Devoir n° 53 - 1e S1

Classe:

Première

Exercice 1

1) Calculer les limites des fonctions suivantes en

$x_{0}$ indiqué

a)

$f(x)=\dfrac{\sqrt{x}-2}{x^{2}-5x+4}\;,\ x_{0}=4$

b)

$f(x)=\dfrac{mx^{2}+x+1}{x^{2}-3x+2}\;,\ x_{0}=-\infty\;(m\in\mathbb{R})$

c)

$f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}\;,\ x_{0}=+\infty$

d)

$f(x)=\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}-3x+2}\;,\ x_{0}=1$

e)

$f(x)=x\mathbb{E}(\dfrac{1}{x})\;,\ x_{0}=0$

2) Soit

$g$ la fonction définie par

$g(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}-3x+4}-\sqrt{x+4}}{x-3+\sqrt{x^{2}+9}}$

$g$ est-elle prolongeable par continuité en 0 ? Si oui, définir son prolongement par continuité en 0

Exercice 2

Soit

$f$ la fonction définie par :

$\left\lbrace\begin{array}{lllll} f(x) &=& \dfrac{x^{2}+1}{x+1} & \text{si}& x\leq 0 \\ \\ f(x) &=& x+\sqrt{x^{2}+1} & \text{si} &x>0 \end{array}\right.$

On note par

$(Cf)$ la courbe représentative de

$f$ dans un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j}$

1) a) Déterminer le domaine de définition

$Df$ de

$f$ puis calculer les limites de

$f$ aux bornes de

$Df.$

b) Etudier la continuité de

$f$ en 0.

2) Montrer que

$(Cf)$ admet en

$-\infty$ une asymptote oblique

$(\Delta )_{1}$

puis étudier la position relative de

$(Cf)$ par rapport à

$(\Delta_{1})$ sur

$]-\infty\;;\ 0]$

3) Montrer que la droite

$(\Delta_{2})$ :

$y=2x$ est asymptote oblique à

$(Cf)$ en

$+\infty$

puis étudier la position relative de

$(Cf)$ par rapport à

$(\Delta_{2})$ sur

$]0\;;\ +\infty$

Exercice 3

1) Soit

$(w_{n})$ la suite définie par :

$\left\lbrace\begin{array}{lll} w_{0} &=& 1 \\ \\ w_{n+1} &=& \dfrac{w_{n}+1}{w_{n}+3} \end{array}\right.$

a) Montrer par récurrence que pour tout

$n\in\mathbb{N}\;,\ 0\leq w_{n}\leq 1$

b) Démontrer par récurrence que

$(w_{n})$ est décroissante.

2) Soient

$(u_{n})$ et

$(v_{n})$ les suites définies par

$u_{0}=\dfrac{5}{4}$ et pour tout entier naturel :

$\left\lbrace\begin{array}{lll} u_{n+1} &=& \dfrac{1}{3}u_{n}-n-\dfrac{4}{3} \\ \\ v_{n} &=& u_{n}+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{1}{4} \end{array}\right.$

a) Calculer

$v_{0}\;,\ v_{1}$ et

$v_{2}$

b) Montrer que

$(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

Exprimer

$v_{n}$ en fonction de

$n.$

c) Exprimer

$S_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}v_{k}\;\text{et}\;S'_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}u_{k}\ \text{en fonction de}\ n.$

d) Calculer

$\lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}\;\text{et}\ \lim_{n\rightarrow +\infty}S'_{n}$

Exercice 4

Soit

$f$ la fonction définie par

$f(x)=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sqrt{|x^{2}-1|}}{x}$

On note par

$(Cf)$ la courbe représentative de

$f$ dans un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j}$

Etudier les branches infinies de

$(Cf).$

Exercice 5

Soient trois points

$A\;,\ B$ et

$C$ du plan tels que :

$AB=3a\;;\ AC=4a$ et

$BC=5a$ où

$a\in\mathbb{N}^{\ast}$ On désigne par

$I$ le milieu du segment

$[BC].$

1) Montrer que le triangle

$ABC$ est rectangle en

$A.$

2) Soit

$m$ un paramètre réel et

$G_{m}=bar\left\lbrace(A\;,\ 1-2m)\;;\ (B\;,\ m)\;;\ (C\;,\ m)\right\rbrace$

a) Justifier l'existence de

$G_{m}$ et démontrer que

$G_{m}$ appartient à la médiane issue de

$A$ du triangle

$ABC.$

b) Démontrer que l'ensemble des points

$G_{m}$ , quand

$m$ décrit

$\left[0\;;\ \dfrac{1}{2}\right]$ est un segment dont on précisera les extrémités.

3) Soit

$m\in\left[0\;;\ \dfrac{1}{2}\right]$

a) Montrer que

$(1-2m)G_{m}A^{2}+mG_{m}B^{2}+mG_{m}C^{2}=25a^{2}m(1-m)$

b) En déduire l'ensemble

$(E_{m})$ des points

$M$ du plan tels que :

$(1-2m)MA^{2}+mMB^{2}+mMC^{2}=25a^{2}m$

c) Construire

$(E_{1})$

Auteur:

Babacar Djité

Commentaires

Maguette Sarr (non vérifié)

lun, 03/30/2020 - 19:48

Permalien

Solution de la fonction b) de l’exercice 1

J’ai un soucis sur l’exercice 1 fonction b)

répondre

fdini

lun, 03/30/2020 - 20:22

Permalien

$-\$ Soit $m\neq 0$ , on a :

$\begin{array}{rcl}\lim_{x \to x_{0}}f(x)&=&\lim_{x \to -\infty}\dfrac{mx^{2}+x+1}{x^{2}-3x+2}\\ \\&=&\lim_{x \to -\infty}\dfrac{x^{2}\left(m+\dfrac{x}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(1-\dfrac{3x}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{2}}\right)}\\ \\&=&\lim_{x \to -\infty}\dfrac{m+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}}\end{array}$

Or,

$\lim_{x \to -\infty} m+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}=m\$ et

$\ \lim_{x \to -\infty}1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}=1$

Donc,

$\lim_{x \to -\infty}\dfrac{m+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}}=m$

D'où,

$\boxed{\lim_{x \to -\infty}f(x)=m\in\mathbb{R}^{*}}$

$-\$ Si

$m=0$ alors,

$f(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}-3x+2}$

Donc,

$\lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}\dfrac{x+1}{x^{2}-3x+2}=\lim_{x \to -\infty}\dfrac{x}{x^{2}}=\lim_{x \to -\infty}\dfrac{1}{x}=0^{-}$

D'où,

$\boxed{\lim_{x \to -\infty}f(x)=0^{-}}$

répondre

Maguette Sarr (non vérifié)

lun, 03/30/2020 - 22:20

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Merci d’avoir répondu à ma question

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Solution de la fonction b) de l’exercice 1

-\ -\ Soit m\neq 0m\neq 0, on a :

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$-\$ Soit $m\neq 0$ , on a :