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Exercices : Angle au centre - angle inscrit 3e

Classe:

Troisième

Exercice 1

A B C

$ABC$ est un triangle inscrit dans un cercle

(C)

$(C)$ de centre

O

$O$ et tel que les angles

\hat{A O B}

$\widehat{AOB}\$ et

\hat{B O C}

$\ \widehat{BOC}$ sont adjacents.

m e s \hat{A O B} = 50^{o}; m e s \hat{B O C} = 100^{o}

$mes\widehat{AOB}=50^{o}\;;\ mes\widehat{BOC}=100^{o}$

Calculer la mesure de chacun des angles du triangle

A B C .

$ABC.$

Exercice 2

On considère un triangle

A B C

$ABC$ isocèle en

A

$A$ , son cercle circonscrit

C (O; R)

$C(O\;;\ R)\$ et

D

$\ D$ un point diamétralement opposé à

B .

$B.$

1) Démontrer que

\hat{A D B} = \hat{A B C}

$\widehat{ADB}=\widehat{ABC}$

2) Démontrer que

\hat{D C A}

$\widehat{DCA}\$ et

\hat{A D B}

$\ \widehat{ADB}$ sont complémentaires.

Exercice 3

Tracer un cercle et un triangle

A B C

$ABC$ dont les sommets appartiennent à ce cercle.

La bissectrice de l'angle

\hat{B A C}

$\widehat{BAC}$ coupe l'arc

\overset{⌢}{B C}

$\overset{\displaystyle\frown}{BC}$ en un point

I .

$I.$

Démontrer que le triangle

B I C

$BIC$ est isocèle en

I .

$I.$

Exercice 4

Soit la figure ci-dessous :

1) Quel est l'angle inscrit qui intercepte le même arc de cercle que

\hat{A O B}

$\widehat{AOB}$ ?

2) Calculer la mesure de

\hat{A C B}

$\widehat{ACB}$ puis la mesure de

\hat{D A C}

$\widehat{DAC}$ . En déduire la mesure de

\hat{A O C};; \hat{A O B} = 35^{o}; \hat{C O D} = 110^{o}

$\widehat{AOC}\ ;;\ \widehat{AOB}=35^{o}\;;\ \widehat{COD}=110^{o}$

Exercice 5

Deux cercles sont sécants en

A

$A\$ et

B

$\ B$ . Une droite passant par

A

$A$ coupe ces cercles en

M

$M\$ et

N

$\ N$ . Une autre droite passant par

A

$A$ coupe ces cercles en

M^{'}

$M'\$ et

N^{'} .

$\ N'.$

Démontrer que les angles

\hat{M B N}

$\widehat{MBN}\$ et

\hat{M^{'} B N^{'}}

$\ \widehat{M'BN'}$ ont même mesure.

Exercice 6

1) Soit un cercle

(C)

$(\mathcal{C})$ de centre

O

$O$ et de rayon

4 c m

$4\;cm$ et

[A D]

$[AD]$ un de ses diamètres.

a) D'un côté de la droite

(A D)

$(AD)$ , construire le point

G

$G$ tel que le triangle

A D G

$ADG$ soit un triangle équilatéral.

b) De l'autre côté de la droite

(A D)

$(AD)$ , placer le point

B

$B$ du cercle

(C)

$(\mathcal{C})$ , tel que

A B = 4 c m .

$AB=4\;cm.$

2) Démontrer que le triangle

O A B

$OAB$ est équilatéral.

3) Justifier que les angles

\hat{O A B}

$\widehat{OAB}\$ et

\hat{A D G}

$\ \widehat{ADG}$ sont égaux puis en déduire la position relative des droites

(A B)

$(AB)\$ et

(D G) .

$\ (DG).$

4) La droite

(B G)

$(BG)$ coupe

[A D]

$[AD]$ en

I

$I\$ et

(C)

$\ (\mathcal{C})$ en

J .

$J.$

a) En utilisant le théorème de Thalès justifier que

\frac{I A}{I D} = \frac{1}{2} .

$\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{1}{2}.$

b) Calculer la mesure de l'angle

\hat{A J B}

$\widehat{AJB}$

Exercice 7

Placer trois points

A, B

$A\;,\ B\$ et

C

$\ C$ dans cet ordre sur un cercle

(C)

$(\mathcal{C})$ de centre

O

$O$ et de rayon

3 c m

$3\;cm$ , de telle façon que les angles au centre

\hat{A O B}

$\widehat{AOB}\$ et

\hat{B O C}

$\ \widehat{BOC}$ mesurent respectivement

40^{\circ}

$40^{\circ}$ et

70^{\circ} .

$70^{\circ}.$

1) Calculer la mesure de tous les angles du triangle

A B C .

$ABC.$

2) Calculer la longueur des arcs

\overset{⌢}{A B}

$\overset{\displaystyle\frown}{AB}\$ et

\overset{⌢}{A C} .

$\ \overset{\displaystyle\frown}{AC}.$ (on donne

π ≅ 3) .

$\pi\cong 3).$

3) Soit

M

$M$ un point diamétralement opposés à

B .

$B.$ Calculer :

m e s \hat{B M C}; m e s \hat{A M C}

$mes\widehat{BMC}\;;\ mes\widehat{AMC}\$ et

m e s \hat{A M B} .

$\ mes\widehat{AMB}.$

Exercice 8 BFEM 2e groupe

Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse.

1) Si

a

$a\$ et

b

$\ b$ sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle alors

m e s a = 2. m e s b

$mes\;a= 2.mes\;b$

2) Si

x

$x\$ et

y

$\ y$ représentent deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle alors la mesure de

x

$x$ est égale à la moitié de celle de

y .

$y.$

3) Si

(C)

$(\mathcal{C})$ est un cercle de centre

O

$O\$ et

A, B

$\ A\;,\ B\$ et

M

$\ M$ sont trois points de ce cercle tels que :

m e s \hat{A M B} = 80^{\circ}

$mes\widehat{AMB}=80^{\circ}$ alors l'angle

\hat{A O B} = 160^{\circ} .

$\widehat{AOB}=160^{\circ}.$

Exercice 9 BFEM 2006 2e groupe

1) Tracer un cercle

(C)

$(\mathcal{C})$ de centre

I

$I$ et de diamètre

[A B]

$[AB]$ tel que :

A B = 8 c m

$AB=8\;cm$ , marque le point

E

$E$ sur

(C)

$(\mathcal{C})$ tel que :

A E = 4 c m .

$AE=4\;cm.$

2) Quelle est la nature de chacun des triangles

A B E

$ABE$ et

A E I ?

$AEI\ ?$ Justifier chacune des réponses.

3) Déterminer la mesure de chacun des angles

\hat{E A B}

$\widehat{EAB}\$ et

\hat{B I E} .

$\ \widehat{BIE}.$

4) Soit

(d)

$(d)$ la médiatrice du segment

[A B]

$[AB]$ ; la droite

(A E)

$(AE)$ coupe

(d)

$(d)$ en

K .

$K.$

En posant :

\cos \hat{B A E} = \cos \hat{K A I}

$\cos\widehat{BAE}=\cos\widehat{KAI}$ , calculer les distances

A K

$AK\$ et

K I .

$\ KI.$

Exercice 10

Sur un demi-cercle de diamètre

[A A^{'}]

$[AA']$ et de rayon

4 c m

$4\;cm$ , placer le point

B

$B$ tel que :

\hat{A O B} = 30^{\circ}

$\widehat{AOB}=30^{\circ}$ et appeler

H

$H$ , le projeté orthogonal de

B

$B$ sur la droite

(A A^{'}) .

$(AA').$

1) Faire une figure complète.

2) Calculer les longueurs :

O H

$OH\$ et

H B .

$\ HB.$

3) Trouver la mesure de l'angle

\hat{A A^{'} B} .

$\widehat{AA'B}.$

Exercice 11

Soit

A B C D

$ABCD$ un quadrilatère inscriptible dans un cercle de centre

O

$O$ et de rayon

3.5 c m

$3.5\;cm$ tel que :

m e s \hat{A D C} = 65^{\circ}

$mes\widehat{ADC}=65^{\circ}\$ et

m e s \hat{D C B} = 120^{\circ} .

$\ mes\widehat{DCB}=120^{\circ}.$

Calculer

m e s \hat{D A B}

$mes\widehat{DAB}\$ et

m e s \hat{A B C} .

$\ mes\widehat{ABC}.$ (On demande de faire la figure à main levée)

Exercice 12

(C)

$(\mathcal{C})$ est un cercle de centre

O

$O$ et de rayon

r = 3 c m A, B, C

$r=3\;cm\ A\;,\ B\;,\ C\$ et

D

$\ D$ sont quatre points de

(C)

$(\mathcal{C})$ tels que :

[A C]

$[AC]$ est un diamètre de

(C); A B = r, D

$(\mathcal{C})\;;\ AB=r\;,\ D$ appartient au petit arc

\overset{⌢}{B C}

$\overset{\displaystyle\frown}{BC}\$ et

m e s \hat{D C A} = 50^{\circ} .

$\ mes\widehat{DCA}=50^{\circ}.$ Calculer la mesure de chacun des angles du quadrilatère

A B D C .

$ABDC.$

Exercice 13

Soit

A B C

$ABC$ un triangle.

(C)

$(\mathcal{C})$ est un cercle de centre

O

$O$ passant par

B

$B$ et par

C

$C$ et recoupant le segment

[A B]

$[AB]$ en

D

$D$ et le segment

[A C]

$[AC]$ en

E .

$E.$

1) Faire une figure.

2) Montrer que :

m e s \hat{B D C} = m e s \hat{C E B}

$mes\widehat{BDC}=mes\widehat{CEB}$ et que :

m e s \hat{E B A} = m e s \hat{D C A} .

$mes\widehat{EBA}=mes\widehat{DCA}.$

Exercice 14

Définis les expressions suivantes :

Angle inscrit ; Angle au centre ; Angles associés.

Exercice 15

Les angles cités dans le tableau ci-dessous sont-ils des angles inscrits dans le cercle

C (O; r) ?

$\mathcal{C}(O\;;\ r)\ ?$

Si oui, quel est l'arc intercepté et nomme l'angle au centre associé.

Recopie et complète le tableau.

\begin{array}{cccc} Angles & Inscrit (oui/non) & Arc intercepté & Angle au centre associé \\ \hat{E D F} \\ \hat{A D E} \\ \hat{D A F} \\ \hat{B F A} \\ \hat{D E F} \end{array}

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Angles}&\text{Inscrit (oui/non)}&\text{Arc intercepté}&\text{Angle au centre associé}\\ \hline \widehat{EDF}& & &\\ \hline \widehat{ADE}& & &\\ \hline \widehat{DAF}& & &\\ \hline \widehat{BFA}& & &\\ \hline \widehat{DEF}& & &\\ \hline \end{array}$

Exercice 16

Construis un cercle

C (O; r)

$\mathcal{C}(O\;;\ r)$ et marque sur

(C)

$(\mathcal{C})$ les points

A, B

$A\;,\ B\$ et

E

$\ E$ tels que

A

$A\$ et

E

$\ E$ soient diamétralement opposés et

\hat{A E B} = 30^{\circ} .

$\widehat{AEB}=30^{\circ}.$

1) Calcule l'angle

\hat{A O B} .

$\widehat{AOB}.$

2) Montre que le triangle

A O B

$AOB$ est équilatéral.

Exercice 17

Construis un triangle

A B C

$ABC$ puis trace le cercle

(C)

$(\mathcal{C})$ circonscrit à ce triangle.

Soit

O

$O$ le centre de ce cercle et

M

$M$ le symétrique de

B

$B$ par rapport à

O .

$O.$

1) a) Donne la relation entre les mesures des angles suivants :

\hat{M O C}

$\widehat{MOC}\$ et

\hat{M B C} .

$\ \widehat{MBC}.$

\hat{M O A}

$\widehat{MOA}\$ et

\hat{M B A} .

$\ \widehat{MBA}.$

b) Déduis-en

\hat{A B C}

$\widehat{ABC}$ en fonction de

\hat{A O C}

$\widehat{AOC}$

2) a) Compare

\hat{B A M}

$\widehat{BAM}\$ et

\hat{B C M} .

$\ \widehat{BCM}.$

b) Déduis-en la nature de chacun des triangles

A B M

$ABM\$ et

M C B .

$\ MCB.$

Exercice 18

On considère un cercle

(C)

$(\mathcal{C})$ de centre

O

$O$ et

A

$A$ ,

M

$M$ et

B

$B$ trois points distincts de

(C)

$(\mathcal{C})$ non diamétralement opposés deux à deux.

1) Justifie que les triangles

A O B, A O M

$AOB\;,\ AOM\$ et

B O M

$\ BOM$ sont isocèles.

2) Exprime la mesure de l'angle

\hat{A O B}

$\widehat{AOB}$ en fonction de la mesure de l'angle

\hat{O A B} .

$\widehat{OAB}.$

3) On note

\hat{O A B} = a; \hat{O M A} = b

$\widehat{OAB}=a\;;\ \widehat{OMA}=b\$ et

\hat{O B M} = c .

$\ \widehat{OBM}=c.$

a) Exprime la somme des angles du triangle

A M B

$AMB$ en fonction de

a, b

$a\;,\ b\$ et

c .

$\ c.$

b) En utilisant la propriété de la somme des angles dans un triangle, exprime

2 a

$2a$ en fonction de

b

$b\$ et

c .

$\ c.$

c) Déduis du b) et du 2) l'expression de l'angle

\hat{A O B}

$\widehat{AOB}$ en fonction

b

$b\$ et

c .

$\ c.$

d) Déduis, en factorisant par

2

$2$ , l'expression de l'angle

\hat{A O B}

$\widehat{AOB}$ en fonction de l'angle inscrit

M

$M$

Exercice 19

Sur la figure ci-dessous,

les points

E, F, G

$E\;,\ F\;,\ G\$ et

H

$\ H$ sont sur le cercle

(C)

$(\mathcal{C})$ de centre

O .

$O.$

Les droites

(F H)

$(FH)\$ et

(E G)

$\ (EG)$ sont sécantes au point

I .

$I.$

\hat{H O G} = 130^{\circ}

$\widehat{HOG}=130^{\circ}\$ et ̂

\hat{E H F} = 40^{\circ}

$\ \widehat{EHF}=40^{\circ}$

Calcule la mesure de chaque angle du triangle

F G I .

$FGI.$

Justifier chaque réponse

Exercice 20

On considère la figure ci-dessous dans laquelle :

Les points

P, F, N, M

$P\;,\ F\;,\ N\;,\ M\$ et

G

$\ G$ appartiennent au cercle de centre

I .

$I.$

Le segment

[G P]

$[GP]$ est un diamètre du cercle et le point

F

$F$ appartient à la médiatrice de

[M G]

$[MG]$

1) Quelle est la nature du triangle

G N P ?

$GNP\ ?$

2) Démontre que le triangle

M G F

$MGF$ est un triangle équilatéral.

3) Calcule la mesure de l'angle

\hat{G N F} .

$\widehat{GNF}.$

Exercice 21

A B C

$ABC$ est un triangle rectangle en

B

$B$ tel que

A B = 5 c m; \hat{B A C} = 30^{\circ} .

$AB=5\;cm\;;\ \widehat{BAC}=30^{\circ}.$

1) Construis

A B C .

$ABC.$

2) Construis le cercle circonscrit au triangle

A B C

$ABC$ son centre est

O .

$O.$

3) La hauteur

(B I)

$(BI)$ de

A B C

$ABC$ coupe

(A C)

$(AC)$ en

I

$I$ et le cercle en

J .

$J.$

Détermine

\hat{B J C}

$\widehat{BJC}$

4) Calcule les mesures des angles du triangle

B O C

$BOC$

5) Calcule les mesures des angles du triangle

A B J .

$ABJ.$

Exercice 22

On considère la figure ci-dessous

où le cercle de centre

O

$O$ a pour diamètre

A C = 10 c m; B

$AC=10\;cm\;;\ B$ sur le cercle tel que

A B = 5 c m .

$AB=5\;cm.$

1) Quelle est la nature du triangle

A B C ?

$ABC\ ?$ Justifie ta réponse.

2) Calcule la valeur exacte de la distance

B C .

$BC.$

3) Calcule la mesure de l'angle

\hat{A C B} .

$\widehat{ACB}.$

4) La parallèle à la droite

(A B)

$(AB)$ passant par

O

$O$ coupe le segment

[B C]

$[BC]$ en

H

$H$ et le cercle en deux points

D

$D\$ et

E

$\ E$ tels que

C D < C E .

$CD<CE.$

a) Calcule la mesure de l'angle

\hat{H O C} .

$\widehat{HOC}.$

b) Déduis-en la mesure de l'angle

\hat{D E C}

$\widehat{DEC}$ et celle de l'angle

\hat{D E A} .

$\widehat{DEA}.$

Exercice 23

Soit

S U D

$SUD$ un triangle tel que

S U = 6 c m

$SU=6\;cm$ ,

\hat{S U D} = 60^{\circ}

$\widehat{SUD}=60^{\circ}\$ et

\hat{D S U} = 45^{\circ}, (C)

$\ \widehat{DSU}=45^{\circ}\;,\ (\mathcal{C})$ est le cercle de centre

O

$O$ circonscrit au triangle

S U D .

$SUD.$

1) Fais une figure.

2) Montre que

\hat{U O D} = 90^{\circ}

$\widehat{UOD}=90^{\circ}$

3) Soit

A

$A$ le point diamétralement opposé à

D .

$D.$

a) Calcule

\hat{S A D} .

$\widehat{SAD}.$

b) Montre que

(S U)

$(SU)$ est la bissectrice de

\hat{D S A}

$\widehat{DSA}$

4) Soit

M

$M$ un point de l'arc

\overset{⌢}{D U}

$\overset{\displaystyle\frown}{DU}$

a) Quel est l'angle au centre associé à

\hat{D M U} ?

$\widehat{DMU}\ ?$

b) En déduis la mesure de l'angle

\hat{D M U} .

$\widehat{DMU}.$

Exercice de Synthèse

L'angle inscrit est égal :

2

$2$ angle au centre

\frac{1}{2}

$\dfrac{1}{2}$ angle au centre

c) angle au centre

$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$

Commentaires

Aminata sow (non vérifié)

mar, 04/27/2021 - 20:31

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Merci

répondre

MOUHAMED ndiaye (non vérifié)

mar, 05/04/2021 - 02:48

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Correction d exercice n19

Correction d exercice n19 Aime

répondre

Aly kante (non vérifié)

dim, 06/13/2021 - 08:50

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mathématiques

J'ai besoin de la correction de l'exercice 21 et 25 sur les angles inscrits et les angles au centre c urgent svp.

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gharbi (non vérifié)

jeu, 10/20/2022 - 13:15

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bien

répondre

Anonyme (non vérifié)

lun, 12/19/2022 - 22:47

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Correction de l'exercice n 22

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Commentaires

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Correction d exercice n19

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