Limites et dérivabilité - TL

i. Soit $a$ un réel ou $\alpha=\infty$ et $c$ est un réel.

On a alors $\lim\limits_{\longrightarrow \alpha}c=c$

ii. Soit $n$ est un entier naturel.

On a alors :

$\bullet\ \lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}x^{n}=+\infty$

$\lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}x^{n}=\left\lbrace$$\begin{array}{rcl}+\mathrm{\infty }& \text{si }& n\text{ est pair}\\ -\mathrm{\infty }\text{ si }n& \text{ est impair}& \end{array}$$\right.$

$\bullet\ \lim\limits_{x\longrightarrow\longrightarrow+\infty }\dfrac{1}{x^{n}}=0$

iii. Si $f$ est une fonction polynôme et si a est un nombre réel alors $\lim\limits_{x\longrightarrow \alpha}f(x)=f(\alpha)$

Exemples

i. $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}x^{4}=+\infty$

ii. $\lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}x^{2}=+\infty$

iii. $\lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}x^{7}=-\infty$

iv. $\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}\dfrac{1}{x}=0$

v. $\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}\dfrac{1}{x^{6}}=0$

vi. $$$\begin{array}{r}f(x)=x^3-2x^2+3x+7\\ & \text{ donc }\underset{x⟶-1}{lim}f(x)\\ & =& f(-1)\\ & =& 1\end{array}$$$

Dans les tableaux suivants, $f$ et $g$ sont des fonctions, $a$ est un réel ou bien $a=\infty$ , $l$ et $l'$ sont des nombres réels.

limite d'une somme

$$$\begin{array}{|ccccccc|}\hline \underset{x⟶,\alpha }{lim}f(x)& 1& 1& 1& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }\\ \underset{x⟶\alpha }{lim}g(x)& 1^{\prime }& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }\\ lim\underset{x⟶\alpha }{lim}f(x)+g(x)& 1+1^{\prime }& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& \text{Forme indéterminée}\\ \hline\end{array}$$$

Exemple

$\bullet\ \lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}x^{3}+\dfrac{1}{x^{2}}=+\infty$

$\bullet\ $Limites d'un produit

$\alpha$ est un réel

$$$\text{Extra left or missing right}$$\right.&\left\lbrace$$\begin{array}{rcl}-\mathrm{\infty }& \text{ si }& \alpha >0\\ +\mathrm{\infty }& \text{ si }& \alpha <0\end{array}$$\right.\ \hline \end{array}$

Exemple :

$\bullet\ $Calculons $\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}2x^{2}$ ;

$\lim\limits_{x\longrightarrow,+\infty}x^{2}=+\infty$ et

$2>0$ donc $\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty }2x^{2}=+\infty$

$\bullet\ $Calculons $\lim\limits_{x\longrightarrow,+\infty}-2x^{2}$ ;

$\lim\limits_{x\longrightarrow\, +\infty}x^{2}=+\infty$ et

$2>0$ donc $\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty }-2x^{2}=-\infty$

$$$\begin{array}{|cccccccccc|}\hline \underset{x⟶,\alpha }{lim}f(x)& 1& 1>0& 1>0& 1<0& 1<0& +\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& 0\\ \underset{x⟶,\alpha }{lim}g(x)& 1^{\prime }& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& \mathrm{\infty }\\ \underset{x⟶,\alpha }{lim}f(x)\times g(x)& 1\times 1^{\prime }& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }& \text{Forme indétermininé}\\ \hline\end{array}$$$

$\bullet\ $Limite d'un quotient

Cas où la limite du dénominateur est non nulle

$$$\begin{array}{|cccccccc|}\hline \underset{x⟶,\alpha }{lim}f(x)& 1& 1& +\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& \mathrm{\infty }\\ \underset{x⟶\alpha }{lim}& 1^{\prime }\ne 0& \mathrm{\infty }& 1^{\prime }>0& 1^{\prime }<0& 1^{\prime }<0& 1^{\prime }<& 1& >0& 1^{\prime }<0& \mathrm{\infty }\\ \underset{x⟶,\alpha }{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}& {\displaystyle \frac{1}{1^{\prime }}}0& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }& \text{Forme indéterminée}\\ \hline\end{array}$$$

Cas où la limite des dénominateur est nulle

$$$\begin{array}{|cccc|}\hline \underset{x⟶\alpha }{lim}f(\alpha )& 1\ne 0& \mathrm{\infty }& 0\\ \underset{x⟶,\alpha }{lim}g(x)& 0& 0& 0\\ \underset{x⟶\alpha }{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}& \mathrm{\infty }& \mathrm{\infty }& \text{Forme indéterminée}\\ \hline\end{array}$$$

Dans les deux premiers cas, pour savoir de quel infini il s'agit, on est amené à étudier le signe du dénominateur dans un voisinage de $\alpha.$

Exemple 1

Calculons $\lim\limits_{x\longrightarrow\, 2}\dfrac{3x-2}{2x-4}$

Exemple 2

Calculons $\lim\limits_{x\longrightarrow\;,-1}\dfrac{x^{2}+x+6}{2x^{2}+x-1}$

$\bullet\ $La limite à l'infini d'un polynôme est égale à la limite à l'infini de son monôme de plus haut degré.
 
$\bullet\ $La limite à l'infini d'une fraction rationnelle est égale à la limite à l'infini du quotient du monôme de plus haut degré du numérateur par le monôme de plus haut degré du
dénominateur.

$\bullet\ $Exemples

$\bullet\ \lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}-3x^{4}-2x+7$

$\bullet\ \lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}\dfrac{x^{3}+x+6}{x^{2}+x-1}$

 

On dit qu'une fonction $f$ est dérivable en un réel $a\left(\alpha\in D_{f}\right)$ si $\lim\limits_{x\longrightarrow\, a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est un nombre réel

1. Le nombre réel $1$ est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$ et est noté $f'(a)$
 

$f(x)=x^{2}\ ;\ f$ est-t-elle dérivable en $1.$

$\lim\limits_{x\longrightarrow\, 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=2$ donc $f$ est dérivable en $1$ et le un nombre dérivé de $f$ en $1$ est $f'(1)=2$

Soit $f$ est une fonction dérivable en $a.$

La droite d'équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ est dite tangente à la courbe de $f$ au point $(a\ ;\ f(a))$

Nous avons vu plus haut que la fonction $f$ telle que $f(x)=x^{2}$ est dérivable en 1 et son nombre dérivé en $1$ est $f'(1)=2.$

Ainsi la droite d'équation $y=f'(1)(x-1)+f(1)$  c'est-à-dire $y=2x-1$ est la tangente à la courbe de $f$ au point $(1\;,f(1))=(1\ ;\ 1)+f(1)$ c'est-à-dire $y=2x-1$ est la tangente à la courbe de $f$ au point $(1\;,f(1))=(1\ ;\ 1)$

Le tableau suivant donne les fonctions dérivées de fonctions usuelles.

$$$\begin{array}{|ccc|}\hline f(x)& f^{\prime }(x)& \text{Ensemnle de dérivabilité de }f\\ f(x)=c;c\in \mathbb{R}& f^{\prime }(x)=0& \mathbb{R}\\ f(x)=x& f^{\prime }(x)=1& \mathbb{R}\\ f(x)=ax& f^{\prime }(x)=a& \mathbb{R}\\ f(x)=ax+b& f^{\prime }(x)=a& \mathbb{R}\\ f(x)=x^n;n\in \mathbb{N}\{0\}& f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}& \mathbb{R}\\ f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}& f^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}& {\mathbb{R}}^{\ast }\\ \hline\end{array}$$$

$\bullet\ $Pour $f(x)=-8$, on a $f'(x)=0$

$\bullet\ $Pour $f(x)=x^{2}$, on a $f'(x)=2x^{2-1}$ c'est-à-dire $f'(x)=2x$

$\bullet\ $Pour $f(x)=x^{3}$, on a $f'(x)=3x^{3-1}$ c'est-à-dire $f'(x)=3x^{2}$

$\bullet\ $Pour $f(x)=-\dfrac{1}{2}x$, on a$f'(x)=-\dfrac{1}{2}$

$\bullet\ $Pour $f(x)=4x-5$, on a $f'(x)=4$

$u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur un intervalle $I$,  $\alpha$ un nombre réel et $n$ un entier non nul.

$$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Fonctions définies par }& \text{Dérivées}\\ u(x)+v(x)& u^{\prime }(x)+v^{\prime }(x)\\ u(x)-v(x)& u^{\prime }(x)-v^{\prime }(x)\\ \alpha \times u(x)& \alpha \times u^{\prime }(x)\\ u(x)\times v(x)& u^{\prime }(x)\times v(x)+v^{\prime }(x)\times u(x)\\ {\displaystyle \frac{1}{u(x)}}& -{\displaystyle \frac{u^{\prime }(x)}{[u(x){]}^2}}\\ {\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}& {\displaystyle \frac{u^{\prime }(x)\times v(x)-v^{\prime }(x)\times u(x)}{[u(x){]}^2}}\\ u(x{)}^n& n{u}^{\prime }(x)[u(x){]}^{n-1}\\ \hline\end{array}$$$

$\bullet\ $Si $f$ est une fonction polynôme alors son ensemble de dérivabilité est $\mathbb{R}$

$\bullet\ $Si $f$ est une fraction rationnelle alors son ensemble de dérivabilité est $D_{f}$

 

 

 

 

 

 

Si $$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& {\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}\\ & \text{alors }{f}^{\prime }(x)\\ & =& {\displaystyle \frac{\left|\begin{array}{c}ab\\ cd\end{array}\right|}{(cx+d{)}^2}}\end{array}$$$

Soit $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I.$

$\bullet\ $Si pour tout $x\in I\;,f'(x)\geq 0$ alors $f$ est croissante sur $I.$

$\bullet\ $Si pour tout $x\in I\;,(x)\leq 0$ alors $f$ est décroissante sur $I$

$\bullet\ $Si pour tout $x\in I\;,f'(x)=0$ alors $f$ est constants sur $I$

Étudier le sens de variation d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$, c'est étudier si $f$ est croissante ou décroissante sur $I.$

$f(x)=x^{2}-6x+5$

Étudions le sens de variation de $f$ sur les intervalles de $D_{f}$
 
Le tableau suivant est appelé tableau de variation de $f$, il permet de visualiser les variations de $f.$
 

Si $f'(x)$ s'annule en a et change de signe alors $f$ admet un extrémum en a et dans ce cas,

l'extrémum est le point $(a\ ;\ f(a))$

De plus si le signe de $f'(x)$ passe de + en - alors l'extrémum est dit maximum et si c'est de - en + alors il est dit minimum.
 
Par exemple $f$ définie ci-dessus admet un extrémum en $3$ et cet extrémum est un minimum de $f$