Etude de fonction - T S
I. Variations de fonction
Propriété :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
∙ Si la dérivée est positive sur I, alors f est croissante sur I.
∙ Si la dérivée est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
∙ Si la dérivée est nulle en toute valeur de I, alors la fonction f est constante sur I.
Exemple :
f(x)=2x2+3x+5g(x)=x+1x−1
h(x)=\mathrm{e}^{x}±x\qquad k(x)=x+\ln\backsim x
II. Parité d’une fonction
a. Ensemble de définition centré
Soit f une fonction.
Soit D_{f} son ensemble de définition.
On dit que D_{f} est un ensemble de définition centré si et et seulement si :
Pour tout réel x, si x\in D_{f}, alors -x\in D_{f}.
b) Fonction paire
On dit qu'une fonction f est paire si et seulement si :
1) Son ensemble de définition est centré,
2) Pour tout réel x de D_{f}, on a : f(-x)=f(x)
Exemple :
-\ \ Si n est un entier pair, positif, la fonction définie par f(x)=kx^{n} est paire.
-\ \ la fonction x\mapsto |x| est une fonction paire,
c) Fonction impaire
On dit qu'une fonction f est impaire si et seulement si :
1) Son ensemble de définition est centré,
2) Pour tout réel x de D_{f}, on a : f(-x)=-f(x)
-\ \ la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.
d) Autres cas de symétries dans une courbe
Soit f une fonction.
Soit D_{f} son ensemble de définition et (\mathcal{C}) sa courbe représentative.
Deux cas peuvent se présenter :
-\ \ (\mathcal{C}) est symétrique par rapport à un axe d'équation x=a,
-\ \ (\mathcal{C}) est symétrique par rapport à un point A(a\;,\ b).
Nous admettrons les résultats suivants :
Si, pour tout réel x tel que : a+x\in D_{f}, on a : a-x\in D_{f}\text{ et }f(a+x)=f(a-x)
Alors, la courbe (\mathcal{C}) est symétrique par rapport à l'axe d'équation x=a.
Si, pour tout réel x tel que a+x\in D_{f}, on a : a-x\in D_{f}\text{ et }f(a+x)+f(a-x)=2b
Alors, la courbe (\mathcal{C}) est symétrique par rapport au point A(a\;,\ b).
e) Périodicité
Définition :
On dit qu'une fonction f est périodique si et seulement si, il existe un réel T strictement positif tel que :
\forall \;x\in D_{f}\;,\text{ on a : }x+T\in D_{f}\text{ et }f(x+T)=f(x).
On appelle période de la fonction f le plus petit réel T vérifiant la propriété ci-dessus.
Si f est une fonction de période T, alors on a :
\forall\; x\in D_{f}\ :\ f(x+T)=f(x)
L'intervalle d'étude d'une fonction périodique peut se réduire à un intervalle couvrant une seule période.
Application :
f est la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\dfrac{x^{2}-x-2}{x^{2}-x+1}
Démontrer, en utilisant les deux méthodes, que la droite d'équation x=\dfrac{1}{2} est un axe de symétrie de (\mathcal{C}).
f est la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^{3}+3x^{2}-4
Démontrer, en utilisant les deux méthodes, que le point W(-1\;;\ -2) est un centre de symétrie de (\mathcal{C})
III. Extremums de fonction
Propriété :
Lorsque la dérivée d'une fonction s'annule, en changeant de signe, la fonction f admet un extremum.
Si f admet un extremum.
En un point d'abscisse a alors f'(a)=0.
En effet deux types de tableaux de variation peuvent se rencontrer :
Cas d’un maximum
\begin{array}{|l|lcccr|}\hline\text{valeurs de } x&a&&c&&b\\ \hline\text{signe de } f'(x)&&+&0&-&\\ \hline&&&\text{maximum}&&\\ \text{variations de }f&&\nearrow&|&\searrow&\\&&&|&&\\ \hline \end{array}
Cas d’un minimum
\begin{array}{|l|lcccr|}\hline\text{valeurs de } x&a&&c&&b\\ \hline\text{signe de } f'(x)&&-&0&+&\\ \hline&&&|&&\\ \text{variations de }f&&\searrow&|&\nearrow&\\&&&\text{minimum}&&\\ \hline \end{array}
Exemple :
Déterminer la nature des extrémums des fonctions suivantes
f(x)=x^{3}+3x^{2}-6x+5\qquad g(x)=x+\ln x
Exercice
Soit la fonction f définie pour tout x élément de l'intervalle [0\;,\ +\infty[ par :
[f(x)=x^{3}-19x^{2}+130x+100]
La fonction f modélise sur l'intervalle ]0\;;\ 16] la fonction coût total de production, en euro, d'un produit.
Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée, est donnée ci-dessous
Pour tout x dans l'intervalle ]0\;;\ 16], le quotient C_{M(x)}=\dfrac{f(x)}{x} est appelé coût moyen de production de x kilogrammes de produit.
1) Pour x dans l'intervalle ]0\;;\ 16], soit A le point d'abscisse x de la représentation graphique (\mathcal{C}) de la fonction f.
Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal au coût moyen
C_{M(x)}=\dfrac{f(x)}{x}.
2) L'entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production.
a) Par lecture graphique indiquer la valeur de x qui réalise ce minimum et la valeur de ce minimum.
b) On note C_{M'} la dérivée de la fonction.
Calculer C_{M'} et vérifier que pour x dans l'intervalle ]0\;;\ 16] :
C'(x)=\dfrac{(x-10)(2x^{2}+x+10)}{x^{2}}
\bullet\ \ Étudier les variations de la fonction x\mapsto C_{M(x)} sur ]0\;;\ 16].
\bullet\ \ En déduire la valeur x_{0} de x qui minimise le coût moyen.
3) On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet supplémentaire.
On modélise ce coût marginal par C_{m}(x)=f'(x)\text{ où }f' est la dérivée de f.
Exprimer en fonction de x le coût marginal.
Vérifier que pour x_{0}, le coût marginal est égal au coût unitaire moyen.
Auteur:
Moussa Fall
Commentaires
Ouattara (non vérifié)
lun, 05/13/2019 - 05:19
Permalien
Bien
Anonyme (non vérifié)
sam, 05/29/2021 - 21:02
Permalien
dans Documents
Anonyme (non vérifié)
sam, 05/29/2021 - 21:03
Permalien
dans Documents
Ajouter un commentaire