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Systèmes d'équations et d'inéquations - 1er L

Classe:

Première

I. Systèmes de trois équations linéaires à trois inconnues

1. Exemple

Le système

$\left\lbrace\begin{array}{lcl}x+10y-3z&=&5\\2x-y+2z&=&2\\-x+y+z&=&-3\end{array}\right.$ est formé de trois équations.

Chacune d'elle contient trois inconnues

$x$ ;

$y$ et

$z$ avec des exposants tous égaux à

$1.$

On dit qu'on a un système de trois équations linéaires à trois inconnues

$x$ ;

$y$ et

$z.$

Résoudre un tel système c'est trouver tous les triplets

$(x\;,\ y\;,\ z)$ de nombres réels qui vérifient les trois équations du système.

Question orale :

Qui peut résoudre ce système ?

Réponse orale :

Nous allons voir une méthode permettant de résoudre un tel système : la méthode du pivot de Gauss.

2. Résolution avec la méthode du pivot de Gauss

a. Exemple 1

Résolvons le système suivant en utilisant la méthode du pivot de Gauss

$\left\lbrace\begin{array}{lcl}x+10y-3z&=&5\\2x-y+2z&=&2\\-x+y+z&=&-3\end{array}\right.$

Pour résoudre un tel système, on commence par désigner les

$3$ équations respectivement par

$L_{1}$ ;

$L_{2}$ et

$L_{3}$

$\left\lbrace\begin{array}{lcl}x+10y-3z&=&5\qquad\left(L_{1}\right)\\2x-y+2z&=&2\qquad\left(L_{2}\right)\\-x+y+z&=&-3\qquad\left(L_{3}\right)\end{array}\right.$

$1^{er}$ étape :

On fixe l'équation

$\left(L_{1}\right)$ puis on élimine l'inconnue

$x$ dans

$\left(L_{2}\right)$ en considérant le sous-système

$-2\left\lbrace\begin{array}{lcl}x+10y-3z&=&5\qquad\left(L_{1}\right)\\2x-y+2z&=&2\qquad\left(L_{2}\right)\end{array}\right.$

$\text{d'où }\left\lbrace\begin{array}{lcl}-2x-20y+6z&=&-10\\2x-y+2z&=&2\end{array}\right.$

ainsi on a :

$-21y+8z=-8\quad\left(L'_{2}\right)$

$2^{ième}$ étape :

On fixe l'équation

$\left(L_{1}\right)$ puis on élimine l'inconnue

$x$ dans

$\left(L_{3}\right)$ en considérant le sous-système

$\left\lbrace\begin{array}{lcl}x+10y-3z&=&5\qquad\left(L_{1}\right)\\-x+y+z&=&-3\qquad\left(L_{3}\right)\end{array}\right.$

d'où ainsi on a :

$11y-2z=2\quad\left(L'_{3}\right)$

Ainsi, on obtient le système équivalent suivant :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl}x+10y-3z&=&5\qquad\left(L_{1}\right)\\-21y+8z&=&-8\qquad\left(L'_{2}\right)\\11y-2z&=&-3\qquad\left(L'_{3}\right)\end{array}\right.$

$3^{ième}$ étape :

On fixe

$\left(L'_{2}\right)$ puis on élimine

$y$ dans

$\left(L'_{3}\right)$ en considérant le sous-système

$\left\lbrace\begin{array}{lcl}-21y+8z&=&-8\qquad\left(L'_{2}\right)\\11y-2z&=&2\qquad\left(L'_{3}\right)\end{array}\right.$

Ainsi on a

$46z=-46\left(L"_{3}\right)$

On obtient le système équivalent suivant dit système triangulaire

$\left\lbrace\begin{array}{lcl}x+10y-3z&=&5\qquad\left(L_{1}\right)\\-21y+8z&=&-8\qquad\left(L'_{2}\right)\\46z&=&-46\qquad\left(L"_{3}\right)\end{array}\right.$

$4^{ième}$ étape :

Pour terminer la résolution, on détermine

$z$ dans

$\left(L"_{3}\right)$ , puis on remplace

$z$ par cette valeur dans

$\left(L'_{2}\right)$ , on obtient la valeur de

$y$ puis on obtient celle de

$x$ , en substituant à

$y$ et

$z$ par leurs valeurs respectives dans

$\left(L'_{1}\right).$

Ainsi on a :

$S=\left\lbrace(2\ ;\ 0\ ;\ -1)\right\rbrace$

b. Exemple 2

Résolvons le système suivant par la méthode du pivot de Gauss

$\left\lbrace\begin{array}{lcl}x-5y-7z&=&3\\5x+3y+z&=&3\\3x+y-2z&=&-1\end{array}\right.$

c. Exercice d'application

Résoudre le système suivant par la méthode du pivot de Gauss

$\left\lbrace\begin{array}{lcl}2x+y+z&=&7\\-x+4y-2z&=&1\\3x+2y-4z&=&-5\end{array}\right.$

II. Systèmes d'inéquations linéaires à deux inconnues

1. Inéquations linéaires à deux inconnues

a. Exemple

$2x+y-5>0$ est une inéquation linéaire à deux inconnues

$x$ et

$y.$

b. Résolution graphique

Pour résoudre graphiquement l'inéquation

$2x+y-5>0$ , on représente la droite

$(\mathcal{D})$ d'équation

$2x+y-5=0$ dans un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x&0&1\\&& \\\hline y&5&3\\ &&\\\hline \end{array}$

Ensuite, on choisit un point qui n'est pas sur

$(\mathcal{D})$ et dont ses coordonnées sont connues.

Par exemple : le point

$O\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}$ puis on remplace dans l'inéquation

$x$ et

$y$ respectivement par les coordonnées de

$O.$

Ainsi, on a

$2(0)+0-5>0$ c'est à dire

$-5>0$ faux donc les coordonnées de

$O$ ne vérifie pas l'inéquation.

On barre donc le demi-plan de frontière

$(\mathcal{D})$ contenant

$O.$

2. Systèmes de deux inéquations à deux inconnues

a. Exemple

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x-2y+1&\geq&0\\2x+y-3&<&0 \end{array}\right.$ est un système de deux inéquations linéaires à deux inconnues

$x$ et

$y$

b. Résolution graphique

Résolvons graphiquement le système

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x-2y+1&\geq&0\\2x+y-3&<&0 \end{array}\right.$

On commence par représenter graphiquement les droites

$\left(\mathcal{D}_{1}\right)$ d'équation

$x-2y+1=0$ et

$\left(\mathcal{D}_{1}\right)$ d'équation

$2x+y-3=0$ dans un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,,\ \vec{j}).$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x&-1&1\\&& \\\hline y&0&1\\ &&\\\hline \end{array}\qquad\qquad\begin{array}{|c|c|c|} \hline x&0&1\\ &&\\\hline y&3&1\\ &&\\\hline \end{array}$

Puis on choisit un point qui n'est ni sur

$\left(\mathcal{D}_{1}\right)$ , ni sur

$\left(\mathcal{D}_{2}\right)$ et dont les coordonnées sont connues.

Par exemple le point

$O\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}.$

En remplaçant

$x$ et

$y$ par les coordonnées de

$O$ dans l'inéquation 1, on a :

$0-2(0)+1\geq0$ c'est à dire

$1\geq 0$ vrai donc les cordonnées de

$0$ vérifie l'inéquation 1.

On barre donc le demi-plan de frontière

$\left(\mathcal{D}_{1}\right)$ ne contenant pas

$O.$

En remplaçant

$x$ et

$y$ par les coordonnées de

$O$ , dans l'inéquation 2, on a :

$2(0)+0-3<0$ c'est à dire

$-3<0$ vrai donc les coordonnées de

$0$ vérifie l'inéquation 2.

On barre donc le demi-plan de frontière

$\left(\mathcal{D}_{2}\right)$ ne contenant pas

$O.$

N.B :

le 3. Sera donné comme exercice à faire

3. Systèmes de trois inéquations à deux inconnues

a. Exemple

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} -x+y+2&\geq&0\\2x-y-4&<&0\\x-2y-1&>&0 \end{array}\right.$ est un système de trois inéquations à deux inconnues

$x$ et

$y.$

b. Résolution graphique

Exercice :

Résoudre graphiquement le système

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} -x+y+2&\geq&0\\2x-y-4&<&0\\x-2y-1&>&0 \end{array}\right.$

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Anonyme (non vérifié)

dim, 03/16/2025 - 11:56

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1. Exemple

2. Résolution avec la méthode du pivot de Gauss

a. Exemple 1

b. Exemple 2

c. Exercice d'application

II. Systèmes d'inéquations linéaires à deux inconnues

1. Inéquations linéaires à deux inconnues

a. Exemple

b. Résolution graphique

2. Systèmes de deux inéquations à deux inconnues

a. Exemple

b. Résolution graphique

N.B :

3. Systèmes de trois inéquations à deux inconnues

a. Exemple

b. Résolution graphique

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