Limites et dérivabilité - TL

i. Soit $a$ un réel ou $\alpha=\infty$ et $c$ est un réel.

On a alors $\lim\limits_{\longrightarrow \alpha}c=c$

ii. Soit $n$ est un entier naturel.

On a alors :

$\bullet\ \lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}x^{n}=+\infty$

$\lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}x^{n}=\left\lbrace\begin{array}{rcl}+\infty&\text{si }&n\text{ est pair}\\ -\infty\text{ si }n&\text{ est impair}&\end{array}\right.$

$\bullet\ \lim\limits_{x\longrightarrow\longrightarrow+\infty }\dfrac{1}{x^{n}}=0$

iii. Si $f$ est une fonction polynôme et si a est un nombre réel alors $\lim\limits_{x\longrightarrow \alpha}f(x)=f(\alpha)$

Exemples

i. $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}x^{4}=+\infty$

ii. $\lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}x^{2}=+\infty$

iii. $\lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}x^{7}=-\infty$

iv. $\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}\dfrac{1}{x}=0$

v. $\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}\dfrac{1}{x^{6}}=0$

vi. $\begin{array}{rcl}f(x)=x^{3}-2x^{2}+3x+7\\&\text{ donc }\lim\limits_{x\longrightarrow\,-1}f(x)\\&=&f(-1)\\&=&1 \end{array}$

Dans les tableaux suivants, $f$ et $g$ sont des fonctions, $a$ est un réel ou bien $a=\infty$ , $l$ et $l'$ sont des nombres réels.

limite d'une somme

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline\lim\limits_{x\longrightarrow,\alpha}f(x)&1&1&1&+\infty&-\infty&+\infty\\ \hline\lim\limits_{x\longrightarrow\,\alpha}g(x)&1'&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&-\infty\\ \hline \lim\lim_{x\longrightarrow \alpha}f(x)+g(x)&1+1'&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&\text{Forme indéterminée}\\ \hline \end{array}$

Exemple

$\bullet\ \lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}x^{3}+\dfrac{1}{x^{2}}=+\infty$

$\bullet\ $Limites d'un produit

$\alpha$ est un réel

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \lim\limits_{x\longrightarrow\,\alpha}f(x)&1&+\infty&-\infty\\ \hline \lim\limits_{x\longrightarrow\,\alpha}xf(x)&\alpha\times 1&\left\lbrace\begin{array}{rcl} +\infty&\text{ si }&\alpha>0\\ -\infty&\text{ si }&\alpha<0 \end{array}\right.&\left\lbrace\begin{array}{rcl} -\infty&\text{ si }&\alpha>0\\ +\infty&\text{ si }&\alpha<0 \end{array}\right.\\ \hline \end{array}$

Exemple :

$\bullet\ $Calculons $\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}2x^{2}$ ;

$\lim\limits_{x\longrightarrow,+\infty}x^{2}=+\infty$ et

$2>0$ donc $\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty }2x^{2}=+\infty$

$\bullet\ $Calculons $\lim\limits_{x\longrightarrow,+\infty}-2x^{2}$ ;

$\lim\limits_{x\longrightarrow\, +\infty}x^{2}=+\infty$ et

$2>0$ donc $\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty }-2x^{2}=-\infty$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline\lim\limits_{x\longrightarrow\;,\alpha}f(x)&1&1>0&1>0&1<0&1<0&+\infty&+\infty&-\infty&0\\ \hline\lim\limits_{x\longrightarrow\;,\alpha}g(x)&1'&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&-\infty&\infty\\ \hline \lim\limits_{x\longrightarrow\;,\alpha}f(x)\times g(x)&1\times 1'&+\infty&-\infty&-\infty&+\infty&+\infty&-\infty&+\infty&\text{Forme indétermininé}\\ \hline \end{array}$

$\bullet\ $Limite d'un quotient

Cas où la limite du dénominateur est non nulle

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline\lim\limits_{x\longrightarrow\;,\alpha}f(x)&1&1&+\infty&+\infty&-\infty&-\infty&\infty\\ \hline \lim\limits_{x\longrightarrow\,\alpha}&1'\neq 0&\infty&1'>0&1'<0&1'<0&1'<&1&>0&1'<0&\infty\\ \hline \lim\limits_{x\longrightarrow\;,\alpha}\dfrac{f(x)}{g(x)}&\dfrac{1}{1'}0&+\infty&-\infty&-\infty&+\infty&\text{Forme indéterminée}\\ \hline \end{array}$

Cas où la limite des dénominateur est nulle

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \lim\limits_{x\longrightarrow\,\alpha }f(\alpha)&1\neq 0&\infty&0\\ \hline \lim\limits_{x\longrightarrow\;,\alpha}g(x)&0&0&0\\ \hline \lim\limits_{x\longrightarrow\,\alpha}\dfrac{f(x)}{g(x)}&\infty&\infty&\text{Forme indéterminée}\\ \hline \end{array}$

Dans les deux premiers cas, pour savoir de quel infini il s'agit, on est amené à étudier le signe du dénominateur dans un voisinage de $\alpha.$

Exemple 1

Calculons $\lim\limits_{x\longrightarrow\, 2}\dfrac{3x-2}{2x-4}$

Exemple 2

Calculons $\lim\limits_{x\longrightarrow\;,-1}\dfrac{x^{2}+x+6}{2x^{2}+x-1}$

$\bullet\ $La limite à l'infini d'un polynôme est égale à la limite à l'infini de son monôme de plus haut degré.
 
$\bullet\ $La limite à l'infini d'une fraction rationnelle est égale à la limite à l'infini du quotient du monôme de plus haut degré du numérateur par le monôme de plus haut degré du
dénominateur.

$\bullet\ $Exemples

$\bullet\ \lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}-3x^{4}-2x+7$

$\bullet\ \lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}\dfrac{x^{3}+x+6}{x^{2}+x-1}$

 

On dit qu'une fonction $f$ est dérivable en un réel $a\left(\alpha\in D_{f}\right)$ si $\lim\limits_{x\longrightarrow\, a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est un nombre réel

1. Le nombre réel $1$ est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$ et est noté $f'(a)$
 

$f(x)=x^{2}\ ;\ f$ est-t-elle dérivable en $1.$

$\lim\limits_{x\longrightarrow\, 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=2$ donc $f$ est dérivable en $1$ et le un nombre dérivé de $f$ en $1$ est $f'(1)=2$

Soit $f$ est une fonction dérivable en $a.$

La droite d'équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ est dite tangente à la courbe de $f$ au point $(a\ ;\ f(a))$

Nous avons vu plus haut que la fonction $f$ telle que $f(x)=x^{2}$ est dérivable en 1 et son nombre dérivé en $1$ est $f'(1)=2.$

Ainsi la droite d'équation $y=f'(1)(x-1)+f(1)$  c'est-à-dire $y=2x-1$ est la tangente à la courbe de $f$ au point $(1\;,f(1))=(1\ ;\ 1)+f(1)$ c'est-à-dire $y=2x-1$ est la tangente à la courbe de $f$ au point $(1\;,f(1))=(1\ ;\ 1)$

Le tableau suivant donne les fonctions dérivées de fonctions usuelles.

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline f(x)&f'(x)&\text{Ensemnle de dérivabilité de }f\\ \hline f(x)=c\ ;\ c\in\mathbb{R}&f'(x)=0&\mathbb{R}\\ \hline f(x)=x&f'(x)=1&\mathbb{R}\\ \hline f(x)=ax&f'(x)=a&\mathbb{R}\\\hline f(x)=ax+b&f'(x)=a&\mathbb{R}\\ \hline f(x)=x^{n}\ ;\ n\in\mathbb{N}\lbrace 0\rbrace&f'(x)=nx^{n-1}&\mathbb{R}\\ \hline f(x)=\dfrac{1}{x}&f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}&\mathbb{R}^{\ast}\\ \hline \end{array}$

$\bullet\ $Pour $f(x)=-8$, on a $f'(x)=0$

$\bullet\ $Pour $f(x)=x^{2}$, on a $f'(x)=2x^{2-1}$ c'est-à-dire $f'(x)=2x$

$\bullet\ $Pour $f(x)=x^{3}$, on a $f'(x)=3x^{3-1}$ c'est-à-dire $f'(x)=3x^{2}$

$\bullet\ $Pour $f(x)=-\dfrac{1}{2}x$, on a$f'(x)=-\dfrac{1}{2}$

$\bullet\ $Pour $f(x)=4x-5$, on a $f'(x)=4$

$u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur un intervalle $I$,  $\alpha$ un nombre réel et $n$ un entier non nul.

$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Fonctions définies par }&\text{Dérivées}\\ \hline u(x)+v(x)&u'(x)+v'(x)\\ \hline u(x)-v(x)&u'(x)-v'(x)\\ \hline \alpha\times u(x)&\alpha\times u'(x)\\ \hline u(x)\times v(x)&u'(x)\times v(x)+v'(x)\times u(x)\\ \hline \dfrac{1}{u(x)}&-\dfrac{u'(x)}{[u(x)]^{2}}\\ \hline \dfrac{u(x)}{v(x)}&\dfrac{u'(x)\times v(x)-v'(x)\times u(x)}{[u(x)]^{2}}\\ \hline u(x)^{n}&nu'(x)[u(x)]^{n-1}\\ \hline \end{array}$

$\bullet\ $Si $f$ est une fonction polynôme alors son ensemble de dérivabilité est $\mathbb{R}$

$\bullet\ $Si $f$ est une fraction rationnelle alors son ensemble de dérivabilité est $D_{f}$

 

 

 

 

 

 

Si $\begin{array}{rcl} f(x)&=&\dfrac{ax+b}{cx+d}\\&\text{alors }f'(x)\\&=&\dfrac{\begin{vmatrix} a\quad b\\ c\quad d \end{vmatrix}}{(cx+d)^{2}} \end{array}$

Soit $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I.$

$\bullet\ $Si pour tout $x\in I\;,f'(x)\geq 0$ alors $f$ est croissante sur $I.$

$\bullet\ $Si pour tout $x\in I\;,(x)\leq 0$ alors $f$ est décroissante sur $I$

$\bullet\ $Si pour tout $x\in I\;,f'(x)=0$ alors $f$ est constants sur $I$

Étudier le sens de variation d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$, c'est étudier si $f$ est croissante ou décroissante sur $I.$

$f(x)=x^{2}-6x+5$

Étudions le sens de variation de $f$ sur les intervalles de $D_{f}$
 
Le tableau suivant est appelé tableau de variation de $f$, il permet de visualiser les variations de $f.$
 

Si $f'(x)$ s'annule en a et change de signe alors $f$ admet un extrémum en a et dans ce cas,

l'extrémum est le point $(a\ ;\ f(a))$

De plus si le signe de $f'(x)$ passe de + en - alors l'extrémum est dit maximum et si c'est de - en + alors il est dit minimum.
 
Par exemple $f$ définie ci-dessus admet un extrémum en $3$ et cet extrémum est un minimum de $f$