Solutions exercices : Ordre dans R Intervalles et Calculs approchés - 2nd

Classe: 
Seconde

Exercice 1

a) $x^{2}=45\ $ et $\ y^{2}=442\ $ donc $x>y$ (puisque $x$ et $y$ sont positifs)
 
b) $x^{2}-y^{2}=12\sqrt{2}-4\sqrt{13}$. Posons $a=12\sqrt{2}$ et $b=4\sqrt{13}$, 
 
on a $a^{2}=288$ et $b^{2}=208$, d'où $a^{2}>b^{2}$ et par suite $a>b$ et $x^{2}>y^{2}$,
 
enfin $x>y$ (car $x$ et $y$ sont tous positifs)
 
c) $x^{2}-y^{2}=(13+2\sqrt{40})-(13+2\sqrt{42})=2(sqrt{40}-\sqrt{42})<0$
 
Par conséquent $x<y$
 
d) $\sqrt{7}<\sqrt{11}$, donc (en ajoutant $2\sqrt{3}$ aux deux membres),
 
$\sqrt{7}+2\sqrt{3}<\sqrt{11}+2\sqrt{3}$
 
Par conséquent $x<y$
 
e) On a \begin{eqnarray} x-y=1+2(\sqrt{3}-\sqrt{5})&=&x-y=1-2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\nonumber \\ &=&1-2\dfrac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\nonumber \\ &=&1-\dfrac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\nonumber \end{eqnarray}
Posons alors $a=4$ et $b=\sqrt{5}+\sqrt{3}\;,\ a^{2}-b^{2}=8-2\sqrt{15}$
 
Posons enfin $a'=8$ et $b'=2\sqrt{15}$. On a $a'^{2}-b'^{2}=64-60=4>0.$ 
 
Puisque $a\;,\ b\;,\ a'$ et $b'$ sont tous positifs, il en résulte successivement : \begin{eqnarray} a'>b'&\Rightarrow&a^{2}-b^{2}>0\nonumber \\ &\Rightarrow&a>b\nonumber \\ &\Rightarrow&\dfrac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}>1\nonumber \\ &\Rightarrow&(x-y)<0\nonumber \end{eqnarray}
Finalement, on a $x<y.$
 
f) On a $x^{2}=12+2\sqrt{35}\ $ et $\ y^{2}=12+2\sqrt{35}$
 
Donc, $x^{2}=y^{2}$ et comme $x$ et $y$ sont tous deux positifs, il en résulte que $x=y.$
 
g) On a $\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{7+4\sqrt{3}}7$ et $\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{7+5\sqrt{2}}.$ Or, $(4\sqrt{3})^{2}=49$ et $(5\sqrt{2})^{2}=50$, 

donc $4\sqrt{3}<5\sqrt{2}\ \Rightarrow\ 7+4\sqrt{3}<7+5\sqrt{2}.$
 
Puisque deux nombres positifs sont rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses, il en résulte que : $\dfrac{1}{7+4\sqrt{3}}7>\dfrac{1}{7+5\sqrt{2}}$, c'est-à-dire que $\dfrac{1}{x}>\dfrac{1}{y}$ et par une nouvelle application de la règle de rangement des inverses de nombres positifs, on conclut que : $x<y.$
 
h) On a $x^{2}-y^{2}=49(5+2\sqrt{6})-484=98\sqrt{6}-239$
 
On a $(98\sqrt{6})^{2}=57624\ $ et $\ (239)^{2}=57121.$ 
 
Donc $x^{2}>y^{2}$, car $x$ et $y$ sont positifs. 
 
i) On a $x^{2}=y^{2}=8-2\sqrt{15}$, d'où : $x=y$ (car $x$ et $y$ sont évidemment positifs).
 
j) On a $x^{2}=\dfrac{2}{9}+3+\dfrac{2\sqrt{6}}{3}=\dfrac{29}{9}+\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\ $ et $\ y^{2}=\dfrac{6}{4}+1+\sqrt{6}=\dfrac{5}{2}+\sqrt{6}$
 
Par conséquent : $x^{2}-y^{2}=\dfrac{13}{18}-\dfrac{\sqrt{6}}{3}=\dfrac{13-6\sqrt{6}}{18}$
 
Or $13^{2}=169\ $ et $\ (\sqrt{6})^{2}=216$,
 
donc $13<6\sqrt{6}$, d'où $x^{2}<y^{2}$ et par suite $x<y$, car $x$ et $y$ sont positifs.
 
k) En utilisant les expressions conjuguées des dénominateurs, on trouve que : $x=\sqrt{6}+\sqrt{5}\ $ et $\ y=\sqrt{5}+\sqrt{6}$, d'où $x=y$

Exercice 2

a) $x^{2}=4\;;\ x=2\ $ car $x$ est positif. 
 
b) $x^{2}=4\;;\ x=-2\ $ car $x$ est négatif. 
 
c) $x^{2}=4\;;\ x=2\ $ car $x$ est positif. 
 
d) $x^{2}=8\;;\ x=2\sqrt{2}\ $ car $x$ est positif.
 
d) $x^{2}=12\;;\ x=-2\sqrt{3}\ $ car $x$ est négatif.

Exercice 3

1) Si $x\leq 1\;$, alors $2x\leq 2$ 
 
si $x\geq -1\;,$ alors $2x\geq -2$
 
2) Si $x\leq 4\;$, alors $-\dfrac{x}{2}\geq -2$
 
si $x\geq -4\;,$ alors $-\dfrac{x}{2}\leq 2$
 
3) Si $x\leq \sqrt{2}\;$, alors $x+1\leq 1+\sqrt{2}$
 
si $x\geq -\sqrt{2}\;,$ alors $x-1\geq -\sqrt{2}-1$
 
4) Si $-1\leq x\leq 2\;$, alors $-3\leq 3x\leq 6$
 
si $\sqrt{2}\leq x\geq 1\;,$ alors $1+\sqrt{2}\leq x-1\leq 0$
 
5) Si $-1\leq x\leq 0\;$, alors $0\leq x+1\leq 1$
 
si $-\sqrt{2}\leq x\geq 1\;,$ alors $-1-\sqrt{2}\leq x-1\leq 0$
 
6) Si $x\leq 1\;$, alors $-2x+1\geq 0$
 
si $x\geq -1\;,$ alors $-\dfrac{x}{2}+3\leq\dfrac{7}{2}$
 
7) Si $-1\leq x$ et $2\leq y\;$, alors $x+y\geq 1$
 
si $1\geq x$ et $-1\leq y\;,$ alors $x-y\leq 2$
 
8) Si $x\geq 1\;$, alors $\dfrac{1}{x}\leq 1$
 
si $x\leq -2\;,$ alors $\dfrac{3}{x}\geq -\dfrac{3}{2}$
 
9) Si $x\geq\sqrt{2}\;$, alors $-\dfrac{\sqrt{2}}{x}\geq -1$
 
si $x\leq -1\;,$ alors $-\dfrac{\sqrt{3}}{x}\leq\sqrt{3}$
 
10) Si $x\geq 1$ et $y\geq 2\;$, alors $\dfrac{1}{3}\geq\dfrac{1}{x+y}$
 
si $x\leq -1$ et $y\leq -\sqrt{2}\;,$ alors $\dfrac{-2}{x+y}\leq 2(\sqrt{2}-1)$
 
11) Si $x\geq 4$ et $y\geq\sqrt{2}\;$, alors $xy\geq 4\sqrt{2}$
 
si $x\leq -2$ et $y\leq -3\;,$ alors $xy\geq 6$
 
12) Si $x>1\;$, alors $x^{2}>x.$ (Multiplier les 2 membres par $x>0).$
 
13) Si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $-1\leq a\leq 1$ et $-1\leq b\leq 1\;,$ on a $|a|\leq 1\ $ et $\ |b|\leq 1$, d'où $|ab|\leq 1$ c'est-à-dire $-1\leq ab\leq 1.$
 
14) \begin{eqnarray} -1\leq a\leq 1&\Leftrightarrow&|a|\leq 1\nonumber \\ &\Leftrightarrow&|a|^{2}\leq 1\quad(\text{inégalité entre deux nombres positifs})\nonumber \\ &\Leftrightarrow&a^{2}\leq 1\nonumber \end{eqnarray} 

Exercice 4

1) En multipliant les 3 membres de la double inégalité $0<a<1$ par $a$, on obtient : $0<a^{2}<a<1.$
 
Deux nombres positifs étant rangés dans le même ordre que leurs racines carrées, on a, toujours d'après cette double inégalité, $\sqrt{a}<1$, d'où en multipliant les 2 membres de cette inégalité par $\sqrt{a}>0\;,\ a<\sqrt{a}.$
 
Enfin, on a : $a<1$, d'où (2 nombres positifs étant dans l'ordre contraire de leurs inverses) $\dfrac{1}{a}>1$, donc évidemment $a<\dfrac{1}{a}.$
 
En résumé, on a dans ce cas : $0<a^{2}<a<\sqrt{a}<1<\dfrac{1}{a}.$
 
2) Dans le cas où $a>1$, on obtient en raisonnant de façon analogue : $0<\dfrac{1}{a}<1<\sqrt{a}<a<a^{2}$

Exercice 5

1) $17.3\leq a\leq 17.4\quad(1)\quad $ et $\quad 21.9\leq b\leq 22\quad(2)$
 
$\star\ $ Encadrement de $a+b$
 
Ajoutons membre à membre (ce qu'on a toujours le droit de faire) (1) et (2) pour obtenir : $$39.2\leq a+b\leq 39.4\quad(3)$$
$\star\ $ Encadrement de $a-b$
 
Multipliant (2) par (-1), on obtient : $-22\leq -b\leq -21.9\quad(4).$
 
Ajoutons membre à membre (1) et (4) : $17.3-22\leq a-b\leq 17.4-21.9$ Soit : $$-4.7\leq a-b\leq 4.5\quad(5)$$
N.B. Ici, il ne faut surtout pas soustraire membre à membre (1) et (2) !
 
$\star\ $ Encadrement de $ab$
 
Multiplions membre à membre (1) et (2) (on en a le droit car $a$ et $b$ sont tous deux encadrés par des nombres positifs) : $17.3\times 21.9\leq ab\leq 17.4\times 22$ soit : $$378.87\leq ab\leq 382.8\quad (6)$$
$\star\ $ Encadrement de $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$.
 
Encadrons $\dfrac{1}{a}$ et $\dfrac{1}{b}$ à l'aide de (1) et (2) respectivement. Deux nombres positifs étant rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses, ces inégalités entraînent : $\dfrac{1}{17.4}\leq\dfrac{1}{a}\leq\dfrac{1}{17.3}\quad(7)$ et $\dfrac{1}{22}\leq\dfrac{1}{b}\leq\dfrac{1}{21.9}\quad(8).$ 
 
Multiplions la relation (8) par -1 : $-\dfrac{1}{22}\geq -\dfrac{1}{b}\geq -\dfrac{1}{21.9}$, soit en réécrivant dans l'ordre habituel : $-\dfrac{1}{21.9}\leq -\dfrac{1}{b}\leq -\dfrac{1}{22}\quad(9).$
 
Ajoutons membre à membre (7) et (9). Il vient : 
 
$\dfrac{1}{17.4}-\dfrac{1}{21.9}\leq\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\leq\dfrac{1}{17.3}-\dfrac{1}{22}$, soit approximativement : $$0.0118\leq\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\leq 0.0123\quad(10)$$ 

Autre méthode :

Encadrons $\dfrac{1}{ab}$ à l'aide de (6). Deux nombres positifs étant rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses, cette double inégalité entraîne : $\dfrac{1}{17.4\times 22}\leq\dfrac{1}{ab}\leq\dfrac{1}{17.3}\times 21.9$, soit $0.00261\leq\dfrac{1}{ab}\leq 0.00263\quad(11).$
 
Multiplions la relation (5) par -1 : $4.5\leq b-a\leq 4.7\quad(12).$
 
Multiplions alors membre à membre (11) et (12) pour obtenir : 
 
$4.5\times 0.00261\leq\dfrac{b-a}{ab}\leq 4.7\times 0.00263$, soit encore : $$0.0117\leq\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\leq 0.0123\quad(10)$$ 
 
2) $-3.4\leq a\leq -3.3\quad(13)\quad $ et $\quad 37.5\leq b\leq 37.6\quad(14)$
 
$\star\ $ Encadrement de $a+b$ 
 
Ajoutons membre à membre (13) et (14) pour obtenir : 
 
$37.5-3.4\leq a+b\leq 37.6-3.3$
 
Soit : $$34.1\leq a+b\leq 34.3\quad(15)$$
 
$\star\ $ Encadrement de $a-b$ 
 
Multipliant (14) par (-1), on obtient : $-37.6\leq -b\leq -37.5\quad(16).$
 
Ajoutons membre à membre (13) et (16) : $-3.4-37.6\leq a-b\leq -3.3-37.5$
 
Soit : $$-41\leq a-b\leq -40.8\quad(17)$$
 
N.B. Ici encore, il ne faut surtout pas soustraire membre à membre (13) et (14) !
 
$\star\ $ Encadrement de $ab$ 
 
Attention : On n'a pas le droit de multiplier membre à membre (13) et (14) (car $a$ et $b$ ne sont pas tous deux encadrés par des nombres positifs) :
 
Encadrons $(-a)$ à l'aide de (13) : $3.3\leq(-a)\leq 3.4\quad(18).$
 
Multiplions membre à membre (18) et (14) : 
 
$3.3\times 37.5\leq (-ab)\leq 3.4\times 37.6\ \Leftrightarrow\ 123.75\leq -ab\leq 127.84$
 
D'où par une nouvelle multiplication par (-1) : $$-127.84\leq ab\leq -123.75\quad(19)$$
 
$\star\ $ Encadrement de $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}.$
 
Encadrons $\dfrac{1}{a}$ et $\dfrac{1}{b}$ à l'aide de (18) et (14) respectivement. Deux nombres positifs étant rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses, ces inégalités entraînent : $\dfrac{1}{3.4}\leq\dfrac{1}{-a}\leq\dfrac{1}{3.3}\quad(20)$ et $\dfrac{1}{37.6}\leq\dfrac{1}{b}\leq\dfrac{1}{37.5}\quad(21).$
 
Multiplions les relations (20) et (21) par -1 :
 
$-\dfrac{1}{3.4}\geq\dfrac{1}{a}\geq -\dfrac{1}{3.3}$ soit $-\dfrac{1}{3.3}\leq\dfrac{1}{a}\leq -\dfrac{1}{3.4}\quad(22).$
 
Et : $-\dfrac{1}{37.6}\geq -\dfrac{1}{b}\geq -\dfrac{1}{37.5}$ soit $-\dfrac{1}{37.5}\leq -\dfrac{1}{b}\leq -\dfrac{1}{37.6}\quad(23).$ 
 
Ajoutons membre à membre (22) et (23). Il vient : 
 
$-\dfrac{1}{3.3}-\dfrac{1}{37.5}\leq\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\leq -\dfrac{1}{3.4}-\dfrac{1}{37.6}\quad(23)$, soit approximativement : $$0.33\leq\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\leq -0.32\quad(24)$$

Autre méthode :

Encadrons $(-ab)$ à l'aide de (19) : $123.75\leq -ab\leq 127.84.$
 
Deux nombres positifs étant rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses, cette double inégalité entraîne : $$\dfrac{1}{123.75}\leq -\dfrac{1}{ab}\leq\dfrac{1}{127.84}\quad(25)$$
D'autre part, multiplions la relation (17) par -1 : $40.8\leq b-a\leq 41\quad(26).$
 
Multiplions alors membre à membre (25) et (26) pour obtenir : 
 
$\dfrac{40.8}{123.75}\leq\dfrac{a-b}{ab}\leq\dfrac{41}{127.84}$, soit par une nouvelle multiplication par (-1) :
 
$-\dfrac{41}{127.84}\leq\dfrac{b-a}{ab}\leq -\dfrac{40.8}{123.75}$ c'est-à-dire encore : $$-0.33\leq\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\leq -0.32\quad(24)$$
 
3) $-0.6\leq a\leq -0.5\quad(27)\quad $ et $\quad -39.4\leq b\leq -39.3\quad(28)$
 
$\star\ $ Encadrement de $a+b$
 
Ajoutons membre à membre (27) et (28) pour obtenir : 
 
$-0.6-39.4\leq a+b\leq -0.5-39.3$ Soit : $$-40\leq a+b\leq -39.8\quad(29)$$
 
$\star\ $ Encadrement de $a-b$
 
Multipliant (28) par (-1), on obtient : $39.3\leq -b\leq 39.4\quad(30).$
 
Ajoutons membre à membre (27) et (30) : 
 
$-0.6+39.3\leq a-b\leq -0.5+39.4$ Soit : $$38.7\leq a-b\leq 38.9\quad(31)$$
 
N.B. Ici, on n'a évidemment pas le droit de soustraire membre à membre (27) et (28) !
 
$\star\ $ Encadrement de $ab$
 
On n'a pas le droit de multiplier membre à membre (27) et (14) (car a et b sont tous deux encadrés par des nombres négatifs) :
 
On multiplie d'abord (27) et (28) par (-1) pour obtenir :
 
$0.5\leq -a\leq 0.6\quad(32)$ et $39.3\leq -b\leq 39.4\quad(33).$
 
Multiplions membre à membre (32) et (33) : $$19.65\leq ab\leq 23.64\quad(34)$$
$\star\ $ Encadrement de $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}.$
 
Encadrons $-\dfrac{1}{a}$ et $-\dfrac{1}{b}$ à l'aide de (32) et (33) respectivement. Deux nombres positifs étant rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses, ces inégalités entraînent : 
 
$\dfrac{1}{0.6}\leq\dfrac{1}{-a}\leq\dfrac{1}{0.5}\quad(35)$ et $\dfrac{1}{39.4}\leq -\dfrac{1}{b}\leq\dfrac{1}{39.3}\quad(36).$
 
Multiplions la relation (35) par -1 :
 
$-\dfrac{1}{0.6}\geq\dfrac{1}{a}\geq -\dfrac{1}{0.5}$ soit $-\dfrac{1}{0.5}\leq\dfrac{1}{a}\leq -\dfrac{1}{0.6}\quad(37).$
 
Ajoutons membre à membre (36) et (37). Il vient : 
 
$-\dfrac{1}{0.5}+\dfrac{1}{39.4}\leq\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\leq -\dfrac{1}{0.6}+\dfrac{1}{39.3}$, soit approximativement : $$-1.97\leq\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\leq -1.64\quad(38)$$

Autre méthode : 

On avait déjà un encadrement de $ab$ grâce à (34). On en déduit en passant aux inverses : $$\dfrac{1}{23.64}\leq\dfrac{1}{ab}\leq\dfrac{1}{19.65}\quad(39)$$ 
Multiplions membre à membre (31) et (39) : 
 
$\dfrac{38.7}{23.64}\leq\dfrac{a-b}{ab}\leq\dfrac{38.9}{19.65}$ soit approximativement : 
 
$1.637\leq\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}\leq 1.979$, puis par une nouvelle multiplication par (-1): 
 
$-1.979\leq\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\leq -1.637$ (encadrement très voisin de (38).
 
4) $-6\;10^{-5}\leq a\leq -5\;10^{-5}\quad(40)\quad $ et $\quad 3\;10^{-3}\leq b\leq 4\;10^{-3}\quad(41)$
 
$\star\ $ Encadrement de $a+b$
 
Ajoutons membre à membre (40) et (41) pour obtenir : 
 
$-6\;10^{-5}+3\;10^{-3}\leq a+b\leq -5\;10^{-5}+4\;10^{-3}$ Soit : $$0.00294\leq a+b\leq 0.007\quad(42)$$
$\star\ $ Encadrement de $a-b$ On multiplie (41) par (-1) et on ajoute l'encadrement obtenu à (40).
 
On trouve : $$-0.00406\leq a-b\leq -0.00305\quad(43)$$
$\star\ $ Encadrement de $ab$
 
On multiplie (40) par (-1) et on multiplie l'encadrement obtenu avec (41) membre à membre. On trouve alors : 
 
$15\;10^{-8}\leq -ab\leq 24\;10^{-8}$, soit par une nouvelle multiplication par (-1) : $$-24\;10^{-8}\leq ab\leq -15\;10^{-8}\quad(44)$$
$\star\ $ Encadrement de $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}.$

On multiplie (40) par (-1) et on passe aux inverses, ce qui donne :
 
$\dfrac{1}{6}\;10^{5}\leq -\dfrac{1}{a}\leq\dfrac{1}{5}\;10^{5}\quad(45)$
 
Ensuite, on passe aux inverses dans (41) : $\dfrac{1}{4}\;10^{3}\leq \dfrac{1}{b}\leq\dfrac{1}{3}\;10^{3}\quad(46)$ 
 
Puis on multiplie chacun des encadrements (45) et (46) par (-1) et on additionne membre à membre les encadrements obtenus pour obtenir finalement : $-\dfrac{61}{3}\;10^{3}\leq\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\leq -\dfrac{50.75}{3}\;10^{3}$
 
Ou encore $$-2033.33\leq\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\leq -1691.67\quad(47)$$

Exercice 6

1) On trouve :

$1.5\leq-2a+5\leq 1.54$ ;    
$\quad$
$2.1316\leq b^{2}\leq 2.25$ ;
$\quad$
$3.6316\leq b^{2}-2a+5\leq 3.79$ ;
$\quad$ 
$0.23\leq a-b\leq 0.29$ ;  
$\quad$
$1.153\leq\dfrac{a}{b}\leq 1.197$
$\quad$
$5.4095\leq a^{2}+2\sqrt{b}\leq 5.5120$
$\quad$ 
2) $1^{er}$ cas :
$$\left\lbrace\begin{array}{lllll}
4&\leq&a&\leq&4.1\\-0.5&\leq&b&\leq&0
\end{array}\right.$$
$$\Rightarrow\left\lbrace\begin{array}{lllll}
4&\leq&a&\leq&4.1\\0&\leq&-b&\leq&0.5
\end{array}\right.$$
 
On a alors en multipliant membre à membre :

$0\leq-ab\leq 2.05$ soit :
$$-2.05\leq ab\geq 0\quad(1)$$
 
$2^{ème}$ cas :
$$\left\lbrace\begin{array}{lllll}
4&\leq&a&\leq&4.1\\0&\leq&b&\leq&0.3
\end{array}\right.$$

On a alors en multipliant membre à membre :

$0\leq ab\leq 1.23\quad(2)$

D'après $(1)$  et  $(2)$, l'encadrement de $ab$ est : $$-2.05\leq ab\leq 1.23$$

Exercice 7

1) Pour tous réels $x$ et $y$, on a :

$(x-y)^{2}\geq 0$ (un carré est toujours positif), soit : $$x^{2}-2xy+y^{2}\geq 0$$
ou encore : $$x^{2}+y^{2}\geq 2xy\quad(1).$$

Les deux membres de $(1)$ étant non nuls et positifs d'après l'hypothèse
$x>0$ et $y>0$
 
On a en passant aux inverses : $$\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\leq\dfrac{1}{2xy}\quad(1)$$

2) a) Multiplions les deux membres de $(1)$ par $(x+y)$ qui est strictement positif par hypothèse, on obtient :
$$\dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}}\leq\dfrac{x+y}{2xy}$$, ce qui s'écrit :  
$$\dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}}\leq\dfrac{x}{2xy}+\dfrac{y}{2xy}\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}}\leq\dfrac{1}{2y}+\dfrac{1}{2x}$$

ou encore : $$\dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}}\leq\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\quad(2).$$
 
b) En appliquant l'inégalité du $(1)$ à $y$ et $z$, puis à $x$ et $z$, on obtient :
$$\dfrac{y+z}{y^{2}+z^{2}}\leq\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\quad(3)$$
$$\dfrac{x+z}{x^{2}+z^{2}}\leq\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\quad(4)$$

En ajoutant membre à membre $(2)$, $(3)$ et $(4)$, on a alors :
$$\dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{y+z}{y^{2}+z^{2}}+\dfrac{x+z}{x^{2}+z^{2}}\leq\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)$$

soit :
$$\dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{y+z}{y^{2}+z^{2}}+\dfrac{x+z}{x^{2}+z^{2}}\leq\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{2}{z}\right)$$,

ou encore :   
$$\dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{y+z}{y^{2}+z^{2}}+\dfrac{x+z}{x^{2}+z^{2}}\leq\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$$

Exercice 8

1) $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$  

2) \begin{eqnarray} \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{3}-\dfrac{a^{3}+b^{3}}{2}&=&\dfrac{a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}−4(a^{3}+b^{3})}{8}\nonumber\\ &=&\dfrac{-3a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}-3b^{3}}{8}\nonumber\\ &=&-\dfrac{3}{8}[a^{2}(a-b)-b^{2}(a-b)]\nonumber\\ &=&-\dfrac{3}{8}[(a-b)(a^{2}-b^{2})]\nonumber\\ &=&-\dfrac{3}{8}[(a-b)^{2}(a+b)]\leq 0 \end{eqnarray}

On en conclut que :
$$\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{3}\leq\dfrac{a^{3}+b^{3}}{2}.$$

Exercice 9

On a en utilisant les expressions conjuguées :

$$A=\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\quad\text{et}\quad B=\dfrac{a-b}{\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}}$$
 
On a $a>a-1$, donc $\sqrt{a}>\sqrt{a-1}\quad (1)$  et  $b>b-1$, donc $\sqrt{b}>\sqrt{b-1}\quad (2)$ (deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées).

En additionnant membre à membre ces deux inégalités, on obtient :
$$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\;,$$
d'où en passant aux inverses :  
$$\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}<\dfrac{1}{\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}}\quad. (3)$$
 
D'autre part,  les inégalités $a>b>1$ entraînent :  $a-b>0.$
 
En multipliant les deux membres de $(3)$ par $a-b$,
 
on voit facilement que : $A<B.$

Exercice 10

1) Facile, développer $(a+b+c)(a+b+c)$ en regroupant les termes de même nature.
 
2) $(a-b)^{2}+( b-c)^{2}+(c-a)^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-ac).$

Le premier membre étant positif, puisqu'il est la somme de trois carrés, il en résulte que le second membre l'est aussi, donc sa moitié,  et par suite : 
$$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-ac\geq 0\quad  (^{\ast}).$$

L'inégalité précédente devient une égalité lorsque le premier membre est nul, c'est-à-dire lorsque chacun des termes $(a-b)^{2}\;,\ (b-c)^{2}\;,\ (c-a)^{2}$ est nul $($la somme de $3$ réels positifs ne peut être nulle que si chacun de ces réels est nul$)$, en d'autres termes lorsque $a=b=c.$

Ce sont donc les triplets du type $(a\;,\ a\;,\ a).$
 
3) Les réels $\dfrac{|a+b+c|}{\sqrt{3}}$ et $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ étant positifs, l'inégalité :  
$$\dfrac{|a+b+c|}{\sqrt{3}}\geq\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\quad (^{\ast\ast})$$ est équivalente à : $$\left(\dfrac{|a+b+c|}{\sqrt{3}}\right)^{2}\leq\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\right)^{2}\;,$$ soit à :
$$\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc}{3}\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}\;,$$
 
ou encore, en multipliant les $2$ membres par $3$ et en transposant dans le membre de droite, à :  
$$2(a^{2}+a^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)\geq 0$$, ce qui est vrai d'après l'inégalité$\quad(^{\ast}).$
 
Il y a égalité s'il y a égalité dans$\quad (^{\ast})$, c'est-à-dire si $a=b=c.$
 
4) Appliquons l'inégalité $({^\ast\ast})$ en remplaçant $a\;,\ b$ et $c$ par $\sqrt{a}\;,\ \sqrt{b}$ et $\sqrt{c}$ respectivement.

On obtient :  
$$\dfrac{|\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}|}{\sqrt{3}}\leq\sqrt{a+b+c}\Leftrightarrow  \dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{3}}\leq\sqrt{a+b+c}$$
 
$($car $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ est positif, donc égal à sa
valeur absolue$).$

Multiplions alors les $2$ membres de cette dernière inégalité par $\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$

On a ainsi :

Exercice 11

1) a) On a par hypothèse : $0<a\leq 1\quad  (1)\;,\ 0< b\leq 1\quad  (2)\quad\text{et}\quad 0<c\leq 1\quad  (3).$

Par multiplication membre à membre des inégalités $(1)$ et $(2)$, (ce qui est permis puisque tous les membres sont positifs ou nuls), on obtient :
$$0<ab\leq 1\quad  (4).$$

De même, en multipliant membre à membre $(1)$ et $(3)$, puis $(2)$ et $(3)$, on obtient :  
$$0<ac\leq 1\quad  (5).$$

et :

$$0<bc\leq 1\quad  (6).$$

De $(4)$, $(5)$ et $(6)$, on déduit que : $$(ab-1)\leq 0\;,\ (ac-1)\leq 0\quad\text{et}\quad(bc-1)\leq 0.$$

Le produit de $3$ réels négatifs étant négatifs, on en déduit qu'on a bien :
$$(ab-1)(bc-1)(ca-1)\leq 0\quad   (7)$$

b) En développant le premier membre de $(7)$, on obtient (après regroupement) :
$$a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}bc-ab^{2}c-abc^{2}+ab+ac+bc-1\leq 0\quad  (8).$$

$a\;,\ b$ et $c$ étant strictement positifs par hypothèse, on peut diviser les deux membres de $(8)$ par $\dfrac{1}{abc}$ qui est $>0$, pour obtenir :  
$$abc-a-b-c+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{abc}\leq 0\;,$$

soit, en transposant les termes précédés du signe $-$ :     
$$abc+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\leq a+b+c+\dfrac{1}{abc}\;,$$

ce qui est équivalent à l'inégalité à démontrer.

2) a) Première méthode : Les inégalités $0<x\leq y\leq z\leq t$ impliquent que les réels $\dfrac{x}{y}\;,\ \dfrac{y}{z}\;,\ \dfrac{z}{t}$ et $\dfrac{t}{x}$, $($qui existent, puisque par hypothèse $x\;,\ y\;,\ z$ et $t$ sont tous strictement positifs$)$, sont tous inférieurs ou égaux à $1.$

En effet, $x\leq y\Rightarrow\dfrac{x}{y}\leq 1$ $\left(\text{multiplication des }2\text{ membres par }\dfrac{1}{y}>0\right).$

Et de même : $$y\leq z\Rightarrow\dfrac{y}{z}\leq 1\quad\text{et}\quad z\geq t\Rightarrow\dfrac{z}{t}\geq 1.$$

En résumé, on a : $$0<\dfrac{x}{y}\leq 1\ ;\ 0<\dfrac{y}{z}\leq 1\ ;\ 0<\dfrac{z}{t}\leq 1.$$

En posant $a=\dfrac{x}{y}\;,\ b=\dfrac{y}{z}\text{ et }c=\dfrac{z}{t}$, on peut donc légitimement appliquer à $a\;,\ b$ et $c$ l'inégalité du 1) b), ce qui donne $\left(\text{avec }abc=\dfrac{xyz}{yzt}=\dfrac{x}{t}\right)$ :
$$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{t}+\dfrac{t}{x}\geq\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{t}{z}+\dfrac{x}{t}\quad C.Q.F.D.$$

a) Deuxième méthode :

Les inégalités $0<x\leq y\leq z\leq t$  impliquent en particulier que : $z\geq x$, donc $(z-x)\geq 0$, que $t\geq  y$, donc que $(t-y) \geq 0$, et que : $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} y&\geq& x\\ t&\geq& 0 \end{array}\right.$$ ce qui entraîne par multiplication membre à membre :

$$yt-xz\geq 0.$$
    
Ainsi, chacun des facteurs du produit $(z-x)(t-z)(yt-xz)$ est positif et, par conséquent, il en est de même de celui-ci.
    
Développons alors le premier membre de l'inégalité :  
$$(z-x)(t-z)(yt-xz) \geq 0.$$
    
On obtient après regroupement :
$$tx^{2}z+txy^{2}+xyz^{2}+t^{2}yz-x^{2}yz-t^{2}xy-txz^{2}-ty^{2}z\geq 0\;,$$
    
soit après transposition des termes précédés du signe $-$ et division par $xyzt$ des deux membres :
$$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{t}+\dfrac{t}{x}\geq\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{t}{z}+\dfrac{x}{t}\quad C.Q.F.D.$$  

Exercice 12

On a les $n$ inégalités :
    
$n+1\leq 2n\ ;\ n+2\leq 2n\ ;\ .............\ ;\ 2n-1\leq 2n$  et  $2n\leq 2n$, d'où  en passant aux inverses dans chacune d'entre elles les $n$ autres inégalités :
$$\dfrac{1}{n+1}\geq\dfrac{1}{2n}\ ;\ \dfrac{1}{n+2}\geq\dfrac{1}{2n}\ ;.........\ ;\ \dfrac{1}{2n-1}\geq\dfrac{1}{2n}$$ et enfin $\dfrac{1}{2n}\geq\dfrac{1}{2n}$ 
    
Ces dernières, ajoutées membre à membre, donnent :
$$\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{2n-1}+\dfrac{1}{2n}\geq\underbrace{\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2n}+\ldots+\dfrac{1}{2n}}_{n\text{ fois}}$$ 
    
Soit : $\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{2n-1}+\dfrac{1}{2n}\geq n\times\dfrac{1}{2n}$, autrement dit :
    
$$\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{2n-1}+\dfrac{1}{2n}\geq \dfrac{1}{2}$$

Exercice 13

L'hypothèse $2x+4y=1$ entraîne que : $y=\dfrac{1-2x}{4}.$
    
On a alors :
$$x^{2}+y^{2}-\dfrac{1}{20}=x^{2}+\left(\dfrac{1-2x}{4}\right)^{2}−\dfrac{1}{20}\;,$$  
    
soit après réduction au même dénominateur :
$$x^{2}+y^{2}-\dfrac{1}{20}=\dfrac{100x^{2}-20x+1}{80} =\dfrac{(10x-1)^{2}}{ 80}.$$

Cette quantité étant toujours positive, on en conclut que :  
$$x^{2}+y^{2}\geq\dfrac{1}{20}$$

Exercice 14

Posons $a=\dfrac{ x+y}{1+x^{2}+y^{2}}$ et $b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

On a :

$a-b=\dfrac{2(x+y)-\sqrt{2}(1+x^{2}+y^{2})}{2(1+x^{2}+y^{2})}=\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{2}x+\sqrt{2}-1-x^{2}-y^{2})} {2(1+x^{2}+y^{2})} $

Il s'agit de montrer que le numérateur de cette expression est négatif, car le dénominateur est visiblement positif.

Or, on a :

\begin{eqnarray}
\sqrt{2}x\sqrt{2}y-1-x^{2}-y^{2}&=&-(x^{2}+y^{2}-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+1)\nonumber\\&=&-[(x^{2}-\sqrt{2}x)+(y^{2}-\sqrt{2}y)+1]\nonumber\\
&=&-\left[\left(x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{2}+\left(y-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{2}+1\right]\nonumber \\&=&-\left[\left(x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}\right] \end{eqnarray}

Cette dernière expression est effectivement négative (opposé de la somme de deux carrés).

Il en résulte que $a-b$ est négatif ou nul, d'où finalement $a\leq b.$

Exercice 15

Les inégalités  $-1\leq x\leq 1\quad (1)$  et  $-1\leq y\leq 1\quad  (2)$ entraînent que $1+x\geq 0$ et $1+y\geq 0.$

Il s'ensuit que $(1+y)(1+x) \geq 0.$

D'autre part, on a :
\begin{eqnarray} 4+x+y+xy&=&3+1+x+y+xy\nonumber\\ &=&3+(1+y)+x+xy\nonumber\\ &=&3+(1+y)+x(1+y)\nonumber\\&=&3+(1+y)(1+x)\end{eqnarray}

Par conséquent : $4+x+y+xy\geq 3.$

On peut alors passer aux inverses (puisqu'on a une inégalité entre deux nombres positifs) pour obtenir : $$\dfrac{1}{4+x+y+xy}\leq\dfrac{1}{3}.$$

Exercice 16

On a : $X-Y=(a+b)(c+d)-(a+c)(b+d)=ac-ab+bd-cd$ (après développement et simplification)

$=a(c-b)+d(b-c)=(c-b)(a-d).$

Les hypothèses  $a<b<c<d$ entraînent que : $(c-b)\geq 0\quad\text{et}\quad(a-d)\leq 0$, donc $X\leq Y\quad (1).$

D'autre part, $Y-Z=(a+c)(b+d)-(a+d)(b+c)=ad-ac+bc-bd$ (toujours après développement et simplification), soit $Y-Z=(d-c)(a-b)$, quantité qui est négative d'après les hypothèses faites sur $a\;,\ b\;,\ c$ et $d.$

Ainsi, on a : $Y\leq Z\quad (2).$

Des inégalités $(1)$ et $(2)$, on conclut que : $X\leq Y\leq Z.$

Exercice 17

1) On a : $a^{2}+b^{2}-2ab=(a-b)^{2}\geq 0$, donc $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$ pour tous réels $a$ et $b.$
    
2) On a d'après la question 1) :  $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$, d'où en multipliant les $2$ membres par $c>0$ :
$$(a^{2}+b^{2})c\geq 2abc\quad  (1)$$

On obtient en appliquant $2$ autres fois 1) $($à $b$ et $c$, puis à $a$ et $c)$ :
$$(b^{2}+c^{2})a\geq 2bca\quad  (2) $$
$$(c^{2}+a^{2})b\geq 2cab\quad  (3)$$

En ajoutant membre à membre les inégalités $(1)$, $(2)$ et $(3)$, on a bien :
$$(a^{2}+b^{2})c+(b^{2}+c^{2})a+(c^{2}+a^{2})b\geq 6abc.$$
    
3) \begin{eqnarray} \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{9}{a+b+c}&=&\dfrac{bc+ca+ab}{abc}-\dfrac{9}{a+b+c}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{(a+b+c)(bc+ca+ab)-9abc}{abc(a+b+c)}\nonumber\\\\&=& \dfrac{a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+ac^{2}+b^{2}c+bc^{2}-6abc}{abc(a+b+c)}\nonumber\\\\&=&\dfrac{(a^{2}+b^{2})c+(b^{2}+c^{2})a+(c^{2}+a^{2})b-6abc}{abc(a+b+c)}\end{eqnarray}

Or, le numérateur de cette expression est positif, d'après 2).

D'où le résultat.

Exercice 18

1) On a : $x^{2}+1-2x=x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}\geq 0.$

D'où le résultat.

2) On applique $4$ fois le résultat du 1) $($à $a$, $b$, $c$ et $d)$ :
$$a^{2}+1\geq 2a\quad (1)\ ;\ $$
$$b^{2}+1\geq 2b\quad (2)\ ;\ $$
$$c^{2}+1\geq 2c\quad (3)\ ;\ $$
$$d^{2}+1\geq 2d \quad(4).$$

Puis on multiplie membre à membre ces $4$ inégalités, ce qui donne :
$$(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)(d^{2}+1)\geq 16abcd \quad(5).$$

Enfin, on divise les $2$ membres de $(5)$ par $abcd$, qui est strictement positif par hypothèse, pour obtenir l'inégalité demandée.

Exercice 19

1) Tout d'abord, on remarque que l'expression $E=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$ est positive puisqu'elle est la somme de trois carrés.

En développant, on obtient :
$$E=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac)\quad (^{\ast})$$

et puisque $E$ est positif, on en déduit que $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac$ est aussi positif, ce qui s'écrit :
$$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac.$$

On a l'égalité lorsque $E$ est nul, c'est-à-dire lorsque $a=b=c.$

2) Si $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$, l'inégalité du 1) s'écrit : $1\geq ab+bc+ac\quad (1).$

D'autre part, $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ac)$ est positif (puisque c’est un carré), donc $1+2(ab+bc+ac)\geq 0$, d'où :       
$$ab+bc+ac\geq-\dfrac{1}{2}\quad  (2)$$

Les inégalités $(1)$ et $(2)$ fournissent la double inégalité :   
$$-\dfrac{-1}{2}\leq ab+bc+ac\leq 1.$$

Exercice 20

1) Le carré de $a=\sqrt{2n-1}\times \sqrt{2n+1}$ est $(2n-1)(2n+1)=4n^{2}-1$ et celui de $b=2n$ est $4n^{2}$, donc on a $a^{2}<b^{2}$ et puisque $a$ et $b$ sont évidemment positifs, on en déduit que : $a<b$

2) Multipliant les $2$ membres de l’inégalité $\sqrt{2n-1}\times\sqrt{2n+1}<2n$ par $\sqrt{2n-1}$ (qui est positif), on obtient : $$(2n-1)\sqrt{2n+1}\leq  2n\sqrt{2n-1}.$$

Divisant les $2$ membres de cette dernière inégalité par $2n\sqrt{2n+1}$, on a : $$\dfrac{2n-1}{2n}\leq\dfrac{\sqrt{2n-1}}{\sqrt{2n+1}}$$

3) Appliquons $n$ fois l’inégalité obtenue au 2) en remplaçant $n$ successivement par $1\;,\ 2\;,\ 3\;,….n$ :  

$$\left\lbrace\begin{array}{clr}
\dfrac{1}{2}&\leq&\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}\\
\dfrac{3}{4}&\leq&\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\\
\dfrac{5}{6}&\leq&\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\\
        &… &… \\
        &…&..\\
\dfrac{2n-3}{2n-2}&\leq&\dfrac{\sqrt{2n-3}}{\sqrt{2n-1}}\\
\dfrac{2n-1}{2n}&\leq&\dfrac{\sqrt{2n-1}}{\sqrt{2n+1}}\\
\end{array}\right.$$
              
Par multiplication membre à membre de ces $n$ inégalités entre nombres positifs, on obtient :
$$\require{cancel} \dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{6}\times…..\times\dfrac{2n-3}{2n-2}\times\dfrac{2n-1}{2n}\leq\dfrac{1}{\cancel{\sqrt{3}}}\times \dfrac{\cancel{\sqrt{3}}}{\cancel{\sqrt{5}}}\times\dfrac{\cancel{\sqrt{5}}}{\cancel{\sqrt{6}}}\times.....\times\dfrac{\cancel{\sqrt{2n-3}}}{\cancel{\sqrt{2n-1}}}\times\dfrac{\cancel{\sqrt{2n-1}}}{\sqrt{2n+1}}$$
      
Puis après les simplifications symbolisées par les traits, on a bien :        
$$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{6}\times…..\times\dfrac{2n-3}{2n-2}\times\dfrac{2n-1}{2n}\leq\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}.$$

 

Auteur: 
Mouhamadou Ka

Commentaires

Bon et encouragement

Le reste des corrections

Le reste de la correction svp

Je veux la correction de l'exercice 8

Je suis très contente ça nous aide beaucoup

Bonne continuation c’est de bon exercice

Bonjour . Je voudrais la correction de l'exercice 21

ah les MATHS

La correction de l'exercice 28

Je veux comprendre mieux les exercices

Pourquoi vous ne donnez pas la correction des autres exercices en fin de serie

Toujours au service des humains. Merci énormément grand professeur.

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