Solutions des exercices: Série d'exercices sur les suites numériques 1e S
Exercice 1:
1) \(\displaystyle 1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6\).
\(n=1\) : \(1^2=1=\tfrac{1\cdot2\cdot3}{6}\).
Supposons
\[
1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6.
\]
Alors
\[
1^2+\cdots+(n+1)^2
=\frac{n(n+1)(2n+1)}6+(n+1)^2
=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}
=\frac{(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))}{6}
=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6},
\]
ce qui est la formule pour \(n+1\).
2) \(\displaystyle 1^3+2^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}4\).
\(n=1\) : \(1^3=1=\tfrac{1^2\cdot2^2}4\).
Si
\[
1^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}4,
\]
alors
\[
1^3+\cdots+(n+1)^3
=\frac{n^2(n+1)^2}4+(n+1)^3
=\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4}
=\frac{(n+1)^2(n^2+4(n+1))}{4}
=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}.
\]
3) \(S_n=1^3+3^3+5^3+\cdots+(2n-1)^3\), on veut montrer
\[
S_n=2n^4-n^2.
\]
\(n=1\): \(S_1=1^3=1=2\cdot1^4-1^2\).
Si \(S_n=2n^4-n^2\), alors
\[
S_{n+1}=S_n+(2(n+1)-1)^3
=(2n^4-n^2)+(2n+1)^3.
\]
Or
\[
(2n+1)^3=8n^3+12n^2+6n+1,
\]
donc
\[
S_{n+1}=2n^4-n^2+8n^3+12n^2+6n+1
=2(n+1)^4-(n+1)^2.
\]
4) a) Pour \(n\ge4\), \(2^n\ge4\) est immédiat (croissance de la puissance).
b) Pour \(n\ge4\), \(2^n\le n!\).
\(n=4\): \(2^4=16\le24=4!\).
Si \(2^n\le n!\), alors
\[
2^{n+1}=2\cdot2^n\le2\cdot n!= (n+1)\cdot n!\quad\hbox{car }n+1\ge2,
\]
donc \(2^{n+1}\le (n+1)!\).
5) a) Pour \(n\ge5\), \(3^n>n^3\).
\(n=5\): \(3^5=243>125=5^3\).
Si \(3^n>n^3\), alors
\[
3^{n+1}=3\cdot3^n>3n^3> (n+1)^3
\]
dès que \(3n^3\ge(n+1)^3\), ce qui est vrai pour \(n\ge5\).
b) Pour \(n\ge7\), \(3^n< n!\).
\(n=7\): \(3^7=2187<5040=7!\).
Si \(3^n<n!\), alors
\[
3^{n+1}=3\cdot3^n<3\cdot n! \le(n+1)\cdot n!= (n+1)!,
\]
car \(n+1\ge3\) pour \(n\ge2\).
6) Montrer que \(7\mid(3^{2n}-2^n)\).
\(n=0\): \(3^0-2^0=1-1=0\).
Soit \(A_n=3^{2n}-2^n\). Si \(7\mid A_n\), alors
\[
A_{n+1}=3^{2(n+1)}-2^{n+1}=9\cdot3^{2n}-2\cdot2^n
=9A_n + (9-2)\,2^n
=9A_n +7\cdot2^n,
\]
qui est divisible par 7.
7) Montrer \(11\mid(3^{2n}+2^{6n-5})\).
\(n=1\): \(3^2+2^1=9+2=11\).
Soit \(B_n=3^{2n}+2^{6n-5}\). Alors
\[
B_{n+1}=3^{2n+2}+2^{6n+1}
=9\cdot3^{2n}+64\cdot2^{6n-5}
=9B_n + (64-9)\,2^{6n-5}
=9B_n +55\cdot2^{6n-5},
\]
donc divisible par 11.
8) Montrer \(17\mid(3\cdot5^{2n-1}+2^{3n-2})\).
\(n=1\): \(3\cdot5^1+2^1=15+2=17\).
Posons \(C_n=3\cdot5^{2n-1}+2^{3n-2}\). Alors
\[
C_{n+1}=3\cdot5^{2n+1}+2^{3n+1}
=25\,(3\cdot5^{2n-1}) +8\,(2^{3n-2})
=25\,C_n + (8-25)\,2^{3n-2}
=25C_n -17\cdot2^{3n-2},
\]
donc \(17\mid C_{n+1}\).
9) Montrer \(22\mid(5^{2n}-3^n)\).
\(n=0\): \(5^0-3^0=0\).
Posons \(D_n=5^{2n}-3^n\). Alors
\[
D_{n+1}=5^{2n+2}-3^{n+1}
=25\cdot5^{2n}-3\cdot3^n
=25D_n + (25-3)\,3^n
=25D_n +22\cdot3^n,
\]
d’où \(22\mid D_{n+1}\).
*
Exercice 2
On pose pour tout \(n\in\Bbb N\)
\[
u_n=\frac{3n+4}{n+3}.
\]
1) Calculs des premiers termes
\[
u_0=\frac{3\cdot0+4}{0+3}=\frac4{3},\quad
u_1=\frac{3\cdot1+4}{1+3}=\frac7{4},\quad
u_2=\frac{3\cdot2+4}{2+3}=\frac{10}{5}=2.
\]
2) Monotonie et minorant
On étudie
\[
u_{n+1}-u_n
=\frac{3(n+1)+4}{(n+1)+3}-\frac{3n+4}{n+3}
=\frac{3n+7}{n+4}-\frac{3n+4}{n+3}
=\frac{(3n+7)(n+3)-(3n+4)(n+4)}{(n+4)(n+3)}.
\]
Au numérateur :
\[
(3n+7)(n+3)-(3n+4)(n+4)
=3n^2+16n+21-\bigl(3n^2+16n+16\bigr)
=5>0.
\]
Les dénominateurs \((n+3)(n+4)\) sont positifs dès que \(n\ge0\).
Donc pour tout \(n\ge0\),
\[
u_{n+1}-u_n=\frac{5}{(n+3)(n+4)}>0,
\]
la suite est strictement croissante.
Son plus petit terme est \(u_0=4/3\), donc
\[
u_n\ge \frac43\quad(\text{minorant}).
\]
3) Majoration par 3
Pour tout \(n\ge0\),
\[
3 - u_n
=3-\frac{3n+4}{n+3}
=\frac{3(n+3)-(3n+4)}{n+3}
=\frac{3n+9-3n-4}{n+3}
=\frac{5}{n+3}>0.
\]
Ainsi \(u_n<3\) pour tout \(n\). La suite est donc majorée par 3.
Exercice 3
On pose pour tout \(n\ge1\)
\[
u_n=\frac{3n}{1+n+n^2}.
\]
1) Premiers termes
\[
u_1=\frac{3}{1+1+1}=1,\quad
u_2=\frac{6}{1+2+4}=\frac{6}{7},\quad
u_3=\frac{9}{1+3+9}=\frac{9}{13}.
\]
2) Montrons que \((u_n)\) est décroissante.
Calculons la différence
\[
u_{n+1}-u_n
=\frac{3(n+1)}{1+(n+1)+(n+1)^2}-\frac{3n}{1+n+n^2}
=\frac{N}{\bigl(1+(n+1)+(n+1)^2\bigr)(1+n+n^2)},
\]
où
\[
N
=3\Bigl[(n+1)(1+n+n^2)-n\bigl(1+n+(n+1)^2\bigr)\Bigr].
\]
Or
\[
(n+1)(n^2+n+1)=n^3+2n^2+2n+1,\quad
n\bigl(n^2+3n+2\bigr)=n^3+3n^2+2n,
\]
donc
\[
(n+1)(n^2+n+1)-n(n^2+3n+2)
= -\,n^2+1.
\]
Ainsi
\[
N=3(1-n^2)<0\quad\text{pour }n\ge2.
\]
Et les dénominateurs sont positifs. Pour \(n\ge2\), \(u_{n+1}-u_n<0\). On vérifie à la main que \(u_2< u_1\). Donc la suite est strictement décroissante.
3) Bornée
Pour tout \(n\ge1\), \(u_n>0\), et comme elle décroît,
\[
0<\lim_{n\to\infty}u_n\le u_n\le u_1=1.
\]
Donc \((u_n)\) est bornée (entre 0 et 1).
Exercice 4
On pose pour \(n\ge1\)
\[
u_n=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k
=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}.
\]
1) Calculs
\[
u_1=\frac12,\quad
u_2=\frac13+\frac14=\frac7{12},\quad
u_3=\frac14+\frac15+\frac16=\frac{15+12+10}{60}=\frac{37}{60},
\]
\[
u_4=\frac15+\frac16+\frac17+\frac18
=\frac{168+140+120+105}{840}
=\frac{533}{840}.
\]
2) Sens de variation
\[
u_{n+1}
=\sum_{k=n+2}^{2n+2}\frac1k
=\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}+\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}.
\]
Donc
\[
u_{n+1}-u_n
=\Bigl(\tfrac1{2n+1}+\tfrac1{2n+2}\Bigr)-\tfrac1{n+1}.
\]
Or pour \(n\ge1\),
\[
\tfrac1{2n+1}+\tfrac1{2n+2}
< \tfrac2{2n+1}
= \tfrac1{n+\tfrac12}
<\tfrac1{n+1}.
\]
D’où \(u_{n+1}-u_n<0\). La suite est strictement décroissante.
3) Bornitude
– Minoration : pour tout \(k=1,\dots,n\), on a \(n+k\le2n\) donc
\[
\frac1{n+k}\ge\frac1{2n}.
\]
Il y a \(n\) termes, donc
\[
u_n\ge n\cdot\frac1{2n}=\frac12.
\]
– Majoration : pour tout \(k\), \(n+k\ge n+1\) donc \(1/(n+k)\le1/(n+1)\). D’où
\[
u_n\le n\cdot\frac1{n+1}=\frac n{n+1}<1.
\]
Ainsi \(1/2\le u_n<1\), la suite est bornée.
Exercice 5
On pose
\[
u_0=1,\quad u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}.
\]
1) Valeurs exactes et approximations
\[
u_1=\sqrt{2+1}=\sqrt{3},\quad
u_2=\sqrt{2+\sqrt{3}},\quad
u_3=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.
\]
En valeurs décimales (3 décimales) :
\[
u_1\approx1{,}732,\quad
u_2\approx1{,}932,\quad
u_3\approx1{,}983.
\]
2) Géométrie et conjectures
— Tracer la courbe \(\mathcal C:\,y=f(x)=\sqrt{2+x}\) et la droite \(y=x\) pour \(x\ge2\).
— Sur l’axe des abscisses, marquer \(u_0=1,\;u_1\approx1{,}732,\;u_2\approx1{,}932\).
Conjectures : la suite est croissante et majorée par 2 (puisque \(\sqrt{2+x}\le2\) quand \(x\le2\)), et minorée par \(u_0=1\).
3) Majorée par 2 par récurrence
Initialisation : \(u_0=1\le2.\)
Hérédité : si \(u_n\le2\) alors
\[
u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\le\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2.
\]
Donc \(\forall n,\;u_n\le2.\)
4) Sens de variation
– Vérifions \(u_0\le u_1\): \(1\le\sqrt3\).
– Supposons \(u_{n-1}\le u_n\). Alors
\[
u_{n+1}-u_n
=\sqrt{2+u_n}-\sqrt{2+u_{n-1}}
\ge0,
\]
car la fonction \(x\mapsto\sqrt{2+x}\) est croissante.
Conclusion : \((u_n)\) est strictement croissante.
Exercice 6
On pose
\[
u_0=4,\quad u_{n+1}=\tfrac12\Bigl(u_n+\tfrac1{u_n}\Bigr).
\]
1) Valeurs exactes
\[
u_1=\tfrac12\Bigl(4+\tfrac14\Bigr)=\tfrac12\cdot\tfrac{17}4=\tfrac{17}8,
\]
\[
u_2=\tfrac12\Bigl(\tfrac{17}8+\tfrac8{17}\Bigr)
=\tfrac12\Bigl(\tfrac{289+64}{136}\Bigr)
=\tfrac{353}{272},
\]
\[
u_3=\tfrac12\Bigl(\tfrac{353}{272}+\tfrac{272}{353}\Bigr)
=\tfrac12\cdot\tfrac{353^2+272^2}{272\cdot353}
=\tfrac{353^2+272^2}{2\cdot272\cdot353}.
\]
2) Positivité par récurrence
– \(u_0=4>0\).
– Si \(u_n>0\), alors \(u_{n+1}=\tfrac12(u_n+1/u_n)>0.\)
Donc \(u_n>0\) pour tout \(n\).
Minorant trivial : \(u_n>0\).
3) Graphique et conjecture
Tracer la courbe \(y=f(x)=\tfrac12(x+1/x)\) et la droite \(y=x\).
Construire successivement \(u_0=4,\;u_1\approx2{,}125,\;u_2\approx1{,}297,\;u_3\approx1{,}0009\).
On constate empirique que la suite décroît vers 1.
4) Inégalité \(f(x)\ge1\)
Pour \(x>0\),
\[
f(x)-1
=\tfrac12\Bigl(x+\tfrac1x\Bigr)-1
=\tfrac{x^2+1-2x}{2x}
=\tfrac{(x-1)^2}{2x}\ge0.
\]
Donc \(f(x)\ge1\).
Si \(u_n\ge1\), alors \(u_{n+1}=f(u_n)\ge1\).
D’où un second minorant : \(u_n\ge1\).
5) Sens de variation
On calcule
\[
u_{n+1}-u_n
=\tfrac12\Bigl(u_n+\tfrac1{u_n}\Bigr)-u_n
=\tfrac12\Bigl(\tfrac1{u_n}-u_n\Bigr)
=\tfrac{1-u_n^2}{2\,u_n}.
\]
Pour \(n\ge1\), on observe que \(u_n>1\) donc \(1-u_n^2<0\), d’où \(u_{n+1}-u_n<0\).
Conclusion : \((u_n)\) est strictement décroissante et reste toujours \(\ge1\).
Exercice 7
Suite arithmétique de raison \(r=6\) et \(u_1=1\).
Terme général : \(u_n=1+(n-1)\cdot6=6n-5.\)
1) Somme \(S_n=u_1+\cdots+u_n\).
\[
S_n=n\cdot\frac{u_1+u_n}{2}
=\;n\cdot\frac{1+(6n-5)}2
=\;n\cdot\frac{6n-4}2
=\;n(3n-2).
\]
On veut \(S_n=280\), donc
\[
n(3n-2)=280
\;\Longleftrightarrow\;3n^2-2n-280=0.
\]
Résolvons :
\[
\Delta=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-280)=4+3360=3364,\quad\sqrt\Delta=58.
\]
\[
n=\frac{2\pm58}{6}\implies
n=\frac{60}{6}=10\quad(\text{seul positif}).
\]
2) Alors \(u_{10}=6\cdot10-5=60-5=55.\)
Exercice 8
Hypothèse : \(x^2,y^2,z^2\) sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison \(r\).
Donc
\[
y^2-x^2 = z^2-y^2 = r.
\]
On veut montrer que les nombres
\[
A=\frac{x}{y+z},\quad B=\frac{y}{z+x},\quad C=\frac{z}{x+y}
\]
forment aussi une suite arithmétique.
Calculons :
\[
B-A
=\frac{y}{z+x}-\frac{x}{y+z}
=\frac{y(y+z)-x(z+x)}{(z+x)(y+z)}
=\frac{y^2+yz - xz - x^2}{\cdots}
=\frac{(y^2-x^2) + (yz-xz)}{D}
\]
\[
\phantom{B-A}
=\frac{r + z(y-x)}{D},
\quad
C-B
=\frac{z}{x+y}-\frac{y}{z+x}
=\frac{z(x+y)-y(z+x)}{(x+y)(z+x)}
=\frac{zx+zy -yz - yx}{D'}
\]
\[
\phantom{C-B}
=\frac{(z^2-y^2)+(zy-yx)}{D'}
=\frac{r + y(z-x)}{D'}.
\]
Or comme \(y-x=z-y\) (car suite arithmétique sur les carrés),
on trouve \(B-A=C-B\).
Donc \(\bigl(A,B,C\bigr)\) est arithmétique.
Exercice 9
Suite géométrique de premier terme \(u_1\neq0\) et on impose
\[
u_2+u_3=2\,u_1.
\]
Soit \(q\) la raison. Alors
\[
u_2=u_1\,q,\quad u_3=u_1\,q^2,
\]
donc
\[
u_1\,q+u_1\,q^2=2\,u_1
\;\Longrightarrow\;q+q^2=2
\;\Longrightarrow\;q^2+q-2=0.
\]
Résolvons :
\[
\Delta=1+8=9,\quad q=\frac{-1\pm3}{2}
\;\Longrightarrow\;q=1\quad\text{ou}\;q=-2.
\]
Somme des \(n\) premiers termes d’une géométrique :
\[
S_n=u_1\,\frac{1-q^n}{1-q}\quad\text{pour }q\neq1,
\quad
S_n=n\,u_1\quad\text{si }q=1.
\]
Application : \(u_1=4,\;n=10\).
– Si \(q=1\), alors \(S_{10}=10\cdot4=40\).
– Si \(q=-2\), alors
\[
S_{10}
=4\,\frac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)}
=4\,\frac{1-1024}{3}
=4\cdot\frac{-1023}{3}
=-4\cdot341
=-1364.
\]
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