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Les nombres décimaux arithmétiques 6e

Classe:

Sixième

I. Nombres entiers naturels

I.1 Vocabulaire

Activité 1 :

Parmi les nombres suivants, quels sont les nombres entiers naturels :

25; 6; 4; \frac{4}{7}; 87; 468; 98; 45; 5 964

$25\;;\ 6\;;\ 4\;;\ \dfrac{4}{7}\;;\ 87\;;\ 468\;;\ 98\;;\ 45\;;\ 5\,964$

Solution

Les nombres :

25; 6; 4; 87; 468; 98; 45

$25\;;\ 6\;;\ 4\;;\ 87\;;\ 468\;;\ 98\;;\ 45\$ et

5964

$\ 5964$ sont des nombres entiers naturels.

Activité 2 :

Parmi les personnes suivantes quelles sont celles qui utilisent les nombres entiers naturels uniquement:

1) Le berger qui compte ses vaches

2) La couturière qui prend les mesures d'un habit en mètre

3) Le menuisier qui mesure les dimensions d'une table en mètre

4) La vendeuse de fruits qui compte ses mangues

Solution

Le berger et la vendeuse de fruits utilisent les nombres entiers naturels uniquement.

Pour compter des objets ou des êtres ; on utilise des nombres entiers naturels.

Exemple :

73

$73$ livres,

54

$54$ élèves,

3

$3$ écoles,

7

$7$ classes,

4

$4$ salles,

20

$20$ table-bancs,

8

$8$ cahiers

Lorsqu'on compte, on utilise des nombres entier naturels successifs;on dit qu'ils sont consécutifs.

Exemple :

{1; 2; 3; 4; 5; 6; 6; 7; 8; 9; 10}

$\{1\;;\ 2\;;\ 3\;;\ 4\;;\ 5\;;\ 6\;;\ 6\;;\ 7\;;\ 8\;;\ 9\;;\ 10\}$

{40; 41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 48; 49; 50; 51; 52; 53}

$\{40\;;\ 41\;;\ 42\;;\ 43\;;\ 44\;;\ 45\;; 46\;;\ 47\;;\ 48\;;\ 49\;;\ 50\;;\ 51\;;\ 52\;;\ 53\}$

Activité 3 :

Soit le nombre

1 253 445 930.

$1\,253\,445\,930.$

Quels sont les chiffres qui forment ce nombre ?

Représentez l'ensemble

A

$A$ des chiffres de ce nombre.

Solution

Les chiffres qui forment ce nombre sont :

0; 1; 2; 3; 4; 5

$0\;;\ 1\;;\ 2\;;\ 3\;;\ 4\;;\ 5\$ et

9

$\ 9$

L'ensemble

A

$A$ des chiffres de ce nombre est donné par :

A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 9}

$A=\{0\;;\ 1\;;\ 2\;;\ 3\;;\ 4\;;\ 5\;;\ 9\}$

Donc, les chiffres qui forment ce nombre sont les éléments de l'ensemble

A .

$A.$

N.B : Dans un ensemble ; un élément est représenté une et une seule fois.

I.2 Notation

L'ensemble des nombres entiers naturels est noté

N

$\mathbb{N}$ .

7

$7$ est un nombre entier naturel donc un élément de

N .

$\mathbb{N}.$

On dit que

5

$5$ appartient à

N

$\mathbb{N}$ et on note

5 \in N

$5\in\mathbb{N}$

Exemples :

49 \in N; 45 \in N

$49\in\mathbb{N}\;;\ 45\in\mathbb{N}$

7

$7$ n'est pas un élément de

A

$A$ ; on dit que

7

$7$ n'appartient pas à

A

$A$ et on note :

7 \notin A

$7\notin A$

A

$A$ est formé par des nombres entiers naturels appartenant tous à

N

$\mathbb{N}$ ; on dit que

A

$A$ est un sous-ensemble de

N

$\mathbb{N}$ ou

A

$A$ est inclus dans

N

$\mathbb{N}$ et on note

A \subset N

$A\subset\mathbb{N}$

Donc on a :

A

$A$ est un sous ensemble de

N

$\mathbb{N}$

Soit :

B = {2; 8.7; 13; 7; 68.4; 4778}

$B=\{2\;;\ 8.7\;;\ 13\;;\ 7\;;\ 68.4\;;\ 4778\}$

B

$B$ renferme des éléments n'appartenant pas à

N

$\mathbb{N}$ donc

B

$B$ n'est pas un sous ensemble de

N .

$\mathbb{N}.$

On dit que

B

$B$ n'est pas inclus dans

N

$\mathbb{N}$ et note :

B ⊄ N

$B\not\subset\mathbb{N}$

I.3 Écriture en lettres

Exemples :

7 =

$7=$ sept

13 =

$13=$ treize

17 =

$17=$ dix-sept

47 =

$47=$ quarante-sept

87 =

$87=$ quatre-vingt-sept

98 =

$98=$ quatre-vingt-dix-huit

100 =

$100=$ cent

200 =

$200=$ deux cents

230 =

$230=$ deux cent trente

8 000 =

$8\,000=$ huit mille

3 785 =

$3\,785=$ trois mille sept cent quatre-vingt-cinq

2 946 97 =

$2\,946\,97=$ deux cent quatre-vingt-quatorze mille sept cent quatre-vingt-dix-sept

Remarque :

Mille est invariable ; il ne prend jamais de

" s "

$"s"$

Vingt et cent prennent

" s "

$"s"$ lorsqu'ils sont multipliés et placés à la fin de l'écriture d'un nombre.

I.4 Numération de position

537 = 500 + 30 + 7

$537=500+30+7$

5 =

$5=$ centaines

3 =

$3=$ dizaines

7 =

$7=$ unités

28 695 = 20 000 + 8 000 + 600 + 90 + 5

$28\,695=20\,000+8\,000+600+90+5$

2 =

$2=$ dizaines de milliers

8 =

$8=$ unités de milliers=milliers

6 =

$6=$ centaines

9 =

$9=$ dizaines

5 =

$5=$ unités

Exemples :

45 078 893 536 = \underset{M I L L I A R D S}{\underset{⏟}{45}} \underset{M I L L I O N S}{\underset{⏟}{078}} \underset{M I L L I E R S}{\underset{⏟}{893}} \underset{U N I T E S}{\underset{⏟}{536}}

$45\,078\,893\,536=\underbrace{45}_{MILLIARDS}\quad\underbrace{078}_{MILLIONS}\quad\underbrace{893}_{MILLIERS}\quad\underbrace{536}_{UNITES}$

II. Nombres décimaux arithmétiques

II.1 Vocabulaire

Activité :

Écrire le nombre suivant sous la forme d'une addition de deux nombres ou deux parties différentes :

147.12

$147.12$

Solution

On a :

147.12 = 147 + 0.12

$147.12=147+0.12$

Un nombre décimal arithmétique est un nombre qui comprend une partie entière et une partie décimale séparée par une virgule.

Exemples :

1.4 {\begin{cases} 1 & = & partie entière \\ 0.4 & = & partie décimale \end{cases}

$1.4\left\lbrace\begin{array}{lll} 1 &=& \text{partie entière} \\ 0.4 &=& \text{partie décimale} \end{array}\right.$

147.12 {\begin{cases} 147 & = & partie entière \\ 0.12 & = & partie décimale \end{cases}

$147.12\left\lbrace\begin{array}{lll} 147 &=& \text{partie entière} \\ 0.12 &=& \text{partie décimale} \end{array}\right.$

194 {\begin{cases} 194 & = & partie entière \\ 0 & = & partie décimale \end{cases}

$194\left\lbrace\begin{array}{lll} 194 &=& \text{partie entière}\\ 0 &=& \text{partie décimale} \end{array}\right.$

0.901 {\begin{cases} 0 & = & partie entière \\ 0.901 & = & partie décimale \end{cases}

$0.901\left\lbrace\begin{array}{lll} 0 &=& \text{partie entière} \\ 0.901 &=& \text{partie décimale} \end{array}\right.$

300.120 {\begin{cases} 300 & = & partie entière \\ 0.120 = 0.12 & = & partie décimale \end{cases}

$300.120\left\lbrace\begin{array}{lll} 300 &=& \text{partie entière}\\ 0.120 = 0.12 &=& \text{partie décimale}\end{array}\right.$

II.2 Notation

L'ensemble des nombres décimaux arithmétiques est noté

D

$\mathcal{D}$ ou

D .

$\mathfrak{D}.$

Lorsque la partie décimale d'un nombre arithmétique est nulle ; on obtient un nombre entier naturel. On dit que

N

$\mathbb{N}$ est inclus dans

D

$\mathfrak{D}$ et on note

N \subset D

$\mathbb{N}\subset\mathfrak{D}$

II.3 Numération de position

652.17 = \underset{C E N T A I N E S}{\underset{⏟}{600}} + \underset{D I Z A I N E S}{\underset{⏟}{50}} + \underset{U N I T E S}{\underset{⏟}{2}} + \underset{D I X I E M E S}{\underset{⏟}{0.1}} + \underset{C E N T I E M E S}{\underset{⏟}{0.07}}

$\,652.17=\underbrace{600}_{CENTAINES}+\underbrace{50}_{DIZAINES}+\underbrace{2}_{UNITES}+\underbrace{0.1}_{DIXIEMES}+\underbrace{0.07}_{CENTIEMES}$

II.4 Écriture en lettres

0.901 {\begin{cases} +zéro virgule neuf cent-un \\ +neuf cent-un millième \end{cases}

$0.901\left\lbrace\begin{array}{ll}\text{+zéro virgule neuf cent-un}\\ \text{+neuf cent-un millième} \end{array}\right.$

55.75 {\begin{cases} +cinquante-cinq virgule soixante-quinze \\ +cinquante-cinq unités et soixante-quinze centièmes \end{cases}

$55.75\left\lbrace\begin{array}{ll}\text{+cinquante-cinq virgule soixante-quinze}\\ \text{+cinquante-cinq unités et soixante-quinze centièmes} \end{array}\right.$

1 648.7 {\begin{cases} +mille six cent quarante-huit virgule sept \\ +mille six cent qurante-huit unité et sept dixièmes \end{cases}

$1\,648.7\left\lbrace\begin{array}{ll}\text{+mille six cent quarante-huit virgule sept}\\ \text{+mille six cent qurante-huit unité et sept dixièmes} \end{array}\right.$

II.5 Comparaison

Le signe

"="

$"="$ est utilisé pour comparer deux nombres décimaux arithmétiques qui ont la même valeur.

Exemples :

4.5 = 4.50; 17 = 17; 83.746 = 83.74600

$4.5=4.50\;;\quad 17=17\;;\quad 83.746=83.74600$

Si deux nombres décimaux arithmétiques n'ont pas la même valeur;on utilise le signe

\neq

$\neq$ pour les comparer.

Exemples :

739 \neq 76; 17.17 \neq 17.171; 21.89 \neq 89.21

$739\neq 76\;;\quad 17.17\neq 17.171\;;\quad 21.89\neq 89.21$

Deux nombres différents présentent deux cas d'inégalités:

Une supériorité lorsque le premier est plus grand que le deuxième; on utilise le signe

">"

$">"$

Exemples :

53.23 > 23.23; 728 > 546; 267 > 134.2638; 987.53 > 456

$53.23>23.23\;;\quad 728>546\;;\quad 267>134.2638\;;\quad 987.53>456$

Une infériorité lorsque le deuxième est plus petit que le premier;on utilise le signe

"<"

$"<"$

Exemples :

7.637 < 7.639; 889 < 2978.889; 10.0009 < 10.009

$7.637<7.639\;;\quad 889<2978.889\;;\quad 10.0009<10.009$

Pour comparer deux nombres décimaux arithmétiques ; on compare leur partie entière en allant de la gauche vers la droite et en comparant les chiffres de même rang.

Si les parties entières sont égales ; on compare les parties décimales en allant de la gauche vers la droites

Exercice d'application :

Comparer les nombres suivants pris deux à deux :

267.01

$267.01\$ et

247.01

$\ 247.01$ ;

241.09

$241.09\$ et

241.1

$\ 241.1$ ;

673.89

$673.89\$ et

673.9

$\ 673.9$ ;

37

$37\$ et

16

$\ 16$ ;

16

$16\$ et

37

$\ 37$

Solution

On a :

267.01 > 247.01

$267.01>247.01$

241.09 < 241.1

$241.09<241.1$

673.89 < 673.9

$673.89<673.9$

37 > 16

$37>16$

16 < 37

$16<37$

III. Utilisation des symboles $\cup\$ et $\ \cap$

Activité :

Soient les ensembles:

A = {1; 3; 4; 6; 8; 9} B = {1; 3; 5; 7; 9; 10; 17}

$A=\{ 1\;;\ 3\;;\ 4\;;\ 6\;;\ 8\;;\ 9\}\quad B=\{ 1\;;\ 3\;;\ 5\;;\ 7\;;\ 9\;;\ 10\;;\ 17\}$

Représenter l'ensemble

C

$C$ des éléments appartenant à la fois à

A

$A$ et à

B .

$B.$

Représenter l'ensemble

D

$D$ des éléments appartenant à

A

$A$ ou à

B .

$B.$

Solution :

C = {1; 3; 9} D = {1; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 17}

$C=\{1\;;\ 3\;;\ 9\}\quad D=\{ 1\;;\ 3\;;\ 4\;;\ 5\;;\ 6\;;\ 7\;;\ 8\;;\ 9\;;\ 10\;;\ 17\}$

L'ensemble

C

$C$ est l'intersection de

A

$A$ et

B

$B$ ; on note :

A \cap B = C

$A\cap B=C$

L'ensemble

D

$D$ est l'union de

A

$A$ et

B

$B$ ; on note :

A \cup B = D

$A\cup B=D$

IV. Ensembles particuliers

Un ensemble qui est constitué d'un seul élément est un singleton

Exemples

A = {1}; B = {0.42}; C = {689}

$A=\{1\}\;;\ B=\{0.42\}\;;\ C=\{689\}$

Un ensemble qui n'a pas d'éléments est un ensemble vide ; on le note :

\emptyset ou {\emptyset}

$\emptyset\; \text{ ou }\;\{\emptyset\}$

Commentaires

Thiam (non vérifié)

ven, 10/19/2018 - 05:51

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Merci

PDF c'est encore formidable

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Anonyme (non vérifié)

jeu, 11/15/2018 - 12:30

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Cours vraiment clair

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LASSANA DIAKHATE (non vérifié)

ven, 01/25/2019 - 01:56

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bon je trouve les cours tres

bon je trouve les cours tres interessant mais si vous pouvez les mettre sous forme Pdf ,ça sera mieux

répondre

Abdou (non vérifié)

ven, 10/18/2019 - 02:40

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Bon cours

répondre

Abdou (non vérifié)

ven, 10/18/2019 - 02:42

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Bon cours

répondre

Alphousseyni SEYDI (non vérifié)

sam, 04/04/2020 - 16:55

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FELICITATION

FELICITATION MES COLLEGUES POUR CE TRAVAIL REMARQUABLE

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Anonyme (non vérifié)

mer, 09/16/2020 - 14:43

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Merci pour les cours

répondre

Sylvestre Fereira (non vérifié)

sam, 11/14/2020 - 13:39

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Cours très intéressant et

Cours très intéressant et bien libellés. Merci

répondre

Mame less Ndiaye (non vérifié)

lun, 12/21/2020 - 09:01

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Contribution

Merci pour le partage! 55.75 est égal à 55 unités + 75 centièmes

répondre

Anonyme (non vérifié)

ven, 08/12/2022 - 12:40

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pour cours de vacances

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Anonyme (non vérifié)

ven, 08/12/2022 - 12:44

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pour cours de vacances

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Marianne (non vérifié)

mar, 09/20/2022 - 12:05

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Cours trés clair et facile de

Cours trés clair et facile de compréhension

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Anonyme (non vérifié)

sam, 10/07/2023 - 15:04

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MERCI

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Anonyme (non vérifié)

mer, 10/30/2024 - 21:54

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j'ai bien compri vos activité

j'ai bien compri vos activité que celle de mon metre

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I. Nombres entiers naturels

I.1 Vocabulaire

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I.2 Notation

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I.3 Écriture en lettres

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Remarque :

I.4 Numération de position

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II. Nombres décimaux arithmétiques

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II.2 Notation

II.3 Numération de position

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II.5 Comparaison

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III. Utilisation des symboles ∪ ∪ \cup\ et ∩ ∩\ \cap

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IV. Ensembles particuliers

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III. Utilisation des symboles $\cup\$ et $\ \cap$