Solution des exercices : Dynamique - Ts
Classe:
Terminale
Exercice 1

1) a) Vitesse du solide $(S)$ en $B$, en $C$ et en $D$
$-\ $ Système étudié : le solide $(S)$
$-\ $ Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen
$-\ $ Bilan des forces appliquées : le poids $\vec{P}$ et la réaction $\vec{R}$ du plan
Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit entre :
$\bullet\ $ les points $A\ $ et $\ B\ :$
$ $
$ $
$\bullet\ $ les points $C\ $ et $\ D\ :$
$ $
b) Intensité de la force $\vec{R}$ exercée par la piste sur le solide $(S)$ en $C$ et en $D$
$-\ $ Système étudié : le solide
$-\ $ Référentiel : terrestre supposé galiléen
$-\ $ Bilan des forces appliquées : le poids $\vec{P}$ du solide ; la réaction de la piste $\vec{R}$
$-\ $ Le théorème du centre d'inertie s'écrit : $\vec{P}+\vec{R}=m\vec{a}$
Dans le repère de Frenet $\left(M\;,\ \vec{u}_{t}\;,\ \vec{u}_{n}\right)$
suivant $\vec{u}_{n}\ :$
$ $
$ $
c) Caractéristiques du vecteur vitesse $\vec{V}_{D}$ du solide $(S)$ au point $D$
$-\ $ Point d'application : le point $D$
$-\ $ Direction : tangente à la trajectoire au point $D$
$-\ $ Sens : dirigé vers le haut
$-\ $ Intensité : $v_{D}=3.0\;m\cdot s^{-1}$
2) a) Équation cartésienne de la trajectoire du mouvement de $(S)$
Le solide est soumis à son poids $\vec{P}$ ; dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le théorème du centre d'inertie appliqué au solide $(S)$ s'écrit :
$ \right.\end{array}$
$\dfrac{\mathrm{d}\vec{V}}{\mathrm{d}t}=\vec{a}\ \Rightarrow\ \left\lbrace \right.$
Or, $\ \left\lbrace \right.$
Donc, $\overrightarrow{V}\left\lbrace \right.$
Par suite,
$ \right.\\&\Rightarrow&\left\lbrace \right.\\&\Rightarrow&\left\lbrace \right.\end{array}$
$(1)\ \Rightarrow\ x=(V_{D}\cos\theta)t\ \Rightarrow\ t=\dfrac{x}{V_{D}\cos\theta}$
$(1)$ dans $(2)$ entraine :
$z=-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{V_{D}\cos\theta}\right)^{2}+(V_{D}\sin\theta)\left(\dfrac{x}{V_{D}\cos\theta}\right)+h+r(1-\cos\theta)$
$\boxed{\Rightarrow\;z=-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{V_{D}^{2}\cos^{2}\theta}+x\tan\theta+h+r(1-\cos\theta)}$
b) Hauteur $H$ au-dessus du sol horizontal
$\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=-g\dfrac{x}{V_{D}^{2}\cos^{2}\theta}+\tan\theta=0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{V_{D}^{2}\cos^{2}\theta}{g}\tan\theta$
Donc,
$ $
c) Calcul de la distance OP où P est le point d'impact du solide $(S)$ sur le sol horizontal
$ $
$\Rightarrow\;\boxed{z_{1}=4.0\,m}$
$z_{2}=\dfrac{-\tan\theta+\sqrt{\tan\theta^{2}+2g\left(\dfrac{h+r(1-\cos\theta)}{V_{D}^{2}\cos\theta^{2}}\right)}}{g}V_{D}^{2}\cos\theta^{2}$
$\Rightarrow\;z_{2}<0$ ;
Cette solution n'a pas de sens physique
3) a) Expression algébrique du travail $W_{\vec{f}}$ de la force en fonction de $m$, $g$, $R$ et $\alpha$

Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit entre $A\ $ et $\ D$
$E_{C_{D}}-E_{C_{A}}=W_{AD}(\vec{P})+W_{AD}(\vec{R})+W_{AD}(\vec{f})$
Donc, $0-0=mgr\cos\theta+0+W_{AD}(\vec{f})$
Ce qui donne : $W_{AD}(\vec{f})=-mgr\cos\theta$
Calcul $W_{\vec{f}}$
$ $
b) Intensité de la force $\vec{f}$
$ $
Exercice 2
1) Détermination des composantes de l'accélération de la bombe
$-\ $ Système : la bombe
$-\ $ Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen
$-\ $ Bilan des forces appliquées : $\overrightarrow{P}$
La relation fondamentale de la dynamique appliquée à la bombe s'écrit :
$ \right.\end{array}$
$ \right.\end{array}$
Or $\left\lbrace \right.$
$\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{V}\Rightarrow\overrightarrow{OM}\left\lbrace \right.$
$\left\lbrace \right.$
3) Équation de la trajectoire de la bombe
$x=v_{0}t\Rightarrow\;t=\dfrac{x}{v_{0}}$ et comme $y=\dfrac{1}{2}gt^{2}$
$\Rightarrow\;y=\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{v_{0}}\right)^{2}\Rightarrow\;y=\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{v_{0}^{2}}$
4) La position du véhicule par rapport à l'origine $O$
Le théorème du centre d'inertie s'écrit :
$ $
Détermination de la date d'arrivée de la bombe au véhicule.
$t=\dfrac{x}{v_{0}}=\dfrac{8000}{400}\Rightarrow\;t=20s$
5) Position de l'avion à la date d'arrivée de la bombe au véhicule
$x=v_{0}t=400\times 20=8000\,m$
6) Détermination des caractéristiques du vecteur vitesse de la bombe à $1000\,m$ au-dessus du sol.
$-\ $ Direction : tangent à la trajectoire au point considéré
$-\ $ Sens : dirigé vers le sol
$-\ $ Valeur :
$ $
Exercice 3

1) Calcul de la valeur de l'angle $\alpha.$
$-\ $ Système : La bille
$-\ $ Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen
$-\ $ Bilan des forces appliquées : le poids $\overrightarrow{P}$ et la tension $\overrightarrow{T}$ du fil
Le théorème de l'énergie cinétique entre $M_{1}$ et $M_{2}$ s'écrit :
$ $
2) Calcul la vitesse de la bille
La conservation de la quantité de mouvement : $m_{1}\overrightarrow{v}+\overrightarrow{0}=m_{1}\overrightarrow{v'_{1}}+m_{2}\overrightarrow{v_{A}}$
Suivant le sens de $\overrightarrow{v'_{1}}$ :
$ $
3) a) Expression, en fonction de $g$, $r$, $\beta$ et $v_{A}$, de la vitesse de la bille $M_{2}$ au point $I$
$-\ $ Système : Le pendule
$-\ $ Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen
$-\ $ Bilan des forces appliquées : le poids $\overrightarrow{P}$
Le théorème de l'énergie cinétique entre $A$ et $I$ s'écrit :
$ $
b) Expression, en fonction de $m_{2}$, $g$, $r$, $\beta$ et $v_{A}$, de l'intensité de la réaction de la piste sur la bille $M_{2}$ au point $I$
Le théorème du centre d'inertie appliqué à la bille soumise à son poids et la réaction de la piste, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, s'écrit : $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R}=m_{2}\overrightarrow{a}$
Projection dans le repère de Frenet $(I\;,\ \overrightarrow{u_{t}}\;,\ \overrightarrow{u_{n}})$ et suivant $\overrightarrow{u_{n}}$ :
$ $
c) Calcul de la valeur de $r.$
$v_{I}=\sqrt{v_{A}^{2}-2gr\cos\beta}$
$ $
4) a) Équation cartésienne de la trajectoire de la bille $M_{2}$
$-\ $ Système : La bille
$-\ $ Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen
$-\ $ Bilan des forces appliquées : le poids $\overrightarrow{P}$
Le théorème du centre d'inertie s'écrit :
$ \\Rightarrow\overrightarrow{a}\left\lbrace \right.$
$\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{V}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{a}$
$\Rightarrow\overrightarrow{V}\left\lbrace \right.$
$\Rightarrow\overrightarrow{V}(t=0)\left\lbrace \right.$
$\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{V}\Rightarrow\overrightarrow{OM}\left\lbrace \right.$
$\Rightarrow\overrightarrow{OM}(t=0)\left\lbrace \right.$
$ $
b) Calcul de la distance $OE$
La distance $OE$ correspond à la portée ; donc : $y=0$
$ $
Exercice 4

1. Signe de la tension $U_{CD}$
Pour que les protons chargés positivement soient accélérés, il faut que les plaques $P_{1}$ et $P_{2}$ soient respectivement chargées positivement et négativement.
La tension $U_{CD}$ est donc de signe positif
2.1 Expression de la vitesse d'un proton en $D$ en fonction de $U$, $e$ et $m_{p}$
$-\ $ Système : le proton
$-\ $ Référentiel d'étude : de laboratoire supposé galiléen
$-\ $ Bilan des forces appliquées : le poids $\overrightarrow{P}$ et la force électrique $\overrightarrow{F}$
Le théorème de l'énergie cinétique appliqué à l'électron entre $C$ et $D$ s'écrit :
$ $
L'énergie cinétique se conserve donc entre $D$ et $O$
3.2 Équations du mouvement d'un proton
$-\ $ Système : le proton
$-\ $ Référentiel d'étude : de laboratoire supposé galiléen
$-\ $ Bilan des forces appliquées : la force électrique $\overrightarrow{F}$ et le poids $\overrightarrow{P}$ négligeable devant la force électrique $\overrightarrow{F}$
Le théorème du centre d'inertie s'écrit :
$ \\Rightarrow\overrightarrow{a}\left\lbrace \right.$
$\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{V}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{a}$
$\Rightarrow\overrightarrow{V}\left\lbrace \right.$
$\Rightarrow\overrightarrow{V}(t=0)\left\lbrace \right.$
$\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{V}\Rightarrow\overrightarrow{OM}\left\lbrace \right.$
$\Rightarrow\overrightarrow{OM}(t=0)\left\lbrace \right.$
3.3 Vérifions que l'équation de la trajectoire peut s'écrire :
$y=-\dfrac{U'}{4\mathrm{d}U}x^{2}$
$x=v_{D}t\Rightarrow\;t=\dfrac{x}{v_{D}}$
comme $y=-\dfrac{1}{2}\dfrac{eE}{m_{p}}t^{2}$
$\Rightarrow\;y=-\dfrac{1}{2}\dfrac{eE}{m_{p}}\left(\dfrac{x}{v_{D}}\right)=-\dfrac{1}{2}\dfrac{eE}{m_{p}}\dfrac{x^{2}}{v_{D}^{2}}$ ;
$ $
3.4 Les protons sortent du champ électrostatique $\overrightarrow{E}$ sans heurter la plaque $P_{4}$ si :
$y=-\dfrac{1}{4}\dfrac{U'}{\mathrm{d}U}l^{2}<-\dfrac{\mathrm{d}}{2}$
3.5 Détermination de $U'$
Les protons sortent du champ par le point $S$
$ $
4.1 Représentation de la trajectoire (voir figure).
4.2 Expression littérale de la déviation $O'J$ du spot sur l'écran.
$ $
Exercice 5
1) Détermination des lois horaires du mouvement
$-\ $ Système étudié : la bille
$-\ $ Référentiel : terrestre supposé galiléen
$-\ $ Bilan des forces appliquées : le poids P de la bille
$-\ $ La deuxième de Newton s'écrit :
$ \\Rightarrow\overrightarrow{a}\left\lbrace \right.$
$\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{V}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{a}$
$\Rightarrow\overrightarrow{V}\left\lbrace \right.$
$\text{Or }\left\lbrace \right.$
$\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{V}\Rightarrow\overrightarrow{OM}\left\lbrace \right.$
$\Rightarrow\left\lbrace \right.$
$(1)\qquad\Rightarrow\;x=(V_{0}\sin\alpha)t\Rightarrow\;t=\dfrac{x}{V_{0}\sin\alpha}$
$\text{Dans }(2)\Rightarrow\;y=-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{V_{0}\sin\alpha}{2}\right)^{2}+V_{0}\cos\alpha\times\dfrac{x}{V_{0}\sin\alpha}$
$\Rightarrow\;y=-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{V_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}+x\cot\,g\alpha$
3) a) Temps pendant lequel la bille s'élève avant de descendre
La composante $V_{y}$ du vecteur vitesse est nulle
$ $
b) Vitesse à la fin de cette phase ascendante
$ $
4) Altitude maximale atteinte par la bille
$y_{max}=-\dfrac{1}{2}gt^{2}+(V_{0}\cos\alpha)t$
$\text{or }t=\dfrac{V_{0}\cos\alpha}{g}\Rightarrow\;y_{max}=-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{V_{0}\cos\alpha}{g}\right)^{2}+(V_{0}\cos\alpha)\times\dfrac{V_{0}\cos\alpha}{g}$
$\Rightarrow\;y_{max}=\dfrac{V_{0}\cos^{2}\alpha}{2g}=\dfrac{16^{2}\cos^{2}50}{2\times 9.8}$
$\Rightarrow\;y_{max}=5.4\,m$
5) a) Détermination de la distance $OP$
C'est l'abscisse d'ordonnée nulle
$ $
$ $
b) Valeur de $\alpha$ pour laquelle $OP$ est maximale
$x_{p}$ est maximale lorsque $\sin 2\alpha=1\Rightarrow\;2\alpha=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{4}$
6) Montrons qu'il y a deux angles de tir $\alpha_{1}$ et $\alpha_{2}$ permettant d'atteindre $Q$
$ $
$ $
$\alpha_{1}=7807^{\circ}\text{ et }\alpha_{2}=11.3^{\circ}$
Exercice 6
I. La trajectoire balistique de $C$ vers $T$
a) Un référentiel galiléen est un référentiel dans le lequel le principe de l'inertie est vérifié.
b) Bilan des forces qui s'exercent sur la balle

Le poids de la balle est la seule force qui s'exerce sur la balle.
La balle tombe en chute libre
c) Équations horaires de la vitesse et de la position de la balle $B.$
$-\ $ Système étudié : la bille
$-\ $ Référentiel : terrestre supposé galiléen
$-\ $ Bilan des forces appliquées : le poids $\overrightarrow{P}$ de la balle
Le théorème du centre d'inertie s'écrit :
$ \\Rightarrow\overrightarrow{a}\left\lbrace \right.$
$\Rightarrow\overrightarrow{V}\left\lbrace \right.$
d) Équation $z(x)$ de la trajectoire de la balle $B.$
$(1)\qquad\Rightarrow\;x=V_{0}t\Rightarrow\;t=\dfrac{x}{V_{0}}$
$\text{Dans }(2)\Rightarrow\;z=-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{V_{0}}\right)^{2}+z_{C}$
$\Rightarrow\;z=-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{V_{0}^{2}}+z_{C}$
e) Abscisse $x_{T}$ du trou $T$ pour que la balle tombe directement dedans
La balle tombe dans lorsque :
$ $
f) Détermination la date $t_{F}$ à laquelle la balle B tombe dans le trou
$ $
II. Le mouvement sur la rampe
a) Détermination la hauteur $z_{A}$ de $A$ nécessaire pour que la balle arrive en $C.$
Le théorème de l'énergie cinétique appliqué à la balle entre $A$ et $C$
$ $
b) la vitesse est horizontale du fait qu'elle est tangente à la trajectoire au point $C.$
Exercice 7
1) a) Montrons que la trajectoire est plane
$-\ $ Système : La balle
-
$-\ $ Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen
$-\ $ Bilan des forces appliquées : le poids $\overrightarrow{P}$
Le théorème du centre d'inertie s'écrit :
$ \\Rightarrow\overrightarrow{a}\left\lbrace \right.$
$\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{V}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{a}$
$\Rightarrow\overrightarrow{V}\left\lbrace \right.$
$\overrightarrow{V}(t=0)\left\lbrace \right.$
$\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{V}\Rightarrow\overrightarrow{OM}\left\lbrace \right.$
$(1)\qquad\Rightarrow\;x=(V_{0}\sin\alpha)t\Rightarrow\;t=\dfrac{x}{V_{0}\sin\alpha}$
$\text{Dans }(2)\Rightarrow\;y=-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{V_{0}\sin\alpha}\right)^{2}+V_{0}\cos\alpha\times\dfrac{x}{V_{0}\sin\alpha}$
$\Rightarrow\;y=-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{V_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}+x\cot\,g\alpha$
Quelque soit $t$, $z=0$, la trajectoire est plane et se fait dans le plan $(xOy)$
b) Équation de cette trajectoire
On obtient cette équation en éliminant $t$ entre $x$ et $y$ :
$ $
c) Valeur de $V_{0}$ pour que le panier soit réussi
Le panier est réussi si $x=7.1\,m$ et $y=3\,m$
$ $
d) Durée du trajet effectué par le ballon du point $A$ au point $C$
$ $
2) Vérifions si le panier sera marqué ou non
$ $
Le panier sera marqué
Exercice 8
Partie A
1) a) Représentation des forces qui s'exercent sur le solide.
b) Expression de l'accélération $a$ du solide $(S_{1})$
$-\ $ Système : Le solide $(S_{1})$
$-\ $ Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen
$-\ $ Bilan des forces appliquées : le poids $\overrightarrow{P}$ et la réaction $\overrightarrow{R}$ du plan.
Le théorème du centre d'inertie s'écrit :
$\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R}=m_{1}\overrightarrow{a}$
Projection suivant l'axe $x'x$ :
$m_{1}g\sin\alpha=10\times\sin 30\Rightarrow\alpha=5\,m\cdot s^{-2}$
Le mouvement du solide $(S_{1})$ est uniformément accéléré
Calcul de $a$ :

$a=g\sin\alpha=10\times\sin 30\Rightarrow\;a=5\,m\cdot s^{-2}$
2) a) Calcul de la valeur de la vitesse $V_{B}$
$ $
b) Calcul de la durée $t_{B}$ du trajet $AB$
$V_{B}=at_{B}\Rightarrow\;t_{B}=\dfrac{V_{B}}{a}=\dfrac{5}{5}$
$\Rightarrow\;t_{B}=1s$
Partie B

1) a) Expression de l'accélération $a$ du système
La deuxième loi de Newton s'écrit :
$-\ $ Pour le solide $(S_{1})$ :
$\overrightarrow{f}+\overrightarrow{P_{1}}+\overrightarrow{R}+\overrightarrow{T_{1}}=m_{1}\overrightarrow{a_{1}}$
Suivant $x'x$ :
$-f-m_{1}g\sin\alpha+0+T_{1}=m_{1}a_{1}\Rightarrow\;T_{1}=m_{1}g\sin\alpha+m_{1}a_{1}$
$-\ $ Pour le solide $(S_{2})$ :
$\overrightarrow{P_{2}}+\overrightarrow{T_{2}}=m_{2}\overrightarrow{a_{2}}$
Suivant $y'y$ :
$m_{2}g-T_{2}=m_{2}a_{2}\Rightarrow\;T_{2}=m_{2}g-m_{2}a_{2}$
Les forces de frottement sont négligeables au niveau de la poulie :
$T_{1}=T'_{1}=T_{2}=T'_{2}$
$\Rightarrow\;m_{1}g\sin\alpha+m_{1}a_{1}+f=m_{2}g-m_{2}a_{2}$
Le fil est inextensible, l'accélération est la même en tout du fil :
$a_{1}=a_{2}=a$
$\Rightarrow(m_{1}+m_{2})a=(m_{2}-m_{1}\sin\alpha)g-f$
$\Rightarrow\;a=\dfrac{(m_{2}-m_{1}\sin\alpha)g-f}{(m_{1}+m_{2})}$
$m_{2}=m_{1}\Rightarrow\;a=\dfrac{m_{1}(1-\sin\alpha)g-f}{2m_{1}}$
$\Rightarrow\;a=(1-\sin\alpha)g-\dfrac{f}{2m_{1}}$
b) Calcul de $a$
$ $
2) Calcul de $v_{C}$
$v_{C}=at_{C}=4.5\times 1\Rightarrow\;v_{C}=4.5\,m\cdot s^{-1}$
3) a) Expression de la nouvelle accélération $a_{1}$ du solide $(S_{1})$ après la coupure du fil
La deuxième loi de Newton s'écrit :
$\overrightarrow{f}+\overrightarrow{P_{1}}+\overrightarrow{R}=m_{1}\overrightarrow{a_{1}}$
Suivant $x'x$ :
$ $
Le mouvement du solide $(S_{1})$ est uniformément varié
b) Calcul de la distance maximale $($par rapport au point $C)$ parcourue par le solide $(S_{1})$
$ $
Exercice 9
I. 1) a) Expression littérale des lois horaires $x(t)$ et $z(t)$ du mouvement de la balle
Système étudié : la balle
Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen
Bilan des forces appliquées : $\overrightarrow{P}$
Le théorème du centre d'inertie s'écrit :
$ \right. \\&\Rightarrow&\vec{v}\left\lbrace \right.\\&\Rightarrow&\overrightarrow{OM}\left\lbrace \right.\end{array}$
b) Équation de la trajectoire de la balle
$x=\left(v_{0}\cos\alpha\right)t$ ;
$z=-\dfrac{1}{2}gt^{2}+\left(v_{0}\sin\alpha\right)t+h$
En éliminant t entre les deux équations, il vient :
$ $
2) Calcul des coordonnées du point $S$ le plus élevé atteint par la balle.
Lorsque la balle atteint le point $S$ le plus élevé, la vitesse se réduit à sa composante horizontale
$ \right. \\&\Rightarrow&\overrightarrow{OS}\left\lbrace \right. \\&\Rightarrow&\overrightarrow{OS}\left\lbrace \right. \\ú&\Rightarrow&S\;(5.1m\ ;\ 5.3m) \end{array}$
$z=-\dfrac{1}{2}g\dfrac{x^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}+x\tan\alpha+h$
$ $
2) Vérifions si la balle franchira le filet oui ou non
$ $
la balle a franchi le filet.
3) Distance derrière le filet où retombe la balle sur le sol.
$ $
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