Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique E uniforme - Ts

Classe: 
Terminale
 

Illustration

Une particule chargée de masse $m$ et de charge $q>0$ est lancée avec un vecteur vitesse $\vec{v}_{0}$, dans une région de l'espace où règne un champ électrostatique $\vec{E}$ uniforme $(\vec{E}\perp\vec{v}_{0}).$
 
Étudier le mouvement de la particule.

Étude du mouvement

Le système est constitué de la particule assimilable à un point matériel et le référentiel d'étude est le référentiel terrestre considéré comme galiléen.
 
Les forces extérieures appliquées à la particule sont la force électrostatique $\vec{F}=q.\vec{E}$ et son poids $\vec{p}=m.\vec{g}$ qui est négligeable par rapport à $\vec{F}.$
 
En appliquant la deuxième loi de Newton, on a : $$\sum \vec{F}_{\text{ext}}=m\vec{a}$$
 
Soit : $$\vec{F}+\vec{p}=m.\vec{a}$$
 
Le poids étant négligeable alors, on obtient : $$\vec{F}=m.\vec{a}$$ 
 
Soit : $$q.\vec{E}=m.\vec{a}$$
 
Choisissons comme repère de projection, le repère $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ et supposons qu'à l'instant initial $t_{0}=0$, la particule se trouve au point $O$, origine du repère.

 

 

Équations horaires du mouvement

Projetons la relation vectorielle $q.\vec{E}=m.\vec{a}$ suivant les axes du repère. 
 
Soit les vecteurs $\vec{E}\begin{pmatrix} E_{x}=0\\E_{y}=-E\end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{a}\begin{pmatrix} a_{x}\\a_{y}\end{pmatrix}$ alors, on a : 
 
$-\ \ $ Suivant l'axe $Ox$
 
$q.E_{x}=m.a_{x}\ $ or, $E_{x}=0$ donc, $a_{x}=0.$
 
Par suite, $v_{x}=\text{cst}$ car $a_{x}=\dfrac{\mathrm{d}v_{x}}{\mathrm{d}t}$
 
Or, à $t_{0}=0\;,\ v_{x}=v_{0_{x}}=v_{0}=\text{cst}.$
 
D'où :  $$\boxed{v_{x}=v_{0}}$$
 
Par ailleurs, $v_{x}=\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\ \Rightarrow\ \mathrm{d}x=v_{x}\mathrm{d}t=v_{0}\mathrm{d}t$
 
D'où, après intégration ou par passages aux primitives, on obtient : $$x=v_{0}t+x_{0}$$
 
Or, à $t_{0}=0\;,\ x_{0}=0\;,\ y_{0}=0$
 
Par suite, $$\boxed{x=v_{0}t}$$
 
$-\ \ $ Suivant l'axe $Oy$
 
$q.E_{y}=m.a_{y}\ $ or, $E_{y}=-E$ donc, $a_{y}=-\dfrac{q.E}{m}.$
 
Par ailleurs, $\ a_{y}=\dfrac{\mathrm{d}v_{y}}{\mathrm{d}t}\ \Leftrightarrow\ \mathrm{d}v_{y}=a_{y}\mathrm{d}t=-\dfrac{q.E}{m}\mathrm{d}t$
 
Ce qui donne, après intégration ou par passage aux primitives : $$v_{y}=-\dfrac{q.E}{m}t+v_{0_{y}}$$
 
Or, à $t_{0}=0\;,\ v_{0_{y}}=0.$
 
D'où : $$\boxed{v_{y}=-\dfrac{q.E}{m}t}$$
 
Par ailleurs, on a : 
 
$\begin{array}{rcl} v_{y}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\ \Rightarrow\ \mathrm{d}y&=&v_{y}\mathrm{d}t\\ \ \Rightarrow\ \mathrm{d}y&=&-\dfrac{q.E}{m}t\mathrm{d}t\end{array}$
 
L'intégration de cette dernière expression de $(\mathrm{d}y)$ donne : $$y=-\dfrac{1}{2}\dfrac{q.E}{m}t^{2}+y_{0}$$
 
Comme à $t_{0}=0\;,\ x_{0}=0\;,\ y_{0}=0$ alors, $$\boxed{y=-\dfrac{1}{2}\dfrac{q.E}{m}t^{2}}$$
 
Les équations horaires du mouvement sont alors données par : $$\boxed{\begin{array}{rcl} x&=&v_{0}t\\ \\y&=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{q.E}{m}t^{2}\end{array}}\qquad\begin{array}{l} (1)\\ \\(2)\end{array}$$

Équation de la trajectoire

L'équation de la trajectoire $y=f(x)$ est obtenue en éliminant le temps $t$ entre les équations horaires (1) et (2).
 
De l'équation (1), on tire : $t=\dfrac{x}{v_{0}}$
 
En remplaçant cette expression de $t$ dans l'équation (2), on obtient : 
 
$\begin{array}{rcl} y&=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{q.E}{m}t^{2}\\\\&=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{q.E}{m}\left(\dfrac{x}{v_{0}}\right)^{2}\\ \\&=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{q.E.x^{2}}{m.v_{0}^{2}}\end{array}$
 
D'où, l'équation de la trajectoire donnée par : $$\boxed{y=-\dfrac{1}{2}\dfrac{q.E.x^{2}}{m.v_{0}^{2}}}\qquad(3)$$
 
On reconnait alors l'équation d'une parabole d'axe vertical.
 
D'où, la trajectoire est une parabole.

Conditions de sortie de la particule

La particule sortira du champ électrostatique lorsque sa trajectoire ne rencontre pas les plaques.
 
A la limite de sortie, la particule est au point $M.$
 
Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe $Ox$ et soit $I$ milieu du segment $[OH].$
 
Ainsi, la particule sortira du champ si, et seulement si, $$MH<\dfrac{d}{2}$$
 
$d$ étant la distance entre les deux plaques.
 
On a : 
 
$\begin{array}{rcl} MH&=&\sqrt{(x_{_{H}}-x_{_{M}})^{2}+(y_{_{H}}-y_{_{M}})^{2}}\\\\&=&\sqrt{(\ell-\ell)^{2}+(0-y_{_{M}})^{2}}\\ \\&=&\sqrt{y_{_{M}}^{2}}\\ \\&=&|y_{_{M}}|\\ \\ &=&\left|-\dfrac{1}{2}\dfrac{q.E.x_{_{M}}^{2}}{m.v_{0}^{2}}\right|\\ \\&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{q.E.\ell^{2}}{m.v_{0}^{2}}\end{array}$
 
Par suite, 
 
$\begin{array}{rcl} MH<\dfrac{d}{2}&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{2}\dfrac{q.E.\ell^{2}}{m.v_{0}^{2}}<\dfrac{d}{2}\\ \\&\Leftrightarrow&m.v_{0}^{2}.d>q.E.\ell^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow&v_{0}^{2}>\dfrac{q.E.\ell^{2}}{m.d}\\ \\&\Leftrightarrow&v_{0}>\sqrt{\dfrac{q.E.\ell^{2}}{m.d}}\end{array}$
 
D'où, $$\boxed{v_{0}>\sqrt{\dfrac{q.E.\ell^{2}}{m.d}}}\qquad(4)$$
 
Ainsi, pour une telle vitesse $v_{0}$, la particule va sortir du champ sans heurter la plaque.
 
Dès la sortie, le mouvement sera rectiligne uniforme car la particule n'est plus soumise à une force électrostatique.
 
Remarque 
 
Comme $E=\dfrac{u}{d}$ alors, la condition de sortie peut encore s'écrire : $v_{0}>\dfrac{\ell}{d}\sqrt{\dfrac{q.u}{m}}.$

Angle de déviation $\alpha$

Soit $\alpha$ l'angle de déviation de la particule alors, on a : $$\tan\alpha=\dfrac{MH}{IH}$$
 
Or, $\dfrac{1}{2}\dfrac{q.E.\ell^{2}}{m.v_{0}^{2}}\ $ et $\ IH=\dfrac{\ell}{2}$
 
Par suite, 
 
$\begin{array}{rcl} \tan\alpha&=&\dfrac{MH}{IH}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{1}{2}\dfrac{q.E.\ell^{2}}{m.v_{0}^{2}}}{\dfrac{\ell}{2}}\\ \\&=&\dfrac{q.E.\ell^{2}}{\ell.m.v_{0}^{2}}\\ \\&=&\dfrac{q.E.\ell}{m.v_{0}^{2}}\end{array}$
 
D'où, $$\boxed{\tan\alpha=\dfrac{q.E.\ell}{m.v_{0}^{2}}}\qquad(5)$$

Déflexion électrique

La déflexion électrique est la distance $O'P.$ Elle est donc déterminée en localisant le point d'impact de la particule sur l'écran.
 
On a : $\tan\alpha=\dfrac{O'P}{IO'}\ \Rightarrow\ O'P=IO'.\tan\alpha\ $ or, $IO'=L.$ 
 
Par suite, $O'P=L.\tan\alpha$
 
D'où, $$\boxed{O'P=L.\dfrac{q.E.\ell}{m.v_{0}^{2}}}\qquad(6)$$

 
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