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Solution des exercices : Énergie potentiel - Énergie mécanique - 1 er s

Classe:

Première

Exercice 1

1) Énergie mécanique (énergie totale) du chariot au point $A$

$E_{m_{A}}=E_{C_{A}}+E_{p_{A}}$

$E_{p}(z)=mgz+cte$

Considérons l'état de référence l'origine $O$ des cotes

Alors,

\begin{array}{rcl} E_{p} (z = 0) & = & m g \times 0 + c t e \\ = & 0 \end{array}

$E_{p}(z)=mgz\;,\ E_{p_{A}}=mgz_{A}\ $ et $\ E_{c_{A}}=\dfrac{1}{2}mv_{A}^{2}$

Ainsi,

\begin{array}{rcl} E_{m_{A}} & = & \frac{1}{2} m v_{A}^{2} + m g z_{A} \\ = & \frac{1}{2} \times 1000.0 \times {1.80}^{2} + 1000.0 \times 10 \times 30.0 \\ = & 3.02 \cdot 10^{5} \end{array}

D'où, $\boxed{E_{m_{A}}=3.02\cdot 10^{5}\;J}$

2) Vitesse du chariot au point $B$

Le système est conservatif, la conservation de l'énergie mécanique s'écrit :

\begin{array}{rcl} E_{m_{B}} = E_{m_{A}} & \Rightarrow & \frac{1}{2} m v_{B}^{2} + m g z_{B} = E_{m_{A}} \\ \Rightarrow & \frac{1}{2} m v_{B}^{2} + 0 = E_{m_{A}} \\ \Rightarrow & v_{B}^{2} = \frac{2 E_{m_{A}}}{m} \\ \Rightarrow & v_{B} = \sqrt{\frac{2 E_{m_{A}}}{m}} \end{array}

A.N : $v_{B}=\sqrt{\dfrac{2\times 3.02\;10^{5}}{1000}}=24.6$

D'où, $\boxed{v_{B}=24.6\;m\cdot s^{-1}}$

3) Énergie potentielle et énergie cinétique du chariot au point $C$

\begin{array}{lcl} E_{p_{C}} & = & m g z_{C} \\ = & 1000 \times 10 \times 25.0 \\ = & 2.50 \cdot 10^{5} \end{array}

Ainsi, $\boxed{E_{p_{C}}=2.50\cdot 10^{5}\;J}$

\begin{array}{rcl} E_{p_{C}} + E_{c_{C}} = E_{m_{C}} & \Rightarrow & E_{c_{C}} = E_{m_{C}} - E_{p_{C}} or, E_{m_{C}} = E_{m_{A}} \\ \Rightarrow & E_{c_{C}} = E_{m_{A}} - E_{p_{C}} \\ \Rightarrow & E_{c_{C}} = 3.02 \cdot 10^{5} - 2.50 \cdot 10^{5} \\ \Rightarrow & E_{c_{C}} = 5.2 \cdot 10^{4} \end{array}

D'où, $\boxed{E_{c_{C}}=5.2\cdot 10^{4}\;J}$

4) Vitesse du chariot au point $D$

\begin{array}{rcl} E_{m_{D}} = E_{p_{D}} + E_{c_{D}} & \Rightarrow & m g z_{D} + \frac{1}{2} m v_{D}^{2} = E_{m_{D}} or, E_{m_{D}} = E_{m_{C}} \\ \Rightarrow & m g z_{D} + \frac{1}{2} m v_{D}^{2} = E_{m_{C}} \\ \Rightarrow & m v_{D}^{2} = \frac{2 (E_{m_{C}} - m g z_{D})}{m} \\ \Rightarrow & v_{D} = \sqrt{\frac{2 (E_{m_{C}} - m g z_{D})}{m}} \end{array}

A.N : $v_{D}=\sqrt{\dfrac{2(3.02\cdot10^{5}-1000\times10\times12.0)}{1000}}=9.92$

D'où, $\boxed{v_{D}=9.92\;m\cdot s^{-1}}$

Exercice 2

1. Calcul de :

$-\ $ l'énergie potentielle de pesanteur de la pierre dans sa position la plus haute

$-\ $ l'énergie potentielle de pesanteur de la pierre dans sa position la plus basse

$-\ $ la variation d'énergie potentielle de la pierre

1.1 Lorsque l'on choisit comme niveau de référence le niveau du point de lancement de la pierre

\begin{array}{rcl} E_{p} (Z) = m g z + c t e & \Rightarrow & E_{p} (Z = 0) = m g \times 0 + c t e or, E_{p} (Z = 0) = 0 \\ \Rightarrow & c t e = 0 \\ \Rightarrow & E_{p} (Z) = m g z \end{array}

Par suite, $E_{p}(Z_{H})=mgz_{H}$

A.N : $E_{p}(Z_{H})=70\times10\times10\ \Rightarrow\ E_{p}(Z_{H})=7.0\cdot 10^{3}$

Ainsi, $\boxed{E_{p}(Z_{H})=7.0\cdot 10^{3}\;J}$

$E_{p}(Z_{B})=mgz_{B}$

A.N : $E_{p}(Z_{B})=70\times10\times -2.0=-14\cdot 10^{2}$

D'où, $\boxed{E_{p}(Z_{B})=-14\cdot 10^{2}\;J}$

$\Delta\,E_{p}=E_{p}(z_{B})-E_{p}(z_{H})$

A.N : $\Delta\,E_{p}=-14\cdot 10^{2}-7.0\cdot 10^{3}=-84\cdot 10^{2}$

Ainsi, $\boxed{\Delta\,E_{p}=-84\cdot 10^{2}\;J}$

1.2 Lorsque Lorsque l'on choisit comme niveau de référence le niveau de la surface de l'eau.

\begin{array}{rcl} E_{p} (Z) = m g z + c t e & \Rightarrow & E_{p} (Z_{e a u}) = m g z_{e a u} + c t e or, E_{p} (Z_{e a u}) = 0 \\ \Rightarrow & c t e = - (70 \times 10 \times (- 2.0) \\ \Rightarrow & c t e = 14 \cdot 10^{2} J \end{array}

Donc, $E_{p}(z)=mgz+14\cdot 10^{2}$

Par suite, $E_{p}(z_{H})=mgz_{H}+14\cdot 10^{2}$

A.N : $E_{p}(z_{H})=70\times 10\times 10+14\cdot 10^{2}=84\cdot 10^{2}$

D'où, $E_{p}(z_{H})=84\cdot 10^{2}\;J$

Soit $E_{p}(z_{B})=0\;J$ alors, $\Delta\,E_{p}=E_{p}(z_{B})-E_{p}(z_{H})$

A.N : $\Delta\,E_{p}=0-7.0\cdot 10^{3} =-7.0\cdot 10^{3}$

Ainsi, $\boxed{\Delta\,E_{p}=0-7.0\cdot 10^{3} =-7.0\cdot 10^{3}\;J}$

2. Expression énergie potentielle de pesanteur de la pierre lorsqu'elle est située à une altitude $z$ quelconque

$E_{P}(z)=mgz$

$E_{p}(z)=mgz+14\cdot 10^{2}$

Exercice 3

1. Expression littérale de l'énergie potentielle du skieur en $A.$

$E_{p}(z)=mgz+cte$

Alors, $E_{p}(Z_{B})=mgz_{B}+cte\ $ or, $\ E_{p}(Z_{B})=0$

Donc,

\begin{array}{rcl} m g z_{B} + c t e = 0 & \Rightarrow & m g \times 0 + c t e = 0 \\ \Rightarrow & c t e = 0 \\ \Rightarrow & E_{p} (z) = m g z \end{array}

Ainsi, $E_{p_{A}}(Z)=mgz_{A}\ $ or, $\ z_{A}=\mathrm{d}\sin\alpha$

Par suite, $E_{p_{A}}(z)=mg\mathrm{d}\sin\alpha$

A.N : $E_{p_{A}}(z)=115\times 10\times 10^{3}\times\sin 26.0^{\circ}=5.0\cdot 10^{5}$

D'où, $\boxed{E_{p_{A}}(z)=5.0\cdot 10^{5}\;J}$

2. Expression littérale de l'énergie cinétique du skieur en $B.$

Le système est conservatif, la conservation de l'énergie mécanique s'écrit :

E_{c_{B}} = \frac{1}{2} m v_{B}^{2}

A.N : $E_{c_{B}}=\dfrac{1}{2}\times115\times 50.5^{2}=1.5\cdot 10^{5}$

D'où, $\boxed{E_{c_{B}}=1.5\cdot 10^{5}\;J}$

3. Nommons les forces appliquées au système $\{\text{skieur + équipement}\}$ et représentons les sur un schéma.

Les forces qui exercent sur le système sont : $\vec{P}\;;\ \vec{R}\ $ et $\ \vec{f}$ éventuellement des forces de frottement

4. Expression du travail de chacune de ces forces.

\begin{array}{rcl} W_{A B} (\vec{P}) & = & \vec{P} \cdot \vec{A B} \\ = & m g A B \sin α \end{array}

$W_{AB}(\vec{R})=\vec{R}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,J\ $ car $\ \vec{R}\perp\overrightarrow{AB}$

\begin{array}{rcl} W_{A B} (\vec{f}) & = & \vec{f} \cdot \vec{A B} \\ = & - f \times A B \end{array}

5. Relation liant la variation d'énergie cinétique du système et le travail des différentes forces.

\begin{array}{lcl} Δ E_{c} & = & E_{c_{B}} - E_{c_{A}} \\ = & W_{A B} (\vec{P}) + W_{A B} (\vec{R}) + W_{A B} (\vec{f}) \end{array}

6. Sa vitesse au point $B$

\begin{array}{rcl} Δ E_{c} & = & E_{c_{B}} - E_{c_{A}} \\ = & W_{A B} (\vec{P}) + W_{A B} (\vec{R}) \end{array}

Alors,

\begin{array}{rcrcl} \frac{1}{2} m v_{B}^{2} - 0 = m g A B \sin α + 0 & \Rightarrow & v_{B}^{2} & = & 2 g A B \sin α \\ \Rightarrow & v_{B} & = & \sqrt{2 g A B \sin α} \end{array}

A.N : $v_{B}=\sqrt{2\times 10\times 10^{3}\times\sin 26.0^{\circ}}=93.6$

D'où, $\boxed{v_{B}=93.6\,m\cdot s^{-1}}$

7. Détermination de la valeur de ces frottements.

\begin{array}{rcl} Δ E_{c} & = & E_{c_{B}} - E_{c_{A}} \\ = & W_{A B} (\vec{P}) + W_{A B} (\vec{R}) + W_{A B} (\vec{f}) \end{array}

$\Rightarrow\ \dfrac{1}{2}mv_{B}^{2}-0=mg\,AB\sin\alpha+0-f\times AB$

$\Rightarrow\ f\times AB=mg\,AB\sin\alpha+0-\dfrac{1}{2}mv_{B}^{2}$

$\Rightarrow\ f=m\left(g\sin\alpha-\dfrac{v_{B}^{2}}{2AB}\right)$

A.N : $f=115\left(10\sin 26.0^{\circ}-\dfrac{50.5^{2}}{2\times 10^{3}}\right)=3.8\cdot 10^{2}$

Ainsi, $\boxed{f=3.8\cdot 10^{2}\;N}$

Exercice 4

Calcul de la variation d'énergie potentielle de pesanteur du wagonnet passant :

1. de $A$ à $B$

Choisissons l'axe $z$ orienté vers le haut

$E_{p}(z)=mgz+cte$

\begin{array}{rcl} Δ E_{p} & = & E_{p_{B}} - E_{p_{A}} \\ = & m g z_{B} + c t e - (m g z_{A} + c t e) \\ = & m g z_{B} - m g z_{A} \\ = & m g (z_{B} - z_{A}) \end{array}

\begin{array}{rcl} Δ E_{p} & = & E_{p_{B}} - E_{p_{A}} \\ = & m g (h_{B} - h_{A}) \\ = & 65 \times 10 \times (15 - 10) \\ \Rightarrow Δ E_{p} & = & - 65 \cdot 10^{2} J \end{array}

2. de $B$ à $C$

\begin{array}{rcl} Δ E_{p} & = & E_{p_{C}} - E_{p_{B}} \\ = & m g (h_{C} - h_{B}) \\ = & 65 \times 10 \times (15 - 10) \\ \Rightarrow Δ E_{p} & = & - 65 \cdot 10^{2} J \end{array}

3. de $A$ à $D$

\begin{array}{rcl} Δ E_{p} & = & E_{p_{D}} - E_{p_{A}} \\ = & m g (h_{D} - h_{A}) \\ = & 65 \times 10 \times (5 - 20) \\ \Rightarrow Δ E_{p} & = & - 97.5 \cdot 10^{2} J \end{array}

4. de $A$ à $E$

\begin{array}{rcl} Δ E_{p} & = & E_{p_{E}} - E_{p_{A}} \\ = & m g (h_{E} - h_{A}) \\ = & 65 \times 10 \times (18 - 20) \\ \Rightarrow Δ E_{p} & = & - 13 \cdot 10^{2} J \end{array}

Exercice 8

1. Expression de l'énergie potentielle de pesanteur du solide en en fonction de $m$, $g$, et $z$ l'altitude du solide

$E_{p}(z)=mgz+cte$

$\begin{array}{rcl} E_{p} (z = 0) & = & m g \times 0 + c t e \\ = & 0 \\ \Rightarrow E_{p} & = & m g z \end{array}$

2. Déduction de l'énergie potentielle de pesanteur au point $M$ en fonction de $m$, $g$, $r$, et $\alpha$

$\begin{array}{rcl} E_{p_{M}} & = & m g z_{M} \\ or z_{M} & = & r (1 - \cos α) \\ \Rightarrow E_{p_{M}} & = & m g r (1 - \cos α) \end{array}$

3. Pour position $C$ l'énergie potentielle de pesanteur est maximale, car $z_{M}=2r$ la position est maximale.

4. Expression de l'énergie mécanique du solide aux points suivants : $A$, $B$ et $C$, sachant que le solide arrive au point $C$ avec une vitesse $v_{C}.$

$\begin{array}{rcl} E_{m_{A}} & = & E_{c_{A}} + E_{p_{A}} \\ = & \frac{1}{2} m v_{A}^{2} + m g z_{A} \\ = & \frac{1}{2} m v_{A}^{2} + 0 \\ \Rightarrow E_{m_{A}} & = & \frac{1}{2} m v_{A}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} E_{m_{B}} & = & E_{c_{B}} + E_{p_{B}} \\ = & \frac{1}{2} m v_{B}^{2} + m g z_{B} \\ = & \frac{1}{2} m v_{B}^{2} + 0 \\ \Rightarrow E_{m_{B}} & = & \frac{1}{2} m v_{B}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} E_{m_{C}} & = & E_{c_{C}} + E_{p_{C}} \\ = & \frac{1}{2} m v_{C}^{2} + m g z_{C} \\ = & \frac{1}{2} m v_{C}^{2} + 2 m g r \\ \Rightarrow E_{m_{C}} & = & \frac{1}{2} m v_{C}^{2} + 2 m g r \end{array}$

5. Montrons que le solide parcours le périmètre du boucle, on doit avoir $E_{c}(A)>2mgr.$

Les frottements sont négligés, l'énergie mécanique se conserve :

$\begin{array}{rcl} E_{m_{A}} & = & E_{m_{C}} \\ = & \frac{1}{2} m v_{C}^{2} + 2 m g r \\ \Rightarrow E_{m_{A}} & = & E_{m_{A}} > 2 m g r \end{array}$

6. Calcul de la valeur de la vitesse initiale $v_{A}$ pour que le solide arrête au point $C$

$\begin{array}{rcl} E_{m_{A}} & = & E_{m_{C}} \\ = & \frac{1}{2} m v_{C}^{2} + 2 m g r \\ or v_{C} & = & 0 \\ \Rightarrow E_{m_{A}} & = & E_{c_{A}} \\ = & \frac{1}{2} m v_{C}^{2} \\ = & 2 m g r \\ \Rightarrow v_{C}^{2} & = & 4 g r \\ \Rightarrow v_{C} & = & \sqrt{4 g r} \\ = & \sqrt{4 \times 10 \times 1.5} \\ \Rightarrow v_{C} & = & 7.7 m \cdot s^{- 1} \end{array}$

Auteur:

Sidy Mouhamed Ndiaye

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Anonyme (non vérifié)

mar, 05/12/2020 - 03:56

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