerdot\ \$ étape 2 :

$b=0$ alors,

$-3\times b=-3\times 0=0$ puis,

$0-5=-5$ donc,

$c=-5$

$\centerdot\ \$ étape 3 :

$c=-5$ alors,

$-3\times c=-3\times(-5)=15$ puis,

$15-13=2$ donc,

$d=2$

$\centerdot\ \$ étape 4 :

$d=2$ alors,

$-3\times d=-3\times 2=-6$ puis,

$-6+6=0=f(x_{0})=f(-3)$

Donc, les coefficients

$a\;,\ b\;,\ c\$ et

$\ d$ de

$Q(x)$ sont donnés par :

$a=1\;,\quad b=0\;,\quad c=-5\;,\quad d=2$

D'où,

$\boxed{Q(x)=x^{3}-5x+2}$

Par suite, on a :

$fx)=(x+3)(x^{3}-5x+2)$

Ainsi, pour une factorisation complète de

$f(x)$ , essayons de factoriser

$Q(x).$

Soit

$Q(x)=x^{3}-5x+2$ alors, nous constatons que

$2$ est une racine évidente de

$Q.$

En effet, on a :

$\begin{array}{rcl}Q(2)&=&(2)^{3}-5\times 2+2\\\\&=&8-10+2\\\\&=&10-10\\\\&=&0\end{array}$

Donc,

$\boxed{Q(2)=0}$

D'où,

$2$ est une racine de

$Q.$

Par suite,

$Q(x)$ est factorisable par

$(x-2).$

Ce qui signifie que

$Q(x)$ est divisible par

$(x-2).$

Ainsi, il existe un polynôme

$P(x)$ tel que :

$Q(x)=(x-2)\times P(x)$

En utilisant la méthode de la division euclidienne, on obtient :

$\begin{array}{l} \ \ x^{3}-5x+2 \\ -x^{3}+2x^{2} \\ \hline \quad 0+2x^{2}-5x+2\\ \quad\ \ -2x^{2}+4x \\ \hline\qquad\qquad\ \ -x+2\\ \qquad\qquad\quad \ x-2\\ \hline\qquad\qquad\qquad\quad 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x-2 \\ \hline x^{2}+2x-1\\ \\ \\ \\ \\ \\\end{array}$

D'où,

$\boxed{P(x)=x^{2}+2x-1}$

Factorisons

$P(x).$

On a :

$\Delta=4+4=8$ donc, les racines

$x_{1}\$ et

$\ x_{2}$ de

$P$ sont données par :

$x_{1}=\dfrac{-2-\sqrt{8}}{2}=\dfrac{-2-2\sqrt{2}}{2}=-1-\sqrt{2}$

$x_{2}=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{2}=\dfrac{-2+2\sqrt{2}}{2}=-1+\sqrt{2}$

Ainsi,

$\boxed{P(x)=\left(x+1+\sqrt{2}\right)\left(x+1-\sqrt{2}\right)}$

Par conséquent, une factorisation complète de

$f(x)$ est donnée par :

$\boxed{f(x)=(x+3)(x-2)\left(x+1+\sqrt{2}\right)\left(x+1-\sqrt{2}\right)}$

3) Résolvons dans

$\mathbb{R}\;,\ \dfrac{f(x)}{x^{2}-2}<0$

D'après le résultat de la question

$2\,)$ , on a :

$f(x)=(x+3)(x-2)\left(x+1+\sqrt{2}\right)\left(x+1-\sqrt{2}\right)$

Par ailleurs, d'après la forme factorisée des identités remarquables, on a :

$(x^{2}-2)=(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$

Considérons alors le tableau de signes suivant :

$\begin{array}{|c|lcccccccccccccr|} \hline x&-\infty&&-3&&-1-\sqrt{2}&&-\sqrt{2}&&-1+\sqrt{2}&&\sqrt{2}&&2&&+\infty\\\hline (x+3)&&-&0&+&|&+&|&+&|&+&|&+&|&+&\\\hline (x-2)&&-&|&-&|&-&|&-&|&-&|&-&0&+&\\\hline \left(x+1+\sqrt{2}\right)\left(x+1-\sqrt{2}\right)&&+&|&+&0&-&|&-&0&+&|&+&|&+&\\\hline \left(x+\sqrt{2}\right)\left(x-\sqrt{2}\right)&&+&|&+&|&+&||&-&|&-&||&+&|&+&\\\hline\dfrac{f(x)}{(x^{2}-2)}&&+&0&-&0&+&||&-&0&+&||&-&0&+&\\\hline\end{array}$

D'après le tableau ci-dessus, l'expression

$\dfrac{f(x)}{(x^{2}-2)}$ est strictement négative sur l'intervalle

$\left]-3\;;\ -1-\sqrt{2}\right[\cup\left]-\sqrt{2}\;;\ -1+\sqrt{2}\right[\cup\left]\sqrt{2}\;;\ 2\right[.$

Par conséquent, l'inéquation

$\dfrac{f(x)}{x^{2}-2}<0$ a pour solution :

$S=\left]-3\;;\ -1-\sqrt{2}\right[\cup\left]-\sqrt{2}\;;\ -1+\sqrt{2}\right[\cup\left]\sqrt{2}\;;\ 2\right[$

Exercice 7

1) a) Trouvons un polynôme

$P$ de degré

$2$ tel que

$P(x)-P(x-1)=x\ \text{ et }\ P(0)=0$

Soit :

$P(x)=ax^{2}+bx+c$ avec

$a\neq 0$

On a :

$\begin{array}{rcl} P(x)-P(x-1)&=&ax^{2}+bx+c-[a(x-1)^{2}+b(x-1)+c]\\\\&=&ax^{2}+bx+c-[ax^{2}-2ax+a+bx-b+c]\\\\&=&ax^{2}+bx+c-ax^{2}+2ax-a-bx+b-c\\\\&=&2ax-a+b\end{array}$

Or,

$P(x)-P(x-1)=x$ donc,

$2ax-a+b=x$

Ainsi, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes on obtient :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2a&=&1 \\-a+b&=&0\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{1}{2} \\\\ b&=&\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$

Par suite,

$P(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{2}x+c$

Comme

$P(0)=0\$ alors,

$c=0$

D'où,

$\boxed{P(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{2}x}$

b) En déduisons une expression de

$S=1+2+3+4+\ldots\ldots+12$

Soit :

$P(x)-P(x-1)=x$

En appliquant

$12$ fois l'égalité

$P(x)-P(x-1)=x$ en remplaçant

$x$ successivement par

$1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ldots\ldots\;,\ 12$ , on obtient :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} P(1)-P(0)&=&1\\\\P(2)-P(1)&=&2\\\\P(3)-P(2)&=&3\\\\\ldots\quad\ldots\quad\ldots&\ldots&\ldots\\\\\ldots\quad\ldots\quad\ldots&\ldots&\ldots\\\\P(12)-P(11)&=&12\end{array}\right.$

Par addition membre à membre de ces

$12$ égalités, on obtient :

$\require{cancel}(\cancel{P(1)}-P(0))+(\cancel{P(2)}-\cancel{P(1)})+(\cancel{P(3)}-\cancel{P(2)})+\ldots+(P(12)-\cancel{P(11)})=1+2+3+\ldots+12$

Puis après simplification, on trouve :

$\boxed{S=1+2+3+4+\ldots\ldots+12=P(12)-P(0)}$

On a :

$\begin{array}{rcl} P(12)-P(0)&=&\dfrac{12^{2}}{2}+\dfrac{12}{2}\\\\&=&72+6\\\\&=&78\end{array}$

Par conséquent,

$\boxed{S=78}$

2) a) Trouvons un polynôme

$P$ de degré

$3$ tel que

$P(x)-P(x-1)=x^{2}\ \text{ et }\ P(0)=0$

Soit :

$P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ avec

$a\neq 0$ alors,

$\begin{array}{rcl} P(x)-P(x-1)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d-[a(x-1)^{3}+b(x-1)^{2}+c(x-1)+d]\\\\&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d-[ax^{3}-3ax^{2}+3ax-a+bx^{2}-2bx+b+cx-c+d]\\\\&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d-ax^{3}+3ax^{2}-3ax+a-bx^{2}+2bx-b-cx+c-d\\\\&=&3ax^{2}-3ax+a+2bx-b+c\\\\&=&3ax^{2}+(2b-3a)x+a-b+c\end{array}$

Comme,

$P(x)-P(x-1)=x^{2}$ alors,

$3ax^{2}+(2b-3a)x+a-b+c=x^{2}$

Ainsi, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes on obtient :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3a&=&1 \\2b-3a&=&0\\a-b+c&=&0\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{1}{3}\\\\b&=&\dfrac{1}{2}\\\\c&=&\dfrac{1}{6}\end{array}\right.$

Par suite,

$P(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{6}x+d$

$P(0)=0\ \Rightarrow\ d=0$

D'où,

$\boxed{P(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{6}x}$

b) En déduisons, en fonction de

$n$ , une expression de

$S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots\ldots+n^{2}$

D'après question 2) a) on a :

$P(x)-P(x-1)=x^{2}$

En appliquant

$n$ fois l'égalité

$P(x)-P(x-1)=x^{2}$ en remplaçant

$x$ successivement par

$1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ldots\ldots\;,\ n$ , on obtient :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} P(1)-P(0)&=&1^{2}\\\\P(2)-P(1)&=&2^{2}\\\\P(3)-P(2)&=&3^{2}\\\\\ldots\quad\ldots\quad\ldots&\ldots&\ldots\\\\\ldots\quad\ldots\quad\ldots&\ldots&\ldots\\\\P(n)-P(n-1)&=&n^{2}\end{array}\right.$

Par addition membre à membre de ces

$n$ égalités, on obtient :

$\require{cancel}(\cancel{P(1)}-P(0))+(\cancel{P(2)}-\cancel{P(1)})+(\cancel{P(3)}-\cancel{P(2)})+\ldots+(P(n)-\cancel{P(n-1)})=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}$

En simplifiant, on trouve :

$\begin{array}{rcl} 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}&=&P(n)-P(0)\\\\&=&\dfrac{1}{3}n^{3}+\dfrac{1}{2}n^{2}+\dfrac{1}{6}n-0\end{array}$

D'où,

$\boxed{S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\ldots\ldots+n^{2}=\dfrac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}$

Exercice 8

1) Déterminons le polynôme

$P$ de degré

$3$ vérifiant :

$P(x+1)-P(x)=3x^{2}+3x\ \text{ et }\ P(0)=0$

Soit :

$P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ avec

$a\neq 0$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} P(x+1)-P(x)&=&a(x+1)^{3}+b(x+1)^{2}+c(x+1)+d-[ax^{3}+bx^{2}+cx+d]\\\\&=&a(x^{3}+3x^{2}+3x+1)+b(x^{2}+2x+1)+cx+c+d-ax^{3}-bx^{2}-cx-d\\\\&=&ax^{3}+3ax^{2}+3ax+a+bx^{2}+2bx+b+c-ax^{3}-bx^{2}\\\\&=&3ax^{2}+(3a+2b)x+a+b+c\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{P(x+1)-P(x)=3ax^{2}+(3a+2b)x+a+b+c}$

Par ailleurs, comme

$P(x+1)-P(x)=3x^{2}+3x$ alors, on a :

$3ax^{2}+(3a+2b)x+a+b+c=3x^{2}+3x$

Ainsi, par identification, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes, on obtient :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3a&=&3\\\\3a+2b&=&3\\\\a+b+c&=&0\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{3}{3}=1\\\\b&=&\dfrac{3-3}{2}=0\\\\c&=&-1\end{array}\right.$

Par suite,

$P(x)=x^{3}-x+d$

Or, on sait que

$P(0)=0$

Donc, dans l'expression de

$P(x)$ , en remplaçant

$x$ par

$0$ , on obtient :

$d=0$

D'où,

$\boxed{P(x)=x^{3}-x}$

2) En déduisons une expression de

$S_{n}=3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+3n(n+1)$

en fonction de

$n$

En effet, d'après les données de la question

$1\,)$ , on a :

$P(x+1)-P(x)=3x^{2}+3x=3x(x+1)$

Alors, appliquons

$n$ fois l'égalité

$P(x+1)-P(x)=3x(x+1).$

Pour cela, remplaçons

$x$ successivement par

$1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ldots\ldots\;,\ n$ dans l'égalité

$P(x+1)-P(x)=3x(x+1).$

On obtient :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} P(2)-P(1)&=&3\times 2\\\\P(3)-P(2)&=&6\times 3\\\\P(4)-P(3)&=&9\times 4\\\\\ldots\quad\ldots\quad\ldots&\ldots&\ldots\\\\\ldots\quad\ldots\quad\ldots&\ldots&\ldots\\\\P(n+1)-P(n)&=&3n(n+1)\end{array}\right.$

Par suite, en additionnant membre à membre ces

$n$ égalités, on obtient :

$\require{cancel}(\cancel{P(2)}-P(1))+(\cancel{P(3)}-\cancel{P(2)})+(\cancel{P(4)}-\cancel{P(3)})+\ldots+(P(n+1)-\cancel{P(n)})=3\times 2+6\times 3+9\times 4+\ldots\ldots+3n(n+1)$

En simplifiant, on trouve :

$\begin{array}{rcl} 3\times 2+6\times 3+9\times 4+\ldots\ldots+3n(n+1)&=&P(n+1)-P(1)\\\\&=&(n+1)^{3}-(n+1)-(1-1)\\\\&=&n^{3}+3n^{2}+3n+1-n-1-0\\\\&=&n^{3}+3n^{2}+2n\end{array}$

D'où,

$\boxed{S_{n}=3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+3n(n+1)=n^{3}+3n^{2}+2n}$

3) En déduisons la valeur de

$3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+300\times 101$

Cette somme peut encore être réécrite de la manière suivante :

$3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+300\times 101=3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+3\times 100(100+1)$

On remarque alors qu'on a effectué une somme des

$n=100$ premiers termes.

Autrement dit ; on a additionné les termes jusqu'à

$n=100.$

Donc, d'après le résultat de la question

$2\,)$ , cela revient tout simplement à calculer

$S_{100}.$

Ainsi, dans l'expression de

$S_{n}$ , en remplaçant

$n$ par

$100$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} S_{100}&=&100^{3}+3\times 100^{2}+2\times 100\\\\&=&1\,000\,000+30\,000+200\\\\&=&1\,030\,200\end{array}$

D'où,

$\boxed{3\times 2+6\times 3+\ldots\ldots+300\times 101=1\,030\,200}$

Exercice 9

Soit :

$P(x)=x^{3}+2x^{2}-5x-6$

On suppose que

$P(x)=0$ admet

$3$ racines

$\alpha\;,\ \beta\$ et

$\ \delta.$

Sans calculer ces racines ; donnons les valeurs de :

$\alpha+\beta+\delta\;;\quad\alpha\beta\delta\;;\quad\alpha\beta+\alpha\delta+\beta\delta\;;\quad\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\delta}\;;\quad\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}$

Comme

$\alpha\;,\ \beta\$ et

$\ \delta$ sont racines distinctes de

$P$ alors,

$P(x)$ est factorisable par

$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\delta).$

Ainsi, il existe un polynôme

$Q$ tel que :

$P(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\delta)\times Q(x)$

$P$ étant de degré

$3$ alors le polynôme

$Q$ est de degré

$0$ , d'où :

$Q(x)=a$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} (x-\alpha)(x-\beta)(x-\delta)\times Q(x)&=&(x-\alpha)(x-\beta)(x-\delta)\times a\\\\&=&(x^{2}-\alpha x-\beta x+\alpha\beta)(x-\delta)\times a\\\\&=&a(x^{3}-\alpha x^{2}-\beta x^{2}+\alpha\beta x-\delta x^{2}+\delta\alpha x+\delta\beta x-\alpha\beta\delta)\\\\&=&ax^{3}-a(\alpha+\beta+\delta)x^{2}+a(\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta)x-a\alpha\beta\delta)\end{array}$

Donc,

$P(x)=ax^{3}-a(\alpha+\beta+\delta)x^{2}+a(\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta)x-a\alpha\beta\delta)$

Par suite,

$x^{3}+2x^{2}-5x-6=ax^{3}-a(\alpha+\beta+\delta)x^{2}+a(\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta)x-a\alpha\beta\delta)$

Ainsi, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes, on obtient par identification des coefficients :

$\begin{array}{rcl}\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&1\\ \\-a(\alpha+\beta+\delta)&=&2\\\\a(\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta)&=&-5\\\\-a\alpha\beta\delta&=&-6\end{array}\right.&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&1\\ \\\alpha+\beta+\delta&=&-2\\\\\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta&=&-5\\\\\alpha\beta\delta&=&6\end{array}\right.\end{array}$

D'où,

$\boxed{\alpha+\beta+\delta=-2\;;\quad\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta=-5\;;\quad\alpha\beta\delta=6}$

En utilisant ces résultats, on peut écrire :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta}{\alpha\beta\delta}&=&\dfrac{\alpha\beta}{\alpha\beta\delta}+\dfrac{\delta\alpha}{\alpha\beta\delta}+\dfrac{\delta\beta}{\alpha\beta\delta}\\\\&=&\dfrac{1}{\delta}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\alpha}\end{array}$

Donc,

$\dfrac{1}{\delta}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\alpha}=\dfrac{\alpha\beta+\delta\alpha+\delta\beta}{\alpha\beta\delta}=-\dfrac{5}{6}$

D'où,

$\boxed{\dfrac{1}{\delta}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\alpha}=-\dfrac{5}{6}}$

Par ailleurs, on a :

$\begin{array}{rcl}(\alpha+\beta+\delta)^{2}=(-2)^{2}&\Leftrightarrow&\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}+2\alpha\beta+2\alpha\delta+2\beta\delta=4\\\\&\Leftrightarrow&\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}+2(\alpha\beta+\alpha\delta+\beta\delta)=4\\\\&\Leftrightarrow&\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}+2(-5)=4\\\\&\Leftrightarrow&\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}-10=4\\\\&\Leftrightarrow&\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}=14\end{array}$

D'où,

$\boxed{\alpha^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}=14}$

Exercice 10

Soit le polynôme

$Q$ défini par :

$Q(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+18$

1) Déterminons

$a\$ et

$\ b$ pour que

$Q(x)$ soit divisible par

$x^{2}-9$

En effet, le polynôme

$Q(x)$ est divisible par

$x^{2}-9$ si, et seulement si, les racines de

$(x^{2}-9)$ sont aussi racines de

$Q(x).$

Cherchons alors les racines de

$(x^{2}-9).$

D'après la forme factorisée des identités remarquables, on a :

$x^{2}-9=(x-3)(x+3)$

Ce qui signifie que

$-3\$ et

$\ 3$ sont racines de

$(x^{2}-9).$

Par conséquent, ces deux nombres entiers sont aussi racines de

$Q(x).$

Donc,

$Q(-3)=0\$ et

$\ Q(3)=0$

Ainsi, dans l'expression de

$Q(x)$ , en remplaçant

$x$ par

$-3$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl}Q(-3)=0&\Leftrightarrow&(-3)^{3}+a(-3)^{2}+b(-3)+18=0\\\\&\Leftrightarrow&-27+9a-3b+18=0\\\\&\Leftrightarrow&9a-3b-9=0\\\\&\Leftrightarrow&3(3a-b-3)=0\\\\&\Leftrightarrow&3a-b-3=0\end{array}$

D'où,

$\boxed{3a-b-3=0\qquad(1)}$

De la même manière, en remplaçant

$x$ par

$3$ , dans l'expression de

$Q(x)$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl}Q(3)=0&\Leftrightarrow&3^{3}+a\times 3^{2}+b\times 3+18=0\\\\&\Leftrightarrow&27+9a+3b+18=0\\\\&\Leftrightarrow&9a+3b+45=0\\\\&\Leftrightarrow&3(3a+b+15)=0\\\\&\Leftrightarrow&3a+b+15=0\end{array}$

Donc,

$\boxed{3a+b+15=0\qquad(2)}$

Considérons alors le système d'équations à deux inconnues suivant, formé des équations

$(1)\$ et

$\ (2)\ :$

$\left\lbrace\begin{array}{rcl}3a-b-3&=&0\qquad(1)\\\\3a+b+15&=&0\qquad(2)\end{array}\right.$

En résolvant ce système, on trouve alors les coefficients

$a\$ et

$\ b.$

En effet, en additionnant, membre à membre, les équations

$(1)\$ et

$\ (2)$ du système, on obtient :

$\begin{array}{rcl}3a-b-3+3a+b+15=0&\Leftrightarrow&6a+12=0\\\\&\Leftrightarrow&6a=-12\\\\&\Leftrightarrow&a=-\dfrac{12}{6}\\\\&\Leftrightarrow&a=-2\end{array}$

Donc,

$\boxed{a=-2}$

En remplaçant cette valeur de

$a$ dans l'équation

$(2)$ , on trouve :

$\begin{array}{rcl}3\times(-2)+b+15=0&\Leftrightarrow&-6+b+15=0\\\\&\Leftrightarrow&b+9=0\\\\&\Leftrightarrow&b=-9\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{b=-9}$

D'où,

$\boxed{Q(x)=x^{3}-2x^{2}-9x+18}$

2) a) Factorisons

$Q(x)$

En effet, comme

$Q(x)$ est divisible par

$x^{2}-9$ alors, il existe un polynôme

$P(x)$ de degré

$1$ tel que :

$Q(x)=(x^{2}-9)\times P(x)$

Ainsi, par division euclidienne, on obtient :

$\begin{array}{l} \ \ x^{3}-2x^{2}-9x+18 \\ -x^{3}+9x \\ \hline \quad\qquad -2x^{2}+18 \\ \qquad\qquad 2x^{2}-18 \\ \hline\qquad\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}-9 \\ \hline x-2 \\ \\ \\ \\ \end{array}$

D'où,

$\boxed{P(x)=x-2}$

Par conséquent, une factorisation complète de

$Q(x)$ est donnée par :

$\boxed{Q(x)=(x-3)(x+3)(x-2)}$

b) Résolvons

$Q(x)=0\$ et

$\ Q(x)>0$

En utilisant la forme factorisée de

$Q(x)$ , on a :

$\begin{array}{rcl}Q(x)=0&\Leftrightarrow&(x-3)(x+3)(x-2)=0\\\\&\Leftrightarrow&x-3=0\quad\text{ou}\quad x+3=0\quad\text{ou}\quad x-2=0\\\\&\Leftrightarrow&x=3\quad\text{ou}\quad x=-3\quad\text{ou}\quad x=2\end{array}$

D'où, l'ensemble des solutions

$S$ est donné par :

$S=\lbrace -3\;;\ 2\;;\ 3\rbrace$

Résolvons l'inéquation

$Q(x)>0$

Pour cela, cherchons le signe de

$Q(x)$ en considérant le tableau de signes suivant :

$\begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x&-\infty&&-3&&2&&3&&+\infty\\\hline (x-3)(x+3)&&+&0&-&|&-&0&+&\\\hline (x-2)&&-&|&-&0&+&|&+&\\\hline Q(x)&&-&0&+&0&-&0&+&\\\hline\end{array}$

D'après le tableau, le polynôme

$Q(x)$ est strictement positif sur l'intervalle

$]-3\;;\ 2[\cup]3\;;\ +\infty[.$

D'où, l'inéquation

$Q(x)>0$ a pour solution :

$S=]-3\;;\ 2[\cup]3\;;\ +\infty[$

c) Résolvons

$Q(x^{2}+3)=0$

Procédons par changement de variable.

Posons :

$X=x^{2}+3$

Ainsi, résoudre l'équation

$Q(x^{2}+3)=0$ revient tout simplement à résoudre l'équation

$Q(X)=0.$

Or, d'après le résultat de la question

$2\,)\,b)$ , on a

$Q(X)=0$ si, et seulement si,

$X=3\quad\text{ou}\quad X=-3\quad\text{ou}\quad X=2$

Donc, en faisant un retour sur le changement de variable, pour chacun de ces nombres entiers, on obtient :

$\begin{array}{rcl}X=3&\Leftrightarrow&x^{2}+3=3\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=3-3\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\end{array}$

D'où,

$\boxed{S_{1}=\lbrace 0\rbrace}$

$\begin{array}{rcl}X=-3&\Leftrightarrow&x^{2}+3=-3\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=-3-3\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=-6\end{array}$

Ce qui est impossible, car dans

$\mathbb{R}$ , un carré n'est jamais négatif.

D'où,

$\boxed{S_{2}=\emptyset}$

$\begin{array}{rcl}X=2&\Leftrightarrow&x^{2}+3=2\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=2-3\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=-1\end{array}$

Là encore c'est impossible.

D'où,

$\boxed{S_{3}=\emptyset}$

Donc,

$0$ est l'unique valeur de

$x$ vérifiant

$Q(x^{2}+3)=0.$

Par conséquent, l'équation

$Q(x^{2}+3)=0$ a pour solution :

$S=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}=\lbrace 0\rbrace$

Exercice 11

Soit le polynôme

$f(x)$ défini par :

$f(x)=ax^{3}+bx-19x-30$

1) Déterminons

$a\$ et

$\ b$ pour que

$f(x)$ soit factorisable par

$(x^{2}-3x-10)$

On a :

$f(x)$ factorisable par

$(x^{2}-3x-10)$ alors, il existe un polynôme

$Q(x)$ tel que :

$f(x)=Q(x)\cdot(x^{2}-3x-10)$

Par suite, les racines du polynôme

$(x^{2}-3x-10)$ sont aussi racines de

$f(x).$

Cherchons alors les racines du polynôme

$x^{2}-3x-10$

Soit :

$\Delta=(-3)^{2}-4\times(-10)\times 1=9+40=49$

On a :

$x_{1}=\dfrac{3-7}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\$ et

$\ x_{2}=\dfrac{3+7}{2}=\dfrac{10}{2}=5$

Ainsi,

$-2\$ et

$\ 5$ vérifient l'équation

$f(x)=0$

Donc, en remplaçant, on obtient :

$\begin{array}{rcl}\left\lbrace\begin{array}{rcl} a\times(-2)^{3}+b\times(-2)-19\times(-2)-30&=&0\\ \\a\times(5)^{3}+b\times(5)-19\times(5)-30&=&0\end{array}\right.&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} -8a-2b+38-30&=&0\\ \\125a+5b-95-30&=&0\end{array}\right.\\\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} -8a-2b+8&=&0\\ \\125a+5b-125&=&0\end{array}\right.\\\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} -4a-b+4&=&0\quad(1) \\\\25a+b-25&=&0\quad(2)\end{array}\right.\end{array}$

Résolvons le dernier système obtenu.

Ainsi, en additionnant les équation

$(1)\$ et

$\ (2)$ on obtient :

$\begin{array}{rcl} (-4a-b+4)+(25a+b-25)=0&\Rightarrow&21a-21=0\\\\&\Rightarrow&21a=21\\\\&\Rightarrow&a=\dfrac{21}{21}\\\\&\Rightarrow&a=1\end{array}$

En remplaçant la valeur de

$a$ dans l'équation

$(1)$ , on trouve :

$\begin{array}{rcl} -4\times 1-b+4=0&\Rightarrow&-4-b+4=0\\\\&\Rightarrow&b=0\end{array}$

D'où,

$\boxed{a=1\ \text{ et }\ b=0}$

Par conséquent,

$f(x)=x^{3}-19x-30$

2) Résolvons dans

$\mathbb{R}$ l'inéquation

$f(x)\geq 0$

Comme

$f(x)$ est factorisable par

$(x^{2}-3x-10)$ alors, il existe un polynôme

$Q(x)$ tel que :

$f(x)=Q(x)\cdot(x^{2}-3x-10)$

Donc,

$f(x)$ divisible par

$(x^{2}-3x-10)$

Ainsi, par division euclidienne, on obtient :

$\begin{array}{l} \ \ x^{3}-19x-30 \\ -x^{3}+3x^{2}+10x \\ \hline \quad 0+3x^{2}-9x-30 \\ \qquad -3x^{2}+9x+30 \\ \hline\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}-3x-10 \\ \hline x+3 \\ \\ \\\\ \end{array}$

D'où,

$\boxed{Q(x)=x+3}$

Ce qui donne finalement :

$f(x)=(x+3)(x^{2}-3x-10)$

En utilisant le tableau de signes, on obtient :

$\begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x&-\infty&&-3&&-2&&5&&+\infty\\\hline(x+3)&&-&0&+&|&+&|&+&\\\hline(x^{2}-3x-10)&&+&|&+&0&-&0&+&\\\hline f(x)&&-&0&+&0&-&0&+&\\\hline\end{array}$

D'où, l'inéquation

$f(x)\geq 0$ a pour solution :

$S=[-3\;;\ -2]\cup[5\;;\ +\infty[$

Exercice 12

Un polynôme

$x^{2}+px+q$ divisé par

$(x-2)$ a pour reste

$3$ , divisé par

$x$ a pour reste

$5.$

Déterminons les coefficients

$p\$ et

$\ q$ en divisant successivement le polynôme

$x^{2}+px+q$ par

$(x-2)$ et par

$x.$

Par division euclidienne, on a :

$\begin{array}{l} \ \ x^{2}+px+q \\ -x^{2}+2x \\ \hline \quad 0+(p+2)x+q \\ \qquad -(p+2)x+2p+4 \\ \hline\qquad\qquad\ 2p+4+q \end{array}\ \begin{array}{|l} x-2 \\ \hline x+p+2 \\ \\ \\\\ \end{array}$

D'où, le reste

$R_{1}$ de cette division est donné par :

$\boxed{R_{1}=2p+4+q}$

$\begin{array}{l} \ \ x^{2}+px+q \\ -x^{2} \\ \hline \quad 0+px+q \\ \qquad -px \\ \hline\qquad\qquad\ q \end{array}\ \begin{array}{|l} x \\ \hline x+p \\ \\ \\\\ \end{array}$

D'où, le reste

$R_{1}$ de cette division est donné par :

$\boxed{R_{2}=q}$

Par ailleurs, on sait que :

$R_{1}=3\quad\text{et}\quad R_{2}=5$

C'est-à-dire ;

$\left\lbrace\begin{array}{rcl}2p+4+q&=&3\qquad(1)\\\\q&=&5\qquad(2)\end{array}\right.$

Donc, en remplaçant

$q$ par sa valeur, dans la relation

$(1)$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl}2p+4+q=3&\Rightarrow&2p+4+5=3\\\\&\Rightarrow&2p+9=3\\\\&\Rightarrow&2p=3-9\\\\&\Rightarrow&2p=-6\\\\&\Rightarrow&p=-\dfrac{6}{2}\\\\&\Rightarrow&p=-3\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{p=-3\quad\text{et}\quad q=5}$

Par conséquent, ce polynôme est défini par :

$\boxed{x^{2}-3x+5}$

Exercice 13

Soit le polynôme

$P$ défini par

$P(x)=x^{3}-x+2m$

1) Cherchons

$m$ pour que

$P$ soit factorisable par

$(x+1)$

$P$ factorisable par

$(x+1)$ alors, il existe un polynôme

$Q(x)$ tel que :

$f(x)=(x+1)\times Q(x)$

Donc, les racines du polynôme

$(x+1)$ sont aussi racines de

$P.$

Or,

$-1$ annule

$(x+1)$ donc,

$-1$ est aussi racine de

$P(x).$ Ce qui signifie :

$P(-1)=0$

On a alors,

$\begin{array}{rcl} P(-1)=0&\Rightarrow&(-1)^{3}-(-1)+2m=0\\\\&\Rightarrow&-1+1+2m=0\\\\&\Rightarrow&2m=0\\\\&\Rightarrow&m=0\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{m=0}$

Par suite,

$P(x)=x^{3}-x$

2) Trouvons donc le polynôme

$Q$ tel que

$P(x)=(x+1)\times Q(x)$

On a :

$P(x)=(x+1)\times Q(x)$

Donc,

$P(x)$ divisible par

$(x+1)$

Ainsi, par division euclidienne, on obtient :

$\begin{array}{l} \ \ x^{3}-x \\ -x^{3}-x^{2} \\ \hline \quad 0-x^{2}-x \\ \qquad\ \ x^{2}+x \\ \hline\qquad\qquad\ \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x+1 \\ \hline x^{2}-x \\ \\ \\\\ \end{array}$

D'où,

$\boxed{Q(x)=x^{2}-x=x(x-1)}$

3) Pour

$m=0$ , résolvons dans

$\mathbb{R}$

$P(x)=0$

On a :

$\begin{array}{rcl} P(x)=0&\Leftrightarrow&(x+1)\times Q(x)\\\\&\Leftrightarrow&(x+1)\times x(x-1)=0\\\\&\Leftrightarrow&x+1=0\quad\text{ou}\quad x=0\quad\text{ou}\quad x-1=0\\\\&\Leftrightarrow&x=-1\quad\text{ou}\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=1\end{array}$

Par suite,

$\boxed{S=\{-1\;;\ 0\;;\ 1\}}$

$P(x)\geq 0$

Considérons le tableau de signes suivant :

$\begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x&-\infty&&-1&&0&&1&&+\infty\\\hline(x+1)&&-&0&+&|&+&|&+&\\\hline Q(x)&&+&|&+&0&-&0&+&\\\hline P(x)&&-&0&+&0&-&0&+&\\\hline\end{array}$

La solution de l'inéquation

$P(x)\geq 0$ sera alors donnée par :

$S=[-1\;;\ 0]\cup[1\;;\ +\infty[$

Exercice 14

Soit

$P(x)=-2x^{3}+x^{2}+5x+2$

1) Montrons que

$(-1)$ est une racine de

$P$

Pour cela, calculons

$P(-1)$ en remplaçant

$x$ par

$-1$ , dans l'expression de

$P(x).$

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl} P(-1)&=&-2(-1)^{3}+(-1)^{2}+5(-1)+2\\\\&=&2+1-5+2\\\\&=&5-5\\\\&=&0\end{array}$

Donc,

$\boxed{P(-1)=0}$

Ce qui montre que

$-1$ est une racine de

$P.$

2) Factorisons

$P(x)$ puis résolvons

$P(x)=0$

D'après le résultat de la question

$1\,)$ , on a

$-1$ de

$P.$

Ce qui signifie que

$P(x)$ est factorisable par

$(x+1).$

Par conséquent,

$P(x)$ est divisible par

$(x+1).$

Ainsi, il existe un polynôme

$Q(x)$ de degré

$2$ vérifiant :

$P(x)=(x+1)\times Q(x)$

Déterminons alors

$Q(x)$ par division euclidienne.

On a :

$\begin{array}{l} \ \ -2x^{3}+x^{2}+5x+2 \\ \quad\ 2x^{3}+2x^{2} \\ \hline \qquad 0+3x^{2}+5x+2 \\ \qquad\quad -3x^{2}-3x \\ \hline\qquad\qquad\qquad \ 2x+2\\ \qquad\qquad\quad\ -2x-2\\ \hline\qquad\qquad\qquad\quad\ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x+1 \\ \hline -2x^{2}+3x+2 \\\\ \\ \\\\\\\\ \end{array}$

D'où,

$\boxed{Q(x)=-2x^{2}+3x+2}$

Par conséquent,

$P(x)=(x+1)(-2x^{2}+3x+2)$

Alors, pour une factorisation complète, factorisons

$Q(x).$

Soit :

$\begin{array}{rcl}\Delta&=&3^{2}-4\times(-2)\times 2\\\\&=&9+16\\\\&=&25\end{array}$

Donc,

$\boxed{\Delta=25\;,\quad\sqrt{\Delta}=5}$

Ainsi,

$Q$ a deux racines distinctes

$x_{1}\$ et

$\ x_{2}$ telles que :

$\begin{array}{rcl}x_{1}&=&\dfrac{-3-\sqrt{25}}{2\times(-2)}\\\\&=&\dfrac{-3-5}{-4}\\\\&=&\dfrac{-8}{-4}\\\\&=&2\end{array}$

Donc,

$\boxed{x_{1}=2}$

$\begin{array}{rcl}x_{2}&=&\dfrac{-3+\sqrt{25}}{2\times(-2)}\\\\&=&\dfrac{-3+5}{-4}\\\\&=&\dfrac{2}{-4}\\\\&=&-\dfrac{1}{2}\end{array}$

Donc,

$\boxed{x_{2}=-\dfrac{1}{2}}$

Par suite,

$Q(x)=-2(x-2)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$

D'où, une factorisation de

$P(x)$ est donnée par :

$\boxed{P(x)=-2(x+1)(x-2)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}$

Résolvons dans

$\mathbb{R}\;,\ P(x)=0$

En effet, en utilisant la forme factorisée de

$P(x)$ , on a :

$\begin{array}{rcl}P(x)=0&\Leftrightarrow&-2(x+1)(x-2)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0\\\\&\Leftrightarrow&(x+1)(x-2)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0\\\\&\Leftrightarrow&x+1=0\quad\text{ou}\quad x-2=0\quad\text{ou}\quad x+\dfrac{1}{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&x=-1\quad\text{ou}\quad x=2\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{1}{2}\end{array}$

D'où, l'ensemble des solutions

$S$ est donné par :

$\boxed{S=\left\lbrace -1\;;\ -\dfrac{1}{2}\;;\ 2\right\rbrace}$

3) Résolvons dans

$\mathbb{R}$

$-2(x^{2}-1)^{3}+(x^{2}-1)^{2}+5(x^{2}-1)+2=0$

Par analogie à la question

$2\,)$ , cela revient donc à résoudre l'équation :

$P(x^{2}-1)=0$

Effectuons alors un changement de variable.

Posons :

$X=x^{2}-1$

L'équation devient donc :

$-2X^{3}+X^{2}+5X+2=0$

Ainsi, résoudre l'équation

$P(x^{2}-1)=0$ revient tout simplement à résoudre l'équation

$P(X)=0.$

Or, d'après le résultat de la question

$2\,))$ , on a

$P(X)=0$ si, et seulement si,

$X=-1\quad\text{ou}\quad X=-\dfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad X=2$

Donc, en faisant un retour sur le changement de variable, pour chacun de ces nombres réels, on obtient :

$\begin{array}{rcl}X=-1&\Leftrightarrow&x^{2}-1=-1\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=-1+1\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\end{array}$

D'où,

$\boxed{S_{1}=\lbrace 0\rbrace}$

$\begin{array}{rcl}X=-\dfrac{1}{2}&\Leftrightarrow&x^{2}-1=-\dfrac{1}{2}\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=-\dfrac{1}{2}+1\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=\dfrac{1}{2}\\\\&\Leftrightarrow&x=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\quad\text{ou}\quad x=-\sqrt{\dfrac{1}{2}}\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{S_{2}=\left\lbrace -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\;;\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right\rbrace}$

$\begin{array}{rcl}X=2&\Leftrightarrow&x^{2}-1=2\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=2+1\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=3\\\\&\Leftrightarrow&x=\sqrt{3}\quad\text{ou}\quad x=-\sqrt{3}\end{array}$

D'où,

$\boxed{S_{3}=\left\lbrace -\sqrt{3}\;;\ \sqrt{3}\right\rbrace}$

Par conséquent, l'équation

$P(x^{2}-1)=0$ a pour solution :

$\boxed{S=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}=\left\lbrace 0\;;\ -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\;;\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\;;\ -\sqrt{3}\;;\ \sqrt{3}\right\rbrace}$

Exercice 15

Déterminons

$a\$ et

$\ b$ pour que

$x^{5}+ax^{4}+b$ soit divisible par

$(x-1)^{2}.$

En effet,

$x^{5}+ax^{4}+b$ est divisible par

$(x-1)^{2}$ si, et seulement si, les racines de

$(x-1)^{2}$ sont aussi racines de

$x^{5}+ax^{4}+b.$

De plus, le resta de la division de

$x^{5}+ax^{4}+b$ par

$(x-1)^{2}$ est égal à

$0.$

Comme

$1$ est racine de

$(x-1)^{2}$ alors,

$1$ est aussi racine de

$x^{5}+ax^{4}+b.$

Ce qui se traduit par :

$1^{5}+a\times 1^{4}+b=0$

D'où,

$\boxed{a+b+1=0\qquad(1)}$

Par ailleurs, on a :

$(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1$

Donc, par division euclidienne, on obtient :

$\begin{array}{l} \ \ x^{5}+ax^{4}+b \\ -x^{5}+2x^{4}-x^{3} \\ \hline\ (a+2)x^{4}-x^{3}+b\\ -(a+2)x^{4}+(2a+4)x^{3}-(a+2)x^{2} \\ \hline\ (2a+3)x^{3}-(a+2)x^{2}+b\\ -(2a+3)x^{3}+(4a+6)x^{2}-(2a+3)x\\ \hline\ (3a+4)x^{2}-(2a+3)x+b\\ -(3a+4)x^{2}+(6a+8)x-(3a+4)\\ \hline\qquad\qquad\qquad (4a+5)x-(3a+4)+b \end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}-2x+1 \\ \hline x^{3}+(a+2)x^{2}+(2a+3)x+(3a+4) \\\\\\ \\\\ \\\\\\\\ \end{array}$

Ainsi, le reste

$R(x)$ de la division euclidienne du polynôme

$x^{5}+ax^{4}+b$ par

$(x-1)^{2}$ est donné par :

$\boxed{R(x)=(4a+5)x-(3a+4)+b}$

Alors,

$x^{5}+ax^{4}+b$ est divisible par

$(x-1)^{2}$ si, et seulement si, le reste

$R(x)$ est égal à

$0.$

Or, un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls.

Ce qui se traduit par :

$R(x)=0\ \Leftrightarrow\ \left\lbrace\begin{array}{rcl}(4a+5)&=&0\qquad(2)\\\\-(3a+4)+b&=&0\qquad(3)\end{array}\right.$

En résolvant ce système d'équation à deux inconnues, on trouve

$a\$ et

$\ b.$

Considérons l'équation

$(2).$

On a :

$\begin{array}{rcl}4a+5=0&\Leftrightarrow&4a=-5\\\\&\Leftrightarrow&a=-\dfrac{5}{4}\end{array}$

Donc,

$\boxed{a=-\dfrac{5}{4}}$

Pour déterminer

$b$ , remplaçons cette valeur de

$a$ dans l'équation

$(3).$

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl}-(3a+4)+b=0&\Leftrightarrow&b=3a+4\\\\&\Leftrightarrow&b=3\left(-\dfrac{5}{4}\right)+4\\\\&\Leftrightarrow&b=-\dfrac{15}{4}+\dfrac{16}{4}\\\\&\Leftrightarrow&b=\dfrac{1}{4}\end{array}$

Donc,

$\boxed{b=\dfrac{1}{4}}$

Vérification

D'après l'équation

$(1)$ , on a :

$a+b+1=0$

En remplaçant les valeurs de

$a\$ et

$\ b$ dans l'équation

$(1)$ , on obtient :

$-\dfrac{5}{4}+\dfrac{1}{4}+1=-\dfrac{4}{4}+1=-1+1=0$

Ce qui montre que ces valeurs de

$a\$ et

$\ b$ vérifient bien l'équation

$(1).$

Par conséquent, le polynôme

$x^{5}+ax^{4}+b$ , divisible par

$(x-1)^{2}$ , est défini par :

$\boxed{x^{5}-\dfrac{5}{4}x^{4}+\dfrac{1}{4}}$

Exercice 16

1) Déterminons les réels

$p\$ et

$\ q$ pour que

$x^{4}+px^{2}+q$ soit divisible par

$x^{2}-6x+5$

En effet, le polynôme

$x^{4}+px^{2}+q$ est divisible par

$x^{2}-6x+5$ si, et seulement si, les racines du polynôme

$x^{2}-6x+5$ sont aussi racines de

$x^{4}+px^{2}+q.$

Cherchons alors les racines du polynôme

$x^{2}-6x+5.$

Soit :

$\begin{array}{rcl}\Delta&=&(-6)^{2}-4\times 1\times 5\\\\&=&36-20\\\\&=&16\end{array}$

Donc,

$\boxed{\Delta=16\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=4}$

Ainsi, le polynôme

$x^{2}-6x+5$ admet deux racines distinctes ;

$x_{1}\$ et

$\ x_{2}$ telles que :

$\begin{array}{rcl}x_{1}&=&\dfrac{-(-6)-\sqrt{\Delta}}{2}\\\\&=&\dfrac{6-4}{2}\\\\&=&\dfrac{2}{2}\\\\&=&1\end{array}$

D'où,

$\boxed{x_{1}=1}$

$\begin{array}{rcl}x_{2}&=&\dfrac{-(-6)+\sqrt{\Delta}}{2}\\\\&=&\dfrac{6+4}{2}\\\\&=&\dfrac{10}{2}\\\\&=&5\end{array}$

D'où,

$\boxed{x_{2}=5}$

Par conséquent,

$1\$ et

$\ 5$ sont aussi racines du polynôme

$x^{4}+px^{2}+q.$

Ce qui signifie que

$1\$ et

$\ 5$ annulent ce polynôme.

Ainsi, en remplaçant

$x$ par

$1$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl}1^{4}+p\times 1^{2}+q=0&\Leftrightarrow&1+p+q=0\\\\&\Leftrightarrow&p+q+1=0\end{array}$

D'où,

$\boxed{p+q+1=0\qquad(1)}$

De la même manière, en remplaçant

$x$ par

$5$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl}5^{4}+p\times 5^{2}+q=0&\Leftrightarrow&625+p\times 25+q=0\\\\&\Leftrightarrow&25p+q+625=0\end{array}$

Donc,

$\boxed{25p+q+625=0\qquad(2)}$

Considérons alors le système d'équations à deux inconnues suivant, formé des équations

$(1)\$ et

$\ (2)\ :$

$\left\lbrace\begin{array}{rcl}p+q+1&=&0\qquad(1)\\\\25p+q+625&=&0\qquad(2)\end{array}\right.$

En résolvant ce système, on trouve alors les coefficients

$p\$ et

$\ q.$

En effet, multiplions d'abord l'équation

$(1)$ par

$-1.$

Le système devient alors :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl}-p-q-1&=&0\qquad(3)\\\\25p+q+625&=&0\qquad(2)\end{array}\right.$

Additionnons ensuite, membre à membre, les équations

$(3)\$ et

$\ (2)$ du nouveau système.

On obtient :

$\begin{array}{rcl}-p-q-1+25p+q+625=0&\Leftrightarrow&24p+624=0\\\\&\Leftrightarrow&24p=-624\\\\&\Leftrightarrow&p=-\dfrac{624}{24}\\\\&\Leftrightarrow&p=-26\end{array}$

Donc,

$\boxed{p=-26}$

Enfin, en remplaçant cette valeur de

$p$ dans l'équation

$(1)$ , on trouve :

$\begin{array}{rcl}-26+q+1=0&\Leftrightarrow&-25+q=0\\\\&\Leftrightarrow&q=25\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{q=25}$

D'où, le polynôme

$x^{4}+px^{2}+q$ divisible par

$x^{2}-6x+5$ est défini par :

$\boxed{x^{4}-26x^{2}+25}$

2) Pour les valeurs de

$p\$ et

$\ q$ ainsi trouvées, en déduisons les solutions de l'équation :

$x^{4}+px^{2}+q=0$

D'après le résultat de la question

$1\,)$ , on a

$x^{4}-26x^{2}+25$ divisible par

$x^{2}-6x+5.$

Donc, il existe un polynôme

$Q(x)$ tel que :

$x^{4}-26x^{2}+25=(x^{2}-6x+5)\times Q(x)$

Ainsi, par division euclidienne, on obtient :

$\begin{array}{l} \ \ x^{4}-26x^{2}+25 \\ -x^{4}+6x^{3}-5x^{2} \\ \hline \quad 6x^{3}-31x^{2}+25 \\ \ -6x^{3}+36x^{2}-30x\\ \hline \quad\quad 5x^{2}-30x+25\\ \ \quad -5x^{2}+30x-25\\\hline\qquad\qquad\qquad \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}-6x+5 \\ \hline x^{2}+6x+5 \\ \\\\\\\\ \\ \\ \end{array}$

D'où,

$\boxed{Q(x)=x^{2}+6x+5}$

Factorisons alors

$Q(x).$

On a :

$\begin{array}{rcl}\Delta&=&6^{2}-4\times 1\times 5\\\\&=&36-20\\\\&=&16\end{array}$

Donc,

$\boxed{\Delta=16\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=4}$

Ainsi, le polynôme

$Q(x)$ admet deux racines distinctes

$x_{1}\$ et

$\ x_{2}$ données par :

$\begin{array}{rcl}x_{1}&=&\dfrac{-6-\sqrt{\Delta}}{2}\\\\&=&\dfrac{-6-4}{2}\\\\&=&\dfrac{-10}{2}\\\\&=&-5\end{array}$

D'où,

$\boxed{x_{1}=-5}$

$\begin{array}{rcl}x_{2}&=&\dfrac{-6+\sqrt{\Delta}}{2}\\\\&=&\dfrac{-6+4}{2}\\\\&=&\dfrac{-2}{2}\\\\&=&-1\end{array}$

D'où,

$\boxed{x_{2}=-1}$

Ainsi, la forme factorisée de

$Q(x)$ est donnée par :

$Q(x)=(x+1)(x+5)$

Par ailleurs, d'après le résultat de la question

$1\,)$ , on a

$1\$ et

$\ 5$ racines du polynôme

$x^{2}-6x+5.$

Donc, sa forme factorisée est donnée par :

$x^{2}-6x+5=(x-1)(x-5)$

Par conséquent, la forme factorisée du polynôme

$x^{4}-26x^{2}+25$ est :

$\boxed{x^{4}-26x^{2}+25=(x-1)(x-5)(x+1)(x+5)}$

Utilisons alors cette forme factorisée pour résoudre l'équation :

$x^{4}-26x^{2}+25=0$

On a :

$\begin{array}{rcl}x^{4}-26x^{2}+25=0&\Leftrightarrow&(x-1)(x-5)(x+1)(x+5)=0\\\\&\Leftrightarrow&x-1=0\quad\text{ou}\quad x-5=0\quad\text{ou}\quad x+1=0\quad\text{ou}\quad x+5=0\\\\&\Leftrightarrow&x=1\quad\text{ou}\quad x=5\quad\text{ou}\quad x=-1\quad\text{ou}\quad x=-5\end{array}$

D'où, l'ensemble des solutions

$S$ est donné par :

$S=\left\lbrace -1\;;\ -5\;;\ 1\;;\ 5\right\rbrace$

Exercice 17

Déterminons l'ensemble de définition de :

$f(x)=\dfrac{2x+1}{x^{2}-4x}$

Rappelons que l'ensemble de définition de

$f(x)$ est l'ensemble

$D_{f}$ tel que :

$D_{f}=\left\lbrace x\in\mathbb{R}\;;\ (x^{2}-4x)\neq 0\right\rbrace=\mathbb{R}\setminus S$

où,

$S$ est l'ensemble des solutions de l'équation

$x^{2}-4x=0$

Donc, pour déterminer

$D_{f}$ on peut procéder comme suit : déterminer d'abord

$S$ puis, faire

$D_{f}=\mathbb{R}\setminus S$

Soit alors :

$\begin{array}{rcl}x^{2}-4x=0&\Leftrightarrow&x(x-4)=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\quad\text{ou}\quad x-4=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\quad\text{ou}\quad x=4\end{array}$

Ainsi, l'ensemble des solutions

$S$ est donné par :

$S=\left\lbrace 0\;;\ 4\right\rbrace$

D'où,

$\boxed{D_{f}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace 0\;;\ 4\right\rbrace}$

Déterminons l'ensemble de définition de :

$g(x)=\dfrac{x^{2}-4x}{x^{2}+1}$

Soit

$S$ l'ensemble des solutions de l'équation

$x^{2}+1=0.$

Déterminons alors

$S.$

On a :

$\begin{array}{rcl}x^{2}+1=0&\Leftrightarrow&x^{2}=-1\end{array}$

Ce qui est impossible car, dans

$\mathbb{R}$ , un carré n'est jamais négatif.

Donc, il n'existe pas de réel

$x$ vérifiant :

$x^{2}+1=0.$

Par conséquent,

$S=\emptyset$

D'où, l'ensemble de définition de

$g(x)$ est donné par :

$\boxed{D_{g}=\mathbb{R}\setminus\emptyset=\mathbb{R}}$

Déterminons l'ensemble de définition de :

$h(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-4x+3}$

Pour cela, déterminons d'abord l'ensemble

$S$ des solutions de l'équation

$x^{2}-4x+3=0.$

Soit :

$\begin{array}{rcl}\Delta&=&(-4)^{2}-4\times 1\times 3\\\\&=&16-12\\\\&=&4\end{array}$

Donc,

$\boxed{\Delta=4\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=2}$

Ainsi, l'équation

$x^{2}-4x+3=0$ admet deux solutions distinctes

$x_{1}\$ et

$\ x_{2}$ telles que :

$\begin{array}{rcl}x_{1}&=&\dfrac{-(-4)-\sqrt{\Delta}}{2}\\\\&=&\dfrac{4-2}{2}\\\\&=&\dfrac{2}{2}\\\\&=&1\end{array}$

D'où,

$\boxed{x_{1}=1}$

$\begin{array}{rcl}x_{2}&=&\dfrac{-(-4)+\sqrt{\Delta}}{2}\\\\&=&\dfrac{4+2}{2}\\\\&=&\dfrac{6}{2}\\\\&=&3\end{array}$

D'où,

$\boxed{x_{2}=3}$

Ainsi, l'ensemble

$S$ des solutions de l'équation

$x^{2}-4x+3=0$ est donné par :

$S=\left\lbrace 1\;;\ 3\right\rbrace$

Par conséquent, l'ensemble de définition de

$h(x)$ est :

$\boxed{D_{h}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace 1\;;\ 3\right\rbrace}$

Exercice 18

Soient les polynômes

$P\;,\ R\$ et

$\ Q$ définis par :

$P(x)\ :\ 2x^{3}+ax^{2}+x+2$

$R(x)\ :\ cx^{3}+bx^{2}+dx-3$

$Q(x)\ :\ (2x+1)(x+3)-(4x+1)(b-x)$

1) a) Trouvons le réel

$a$ pour que

$2$ soit racine de

$P.$

En effet,

$2$ est racine de

$P$ si, et seulement si,

$2$ annule

$P(x)$ ; c'est-à-dire,

$P(2)=0.$

Donc, dans l'expression de

$P(x)$ , remplaçons

$x$ par

$2$ puis, calculons

$P(2)=0.$

On a :

$\begin{array}{rcl}P(2)=0&\Leftrightarrow&2\times 2^{3}+a\times 2^{2}+2+2=0\\\\&\Leftrightarrow&2\times 8+a\times 4+4=0\\\\&\Leftrightarrow&16+4a+4=0\\\\&\Leftrightarrow&4a+20=0\\\\&\Leftrightarrow&4a=-20\\\\&\Leftrightarrow&a=-\dfrac{20}{4}\\\\&\Leftrightarrow&a=-5\end{array}$

D'où,

$\boxed{a=-5}$

Par conséquent,

$\boxed{P(x)=2x^{3}-5x^{2}+x+2}$

b) En déduisons la factorisation complète de

$P(x)$

D'après le résultat de la question

$1\,)\,a)$ , on a

$2$ racine de

$P.$

Cela signifie que

$P(x)$ est divisible par

$(x-2).$

Donc, il existe un polynôme

$A(x)$ de degré

$2$ tel que :

$P(x)=(x-2)\times A(x)$

Ainsi, par division euclidienne, on a :

$\begin{array}{l} \ \ 2x^{3}-5x^{2}+x+2 \\ -2x^{3}+4x^{2} \\ \hline \qquad -x^{2}+x+2 \\ \qquad\quad x^{2}-2x+2\\ \hline \qquad\qquad\quad -x+2\\ \ \qquad\qquad\quad\ x-2\\\hline\qquad\qquad\qquad\quad \ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} x-2 \\ \hline 2x^{2}-x-1 \\ \\\\\\\\ \\ \\ \end{array}$

D'où,

$\boxed{A(x)=2x^{2}-x-1}$

Donc, on a :

$P(x)=(x-2)\times(2x^{2}-x-1)$

Par suite, pour une factorisation complète de

$P(x)$ , nous allons essayer de factoriser

$A(x).$

On a :

$\begin{array}{rcl}\Delta&=&(-1)^{2}-4\times 2\times(-1)\\\\&=&1+8\\\\&=&9\end{array}$

Donc,

$\boxed{\Delta=9\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=3}$

Ainsi, le polynôme

$A(x)$ admet deux racines distinctes

$x_{1}\$ et

$\ x_{2}$ définies par :

$\begin{array}{rcl}x_{1}&=&\dfrac{-(-1)-\sqrt{\Delta}}{2\times 2}\\\\&=&\dfrac{1-3}{4}\\\\&=&\dfrac{-2}{4}\\\\&=&-\dfrac{1}{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{x_{1}=-\dfrac{1}{2}}$

$\begin{array}{rcl}x_{2}&=&\dfrac{-(-1)+\sqrt{\Delta}}{2\times 2}\\\\&=&\dfrac{1+3}{4}\\\\&=&\dfrac{4}{4}\\\\&=&1\end{array}$

D'où,

$\boxed{x_{2}=1}$

Ainsi, la forme factorisée de

$A(x)$ est donnée par :

$A(x)=2(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$

Par conséquent, la factorisation complète de

$P(x)$ est donnée par :

$\boxed{P(x)=2(x-2)(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}$

2) Trouvons les réels

$b\;,\ c\$ et

$\ d$ pour que

$R(x)\$ et

$\ Q(x)$ soient égaux.

En effet, d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes, on a

$R(x)=Q(x)$ si, et seulement si, les monômes de même degré semblable à

$R(x)\$ et

$\ Q(x)$ ont même coefficient.

Soit :

$R(x)=cx^{3}+bx^{2}+dx-3\$ et

$\ Q(x)=(2x+1)(x+3)-(4x+1)(b-x).$

Donnons d'abord la forme développée de

$Qx).$

On a :

$\begin{array}{rcl}Q(x)&=&(2x+1)(x+3)-(4x+1)(b-x)\\\\&=&(2x^{2}+6x+x+3)-(4bx-4x^{2}+b-x)\\\\&=&2x^{2}+7x+3-[-4x^{2}+(4b-1)x+b]\\\\&=&2x^{2}+7x+3+4x^{2}-(4b-1)x-b\\\\&=&6x^{2}+[7-(4b-1)]x-b+3\\\\&=&6x^{2}+(7-4b+1)x-b+3\\\\&=&6x^{2}+(8-4b)x-b+3\end{array}$

Donc,

$\boxed{Q(x)=6x^{2}+(8-4b)x-b+3}$

Par suite, en appliquant la propriété d'égalité de deux polynômes, on obtient :

$\begin{array}{rcl}R(x)=Q(x)&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl}c&=&0\\\\b&=&6\\\\d&=&8-4b\\\\-3&=&-b+3\end{array}\right.\\\\&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl}c&=&0\\\\b&=&6\\\\d&=&8-4\times 6\end{array}\right.\\\\&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl}c&=&0\\\\b&=&6\\\\d&=&8-24\end{array}\right.\\\\&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl}c&=&0\\\\b&=&6\\\\d&=&-16\end{array}\right.\end{array}$

D'où,

$\boxed{b=6\;;\ c=0\;;\ d=-16}$

3) Soit la fraction rationnelle

$T$ définie par :

$T(x)=\dfrac{2x^{3}-5x^{2}+x+2}{-2x^{2}+8x-8}$

a) Déterminons l'ensemble de définition de

$T(x)$

Soit

$D_{T}$ l'ensemble de définition de

$T(x).$

Alors, par définition, on a :

$D_{T}=\mathbb{R}\setminus S$

où,

$S$ est l'ensemble des solutions de l'équation

$-2x^{2}+8x-8=0.$

Déterminons alors

$S$ en résolvant l'équation

$-2x^{2}+8x-8=0.$

On a :

$\begin{array}{rcl}-2x^{2}+8x-8=0&\Leftrightarrow&-2(x^{2}-4x+4)=0\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}-4x+4=0\\\\&\Leftrightarrow&(x-2)^{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&x-2=0\\\\&\Leftrightarrow&x=2\end{array}$

Ainsi, l'ensemble

$S$ des solutions de l'équation

$-2x^{2}+8x-8=0$ est donné par :

$S=\left\lbrace 2\right\rbrace$

Par conséquent, l'ensemble de définition de

$T(x)$ est :

$\boxed{D_{T}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace 2\right\rbrace}$

b) Simplifions

$T(x)$

En effet, dans l'expression de

$T(x)$ , nous pouvons remarquer que le numérateur est égal

$P(x).$

Donc, en considérant la forme factorisée de

$P(x)$ , on a :

$T(x)=\dfrac{2(x-2)(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{-2x^{2}+8x-8}$

Par ailleurs, concernant le dénominateur de

$T(x)$ , on peut écrire :

$\begin{array}{rcl}-2x^{2}+8x-8&=&-2(x^{2}-4x+4)\\\\&=&-2(x-2)^{2}\end{array}$

Donc,

$\boxed{-2x^{2}+8x-8=-2(x-2)^{2}}$

Ainsi, en remplaçant

$-2x^{2}+8x-8$ par sa forme factorisée, dans l'expression de

$T(x)$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl}T(x)&=&\dfrac{2(x-2)(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{-2(x-2)^{2}}\\\\&=&\dfrac{(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{-(x-2)}\\\\&=&-\dfrac{(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{x-2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{T(x)=-\dfrac{(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{x-2}}$

c) Résolvons alors l'équation

$T(x)=0$ et l'inéquation

$T(x)<0$

Soit à résoudre l'équation

$T(x)=0.$

Considérons alors la forme simplifiée de

$T(x).$

On a :

$\begin{array}{rcl}T(x)=0&\Leftrightarrow&-\dfrac{(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{x-2}=0\\\\&\Leftrightarrow&-(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0\\\\&\Leftrightarrow&(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0\\\\&\Leftrightarrow&x-1=0\quad\text{ou}\quad x+\dfrac{1}{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&x=1\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{1}{2}\end{array}$

D'où, l'ensemble

$S$ des solutions de l'équation

$T(x)=0$ est donné par :

$\boxed{S=\left\lbrace-\dfrac{1}{2}\;;\ 1\right\rbrace}$

Résolvons l'inéquation

$T(x)<0.$

Là encore, nous allons considérer la forme simplifiée de

$T(x).$

Donc,

$T(x)<0\ \Leftrightarrow\ -\dfrac{(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{x-2}<0$

Cherchons le signe de

$T(x)$ en considérant le tableau de signes suivant :

$\begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x&-\infty&&-\dfrac{1}{2}&&1&&2&&+\infty\\\hline (-1)&&-&|&-&|&-&|&-&\\\hline (x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)&&+&0&-&0&+&|&+&\\\hline (x-2)&&-&|&-&|&-&0&+&\\\hline T(x)&&+&0&-&0&+&\|&-&\\\hline\end{array}$

D'après le tableau,

$T(x)$ est strictement négatif sur l'intervalle

$]-3\;;\ 2[\cup]3\;;\ +\infty[.$

D'où, l'inéquation

$T(x)<0$ a pour solution :

$S=\left]-\dfrac{1}{2}\;;\ 1\right[\cup\left]2\;;\ +\infty\right[$

Exercice 19

Soit

$f(x)=\dfrac{x^{3}+4x^{2}+5x+3}{x^{2}+3x+2}$

1) Déterminons

$D_{f}$

Par définition, on a :

$D_{f}=\mathbb{R}\setminus S$

où,

$S$ est l'ensemble des solutions de l'équation

$x^{2}+3x+2=0.$

Déterminons alors

$S$ en résolvant l'équation

$x^{2}+3x+2=0.$

Soit :

$\begin{array}{rcl}\Delta&=&3^{2}-4\times 2\times 1\\\\&=&9-8\\\\&=&1\end{array}$

Donc,

$\boxed{\Delta=1\ \Rightarrow\ \sqrt{\Delta}=1}$

Ainsi, l'équation

$x^{2}+3x+2=0$ admet deux solutions distinctes

$x_{1}\$ et

$\ x_{2}$ données par :

$\begin{array}{rcl}x_{1}&=&\dfrac{-3-\sqrt{\Delta}}{2\times 1}\\\\&=&\dfrac{-3-1}{2}\\\\&=&\dfrac{-4}{2}\\\\&=&-2\end{array}$

D'où,

$\boxed{x_{1}=-2}$

$\begin{array}{rcl}x_{2}&=&\dfrac{-3+\sqrt{\Delta}}{2\times 1}\\\\&=&\dfrac{-3+1}{2}\\\\&=&\dfrac{-2}{2}\\\\&=&-1\end{array}$

D'où,

$\boxed{x_{2}=-1}$

Par suite, l'ensemble

$S$ des solutions de l'équation

$x^{2}+3x+2=0$ est donné par :

$S=\left\lbrace -2\;;\ -1\right\rbrace$

Par conséquent, l'ensemble de définition de

$f(x)$ est :

$\boxed{D_{f}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace -2\;;\ -1\right\rbrace}$

2) Montrons qu'il existe quatre réels

$a\;,\ b\;,\ c\$ et

$\ d$ tels que :

$f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{d}{x+2}$

En effet, dans le numérateur de

$f(x)$ , en remplaçant

$x$ par

$-1$ , on trouve

$1.$

$(-1)^{3}+4(-1)^{2}+5(-1)+3=-1+4-5+3=1$

Cela signifie que

$-1$ n'est pas racine de ce polynôme et par conséquent,

$x^{3}+4x^{2}+5x+3$ n'est pas divisible par

$x^{2}+3x+2.$

Donc, il existe deux polynômes

$Q(x)\$ et

$\ R(x)$ tels que :

$x^{3}+4x^{2}+5x+3=(x^{2}+3x+2)\times Q(x)+R(x)$

Par suite,

$f(x)=Q(x)+\dfrac{R(x)}{x^{2}+3x+2}$

Par division euclidienne, déterminons alors

$Q(x)\$ et

$R\ (x).$

On a :

$\begin{array}{l} \ \ x^{3}+4x^{2}+5x+3 \\ -x^{3}-3x^{2}-2x \\ \hline \qquad\qquad x^{2}+3x+3 \\ \qquad\quad -x^{2}-3x-2\\ \hline \qquad\qquad\qquad\qquad 1\end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}+3x+2 \\ \hline x+1 \\ \\ \\ \\ \end{array}$

D'où,

$\boxed{Q(x)=x+1\quad\text{et}\quad R(x)=1}$

Ainsi,

$\boxed{a=1\quad\text{et}\quad b=1}$

Trouvons

$c\$ et

$\ d.$

En effet,

$-1\$ et

$\ -2$ étant les racines du polynôme

$x^{2}+3x+2$ alors, par factorisation, on a :

$x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)$

Donc,

$f(x)=x+1+\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}$

Par suite,

$\begin{array}{rcl}f(x)=x+1+\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{d}{x+2}&\Leftrightarrow&x+1+\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{d}{x+2}=x+1+\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{d}{x+2}=\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{c(x+2)}{(x+1)(x+2)}+\dfrac{d(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{cx+2c+dx+d}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&cx+2c+dx+d=1\\\\&\Leftrightarrow&(c+d)x+2c+d=1\\\\&\Leftrightarrow&(c+d)x+2c+d-1=0\end{array}$

Donc,

$\boxed{(c+d)x+2c+d-1=0}$

Or, on sait que un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls.

Ainsi, on obtient le système d'équations suivant :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl}c+d&=&0\qquad(1)\\\\2c+d-1&=&0\qquad(2)\end{array}\right.$

En résolvant ce système, on trouve les valeurs de

$c\$ et

$\ d.$

Alors, en multipliant l'équation

$(1)$ par

$-1$ , on obtient :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl}-c-d&=&0\qquad(3)\\\\2c+d-1&=&0\qquad(2)\end{array}\right.$

En additionnant, membre à membre, les équations

$(3)\$ et

$\ (2)$ , on trouve :

$\begin{array}{rcl}-c-d+2c+d-1=0&\Leftrightarrow&c-1=0\\\\&\Leftrightarrow&c=1\end{array}$

D'où,

$\boxed{c=1}$

En remplaçant cette valeur de

$c$ dans l'équation

$(1)$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl}1+d=0&\Leftrightarrow&d=-1\end{array}$

D'où,

$\boxed{d=-1}$

Par conséquent,

$\boxed{f(x)=x+1+\dfrac{1}{(x+1)}-\dfrac{1}{(x+2)}}$

Exercice 20

1) Déterminons

$a\$ et

$\ b$ pour que :

$\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}$

On a :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{a(x+1)}{x(x+1)}+\dfrac{bx}{x(x+1)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{a(x+1)+bx}{x(x+1)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{ax+a+bx}{x(x+1)}\\\\&\Leftrightarrow&ax+bx+a=1\\\\&\Leftrightarrow&(a+b)x+a=1\\\\&\Leftrightarrow&(a+b)x+a-1=0\end{array}$

Donc,

$\boxed{(a+b)x+a-1=0}$

Or, on sait que un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls.

Ce qui se traduit par :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl}a+b&=&0\qquad(1)\\\\a-1&=&0\qquad(2)\end{array}\right.$

En résolvant ce système, on trouve les valeurs de

$a\$ et

$\ b.$

D'après l'équation

$(2)$ , on trouve :

$\boxed{a=1}$

En remplaçant cette de

$a$ , dans l'équation

$(1)$ , on trouve :

$\boxed{b=-1}$

D'où,

$\boxed{\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}}$

En déduire la valeur de

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\ldots\ldots+\dfrac{1}{99\times 100}$

En effet, d'après le résultat qui précède, on a :

$\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}$

Alors, appliquons

$99$ fois l'égalité

$\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}.$

Pour cela, remplaçons

$x$ successivement par

$1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ldots\ldots\;,\ 99$ dans l'égalité

$\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}.$

On obtient :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{1\times 2}&=&\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\\\\\dfrac{1}{2\times 3}&=&\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{1}{3\times 4}&=&\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\\\\\dfrac{1}{4\times 5}&=&\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\\\\\ldots&\ldots&\ldots\quad\ldots\\\\\ldots&\ldots&\ldots\quad\ldots\\\\\dfrac{1}{99\times 100}&=&\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\end{array}\right.$

Par suite, en additionnant membre à membre ces

$99$ égalités, on obtient :

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\ldots\ldots+\dfrac{1}{99\times 100}=\require{cancel}\left(\dfrac{1}{1}-\cancel{\dfrac{1}{2}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{2}}-\cancel{\dfrac{1}{3}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{3}}-\cancel{\dfrac{1}{4}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{4}}-\cancel{\dfrac{1}{5}}\right)\ldots+\left(\cancel{\dfrac{1}{99}}-\dfrac{1}{100}\right)$

En simplifiant, on trouve :

$\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\ldots\ldots+\dfrac{1}{99\times 100}&=&1-\dfrac{1}{100}\\\\&=&\dfrac{100}{100}-\dfrac{1}{100}\\\\&=&\dfrac{99}{100}\\\\&=&0.99\end{array}$

D'où,

$\boxed{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\ldots\ldots+\dfrac{1}{99\times 100}=0.99}$

2) Déterminons

$a\;,\ b\$ et

$\ c$ pour que :

$\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x+2}$

On a :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x+2}&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{a(x+1)(x+2)}{x(x+1)(x+2)}+\dfrac{bx(x+2)}{x(x+1)(x+2)}+\dfrac{cx(x+1)}{x(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{a(x+1)(x+2)+bx(x+2)+cx(x+1)}{x(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{ax^{2}+3ax+2a+bx^{2}+2bx+cx^{2}+cx}{x(x+1)(x+2)}\\\\&\Leftrightarrow&ax^{2}+3ax+2a+bx^{2}+2bx+cx^{2}+cx=1\\\\&\Leftrightarrow&(a+b+c)x^{2}+(3a+2b+c)x+2a=1\\\\&\Leftrightarrow&(a+b+c)x^{2}+(3a+2b+c)x+2a-1=0\end{array}$

Donc,

$\boxed{(a+b+c)x^{2}+(3a+2b+c)x+2a-1=0}$

Comme un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls alors, on a :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl}a+b+c&=&0\qquad(1)\\\\3a+2b+c&=&0\qquad(2)\\\\2a-1&=&0\qquad(3)\end{array}\right.$

En résolvant ce système, on trouve les valeurs de

$a\;,\ b$ et

$\ c.$

D'après l'équation

$(3)$ , on a :

$\boxed{a=\dfrac{1}{2}}$

Remplaçons alors cette valeur de

$a$ dans les équations

$(1)\$ et

$\ (2)$ puis multiplions l'équation

$(1)$ par

$-1.$

On obtient :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl}-\dfrac{1}{2}-b-c&=&0\qquad(4)\\\\\dfrac{3}{2}+2b+c&=&0\qquad(2)\end{array}\right.$

En additionnant, membre à membre, les équations

$(4)\$ et

$\ (2)$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl}-\dfrac{1}{2}-b-c+\dfrac{3}{2}+2b+c=0&\Leftrightarrow&\dfrac{2}{2}+b=0\\\\&\Leftrightarrow&1+b=0\\\\&\Leftrightarrow&b=-1\end{array}$

D'où,

$\boxed{b=-1}$

En remplaçant cette valeur de

$c$ dans l'équation

$(1)$ , on trouve :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{1}{2}-1+c=0&\Leftrightarrow&-\dfrac{1}{2}+c=0\\\\&\Leftrightarrow&c=\dfrac{1}{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{c=\dfrac{1}{2}}$

Par conséquent,

$\boxed{\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2(x+2)}}$

Auteur:

Diny Faye