ESP - Epreuve de Physique - 2014

 

Soit un fil conducteur rectiligne, très long, cylindrique de rayon $a$ portant une charge de densité linéaire $\lambda$ répartie uniformément.

 

1) Calculer le potentiel à une distance $r>a$ de l'axe du fil.

 

Une ligne bifilaire est formée de deux fils conducteurs parallèles distants $d\gg a$ dont les densités linéiques de charges sont $-\lambda\ $ et $\ +\lambda.$

 

2) Calculer la valeur approchée de la capacité $C$ par unité de longueur de la ligne bifilaire.

 

Application numérique : $a=3\,cm\;,\ d=2\,m\;,\ \epsilon_{0}=\dfrac{1}{36\pi 10^{9}}\,F.m^{-1}$

 

La ligne bifilaire précédente se trouve à une distance $h\gg a$ du sol (potentiel nul).

 

3) Calculer la nouvelle capacité $C'$ par unité de longueur de la ligne.

 

Application numérique : $h=1\,m$

Un gaz possède les coefficients thermoélastiques suivants :

$$\alpha ={\displaystyle \frac{a}{aT+bP}}\text{et}\beta ={\displaystyle \frac{1}{T}}$$

où $a\ $ et $\ b$ sont des constantes positives.

 

1) Déterminer l'expression de la différentielle $\mathrm{d}T$ de la fonction $T(V\;,\ P).$

 

2) En posant $Z=\dfrac{P}{T}$, montrer que

$${\displaystyle \frac{\mathrm{d}Z}{Z}}=-{\displaystyle \frac{a+bZ}{aV}}\mathrm{d}V$$

3) Montrer que l'équation d'état du gaz s'écrit :

$$P(V-K{\displaystyle \frac{b}{a}})=KT$$

où $K$ est une constante

 

On rappelle les définitions suivantes :

$$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{V}}{\displaystyle \frac{\partial V}{\partial T}}\text{et}\beta ={\displaystyle \frac{1}{P}}{\displaystyle \frac{\partial P}{\partial T}}$$

Un mobile, lancé à partir de la Terre de rayon $R$, avec une vitesse initiale $v_{0}$ verticale, est soumis uniquement au champ de pesanteur terrestre. Soit $g_{0}$ l'accélération de la pesanteur à la surface terrestre.

 

1) Exprimer l'altitude $h$ atteinte par le mobile en fonction de $g_{0}\;,\ v_{0}\;,\ R.$

 

Application numérique : Calculer $h$ ;

 

on donne $v_{0}=2\,km/s\;,\ g_{0}=10\,m/s^{2}\;,\ R=6\,400\,km$

 

2) En déduire la vitesse de libération $v_{1}$ (vitesse minimale à communiquer au mobile pour le libérer de l'attraction terrestre).

 

Soit $h_{0}$ l'altitude atteinte si le champ de pesanteur terrestre est supposé uniforme de module $g_{0}.$

 

3) Exprimer $h$ en fonction de $h_{0}\ $ et $\ R.$ Retrouvez la vitesse de libération.

 

$$\text{Durée 3 heures}$$